公因式的提取方法及常見題型

因式分解概念因式分解：把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也可稱為將這個多項式分解因式.因式分解與整式乘法互為逆變形：m(a+b+c)整整乘積ma+mb+mc因式分解式中m可以代表單項式，也可以代表多項式，它是多項式中各項都含有的因式，稱為公因式因式分解的常用方法：提取公因式法、運(yùn)用公式法、十字相乘法、分組分解法.分解因式的一般步驟：如果多項式的各項有公因式，應(yīng)先提公因式；如果各項沒有公因式，再看能否直接運(yùn)用公式、十字相乘法分解，如還不能，就試用分組分解法或其它方法.考前須知：①假設(shè)不特別說明，分解因式的結(jié)果必須是每個因式在有理數(shù)圍不能再分解為止；②結(jié)果一定是乘積的形式；③每一個因式都是整式；④一樣的因式的積要寫成冪的形式.在分解因式時，結(jié)果的形式要求：①沒有大括號和中括號；②每個因式中不能含有同類項，如果有需要合并的同類項，合并后要注意能否再分解；③單項式因式寫在多項式因式的前面；④每個因式第一項系數(shù)一般不為負(fù)數(shù)；⑤形式一樣的因式寫成冪的形式.例題：判斷以下各式從左到右的變形是否是分解因式，并說明理由.(1)(x+y)(x-y)=x2—y2； (2)x3+x2-x=x(x2+x)(3)x2+3x一2=x(x+3)-2；(4)xy+x+y+1=(x+1)(y+1)（1）提取公因式：提取公因式：如果多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面.確定公因式的方法：系數(shù)一取多項式各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母（或多項式因式）一一取各項都含有的字母（或多項式因式）的最低次冪.1>ad-bd+d；2、-6abc—141>ad-bd+d；3、—6a3+3、—6a3+15a2-12a44、—26xy3z2+13%y2z2+52x5y2z45、4x(a2+x2)—a2—x26、 6(m—n)3+12(n—m)47、8、7、8、(2a+3b)(a—2b)—(3a+2b)(2b—a)(x-y)2n+1-(x—z)(x—y)2n+2(y—x)2n(y—z)n為正整數(shù).

(2)公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)①公式左邊形式上是一個二項式，且兩項的符號相反；②每一項都可以化成某個數(shù)或式的平方形式；③右邊是這兩個數(shù)或式的和與它們差的積，相當(dāng)于兩個一次二項式的積.完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2①左邊相當(dāng)于一個二次三項式；②左邊首末兩項符號一樣且均能寫成某個數(shù)或式的完全平方式；③左邊中間一項為哪一項這兩個數(shù)或式的積的2倍，符號可正可負(fù)；④右邊是這兩個數(shù)或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左邊中間一項的符號決定.需要了解的公式：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc1、a4一b4 2、(a+b+c+d)2一(a-b+c-d)23、y4一815、(a+x)4一(a一x)46、64x8—-47、9%2—24xy+16y2=8、(X2+y2)2-4X2y29、(m+5n)2-2(5n+m)(n-3m)+(n-3m)2；10、在實數(shù)圍分解因式：a4-5a2-1411、在實數(shù)圍分解因式：73a2-6a+3v312、a6—b613、(2+1)(22+1)Q+1)…Q2+1)13、14、(1—f(1一()(1一()…J102(3)十字穿插法：一個二次三項式ax2+bx+c,假設(shè)可以分解，那么一定可以寫成(ax+c)(ax+c)的形式，它的系數(shù)可以寫成4X1，十字相乘法就是用試驗的方112 2 ac法找出十字線兩端的數(shù)，其實就是分解系數(shù)￡b2，c，使得：aia廣a，［c廣c，ac+ac=b，x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)假設(shè)b22-4ac不是一個平方數(shù)，那么二次三項式ax2+bx+c就不能在有理數(shù)圍分解1、x2+5x+6 2、x2-5x+63、x2-x-6 4、6x2-7x+25、12x2-11x-15 6、x2+12x+207、-x2+x+568、6x2-13x+69、-20xy+64y2+x210、27x2-33x-2011、x2+144y2-25xy12、12x2-19xy+7y213、x6-19x3y3-216y614、x4+7x2—3015、abcx2+(a2b2+c2)x+abc16、x2+(a+b+c)x+(a+b)c〔4〕分組分解法將原式子進(jìn)展分組，在利用提取公因式、公式和十字穿插法進(jìn)展因式的分解。1、a2+4ab+4b2一2a一4b+1 2、(2%—3y)3+(3%—2y)2一125(%—y)34a2—b2+c2—9d2+4ac+6bd〔5〕換元分解將某些局部看成一個整體，利用三個根本方法進(jìn)展分解。1、(1、(％+y)2一4(%+y)-12；2、(%2+%)2一14(%2+%)+243、2(%2+6%+1)2+5(%2+6%+1)(%2+1)+2(%2+1)2 4、(%2+y2)2一4%2y25、(5、(%2+%+4)2+8%(%2+%+4)+15%26、12(%+y)2+11(%+y)(%一y)+2(%一y)27、(7、(m+n)2一4(m2一n2)+4(m一n)2；8、(m+5n)2-2(5n+m)(n-3m)+(n-3m)2；9、(％2+9、(％2+%)2-4(%2+%)+4；10、+8%Q2+4)+16%211、(a2+9b2-1)2-36a2b212、9(a+b)11、(a2+9b2-1)2-36a2b2其他題型：1、如果(a+b)2-(a-b)2=4，那么一定成立的是( )A.a是b的相反數(shù)B.a是-b的相反數(shù)C.a是b的倒數(shù)D.a是-b的倒數(shù)2、296-1有可能被60到70之間的兩個整數(shù)整除，試求出這兩個數(shù).3、如果a,b,c是△ABC三邊的長，且a2+b2-ab=c(a+b-c)，那么△ABC是()A.等邊三角形.B.直角三角形.C.鈍角三角形.D.形狀不確定.4、如果4%2+a%y+9y2是完全平方式，試求a的值.5、(%+y)2-2%-2y+1