第三章 生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造

第三章生命表函數(shù)與生命表構(gòu)造本章重點(diǎn)生存分布模型隨機(jī)變量—死亡年齡X，剩余壽命T（x）密度函數(shù)與分布函數(shù)精算函數(shù)生存分布的統(tǒng)計(jì)有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型（*擬合，參數(shù)估計(jì)，假設(shè)檢驗(yàn)）生命表的起源生命表的構(gòu)造（*生命表函數(shù)的估計(jì)）*選擇與終極生命表*有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的三種假定本章中英文單詞對(duì)照死亡年齡生命表剩余壽命整數(shù)剩余壽命死亡效力極限年齡選擇與終極生命表Age-at-deathLifetableTime-until-deathCurtate-future-lifetimeForceofmortalityLimitingateSelect-and-ultimatetables第一節(jié)生命函數(shù)（生存分布模型）3.1.1隨機(jī)變量以及分布3.1.1X死亡年齡，T（x）剩余壽命X表示初生嬰兒未來壽命的隨機(jī)變量；T（x）表示x歲人的剩余壽命。

3.1.2生存函數(shù)定義意義：新生兒能活到歲的概率。與分布函數(shù)的關(guān)系：與密度函數(shù)的關(guān)系：新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：3.1.3剩余壽命的死亡函數(shù)定義：已經(jīng)活到x歲的人（簡(jiǎn)記(x)），還能繼續(xù)存活的時(shí)間，稱為剩余壽命，記作T(x)。分布函數(shù)：剩余壽命的生存函數(shù)剩余壽命的生存函數(shù)：特別：剩余壽命的精算函數(shù)：x歲的人至少能活到x+1歲的概率：x歲的人將在1年內(nèi)去世的概率：X歲的人將在x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率3.1.4整值剩余壽命定義：未來存活的完整年數(shù)，簡(jiǎn)記概率函數(shù)3.1.5死亡效力定義：的瞬時(shí)死亡率，簡(jiǎn)記死亡效力與生存函數(shù)的關(guān)系精算函數(shù)與概率函數(shù)的關(guān)系死亡效力與密度函數(shù)的關(guān)系死亡效力表示剩余壽命的密度函數(shù)剩余壽命的期望與方差期望剩余壽命：剩余壽命的期望值(均值),簡(jiǎn)記剩余壽命的方差整值剩余壽命的期望與方差期望整值剩余壽命：整值剩余壽命的期望值(均值),簡(jiǎn)記整值剩余壽命的方差第二節(jié)生命表（生存分布的統(tǒng)計(jì)）1.1.6有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

DeMoivre模型(1729)Gompertze模型(1825)有關(guān)壽命分布的參數(shù)模型

Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)生存分布的擬合，估計(jì)與檢驗(yàn)分布的擬合：概率圖方法能提供估計(jì)某個(gè)理論是非對(duì)現(xiàn)有的數(shù)據(jù)作出恰當(dāng)擬合直觀方法。參數(shù)估計(jì)：矩估計(jì)，極大似然估計(jì)，最小二乘估計(jì)。假設(shè)檢驗(yàn)：卡方檢驗(yàn)方法。參數(shù)模型的問題至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個(gè)常用模型的擬合效果不令人滿意。使用這些參數(shù)模型推測(cè)未來的壽命狀況會(huì)產(chǎn)生很大的誤差壽險(xiǎn)中通常不使用參數(shù)模型擬合壽命分布，而是使用非參數(shù)方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。在非壽險(xiǎn)領(lǐng)域，常用參數(shù)模型擬合物體壽命的分布。生命表起源生命表的定義根據(jù)已往一定時(shí)期內(nèi)各種年齡的死亡統(tǒng)計(jì)資料編制成的由每個(gè)年齡死亡率所組成的匯總表.生命表的發(fā)展歷史1662年,Jone

Graunt,根據(jù)倫敦瘟疫時(shí)期的洗禮和死亡名單,寫過《生命表的自然和政治觀察》。這是生命表的最早起源。1693年，EdmundHalley,《根據(jù)Breslau城出生與下葬統(tǒng)計(jì)表對(duì)人類死亡程度的估計(jì)》，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創(chuàng)始人。生命表的特點(diǎn)構(gòu)造原理簡(jiǎn)單、數(shù)據(jù)準(zhǔn)確（大樣本場(chǎng)合）、不依賴總體分布假定（非參數(shù)方法）生命表的構(gòu)造原理在大數(shù)定理的基礎(chǔ)上，用觀察數(shù)據(jù)計(jì)算各年齡人群的生存概率。（用頻數(shù)估計(jì)頻率）常用符號(hào)新生生命組個(gè)體數(shù)：年齡：極限年齡：3.2.2生命表的內(nèi)容個(gè)新生生命能生存到年齡X的期望個(gè)數(shù)：

個(gè)新生生命中在年齡x與x+n之間死亡的期望個(gè)數(shù)：特別：n=1時(shí)，記作生命表的內(nèi)容個(gè)新生生命在年齡x至x+t區(qū)間共存活年數(shù)：個(gè)新生生命中能活到年齡x的個(gè)體的剩余壽命總數(shù)：生命表函數(shù)與精算函數(shù)生命表實(shí)例（美國(guó)全體人口生命表）年齡區(qū)間死亡比例期初生存數(shù)期間死亡數(shù)在年齡區(qū)間共存活年數(shù)剩余壽命總數(shù)期初存活者平均剩余壽命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89例：已知計(jì)算下面各值：（1）（2）20歲的人在50~55歲死亡的概率。（3）該人群平均壽命。例答案*選擇-終極生命表選擇-終極生命表構(gòu)造的原因需要構(gòu)造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會(huì)優(yōu)于很早以前接受體檢的老成員。需要構(gòu)造終極生命表的原因：選擇效力會(huì)隨時(shí)間而逐漸消失選擇-終極生命表的使用選擇-終極表實(shí)例[x]選擇表終極表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0209.0297.0374.0463.0566.06527773.0228.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.102482*生命表的估計(jì)完整數(shù)據(jù)樣本下的生命表函數(shù)的估計(jì)；不完整數(shù)據(jù)樣本下的生命表函數(shù)的估計(jì)；生命表函數(shù)的估計(jì)的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)；第三節(jié)補(bǔ)充有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)

有關(guān)分?jǐn)?shù)年齡的假設(shè)

使用背景:生命表提供了整數(shù)年齡上的壽命分布,但有時(shí)我們需要分?jǐn)?shù)年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個(gè)整數(shù)生存數(shù)據(jù),選擇某種分?jǐn)?shù)年齡的生存分布假定，估計(jì)分?jǐn)?shù)年齡的生存狀況基本原理:插值法常用方法均勻分布假定(線性插值)常數(shù)死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(