結(jié)構(gòu)力學(xué)十三講(矩陣位移法)

矩陣位移法1

一、矩陣位移法的基本思路

矩陣位移法的兩個(gè)基本步驟是（1）結(jié)構(gòu)的離散化；（2）單元分析；（3）整體分析，任務(wù)意義單元分析建立桿端力與桿端位移間的剛度方程，形成單元?jiǎng)偠染仃囉镁仃囆问奖硎緱U件的轉(zhuǎn)角位移方程整體分析由變形條件和平衡條件建立結(jié)點(diǎn)力與結(jié)點(diǎn)位移間的剛度方程，形成整體剛度矩陣用矩陣形式表示位移法基本方程2指桿件除有彎曲變形外，還有軸向變形和剪切變形的單元，桿件兩端各有三個(gè)位移分量，

符號(hào)規(guī)則：圖(a)表示單元編號(hào)、桿端編號(hào)和局部座標(biāo)，局部座標(biāo)的座標(biāo)與桿軸重合；12eEAIl(a)圖(b)表示的桿端位移均為正方向。單元編號(hào)桿端編號(hào)局部座標(biāo)12(b)桿端位移編號(hào)12桿端力編號(hào)(c)二、桿端位移、桿端力的正負(fù)號(hào)規(guī)定一般單元：3eee局部坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠蘀Al6EIl2

6EIl2

EAl12EIl3

12EI

l34EIl2EIlee=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(4)(5)(6)0000006EI

l206EIl20-EAl-6EIl2-6EIl2

EAl-12EIl3

12EIl32EIl4EIl000000-6EIl206EIl20只與桿件本身性質(zhì)有關(guān)而與外荷載無(wú)關(guān)局部座標(biāo)系的單元?jiǎng)偠染仃?§13-3單元?jiǎng)偠染仃?整體座標(biāo)系)exyX1Y1X2Y2eeeee座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣一、單元座標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣正交矩陣[T]-1=[T]Teeee??5三、單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)（1）單元?jiǎng)偠认禂?shù)的意義e—代表單元桿端第j個(gè)位移分量等于1時(shí)所引起的第i個(gè)桿端力分量。（2）單元?jiǎng)偠染仃囀菍?duì)稱矩陣，e即。（3）一般單元的剛度矩陣是奇異矩陣；e因此它的逆矩陣不存在從力學(xué)上的理解是，根據(jù)單元?jiǎng)偠确匠蘣eeee由有一組力的解答(唯一的)，即正問(wèn)題。ee由如果e不是一組平衡力系則無(wú)解；若是一組平衡力系，則解答不是唯一的，即反問(wèn)題。[k]=[T]T

ke[T]e二、整體座標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?§13-4連續(xù)梁的整體剛度矩陣按傳統(tǒng)的位移法i1i21214i112i110i1i21222i122i22(4i1+4i2)2i1i212302i234i23每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì){F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)F1F2F34i12i102i14i1+4i22i202i24i2123={F}=[K]{}根據(jù)每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移對(duì)附加約束上的約束力{F}的貢獻(xiàn)大小進(jìn)行疊加而計(jì)算所得。傳統(tǒng)位移法7一、單元集成法的力學(xué)模型和基本概念分別考慮每個(gè)單元對(duì){F}的單獨(dú)貢獻(xiàn)，整體剛度矩陣由單元直接集成i1i212123F3{F}1=[F11F211]TF11F21F31令

i2=0，則F31=0[k]=4i12i14i12i11F11F21=4i12i14i12i112（a）（b）F11F21F31=4i12i14i12i1000001231[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i100000單元1的貢獻(xiàn)矩陣單元1對(duì)結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)略去其它單元的貢獻(xiàn)。8i1i212123F12F22F32[k]=4i22i24i22i22F12F22F32=4i12i14i12i1000001232[K]{}{F}=2設(shè)

i1=0，則F12=0[K]=24i12i14i12i100000單元的貢獻(xiàn)矩陣F3{F}2=[F12F222]T單元對(duì)結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)略去單元的貢獻(xiàn)。91[K]{}{F}=1[K]=14i12i14i12i1000002[K]{}{F}=2[K]=24i12i14i12i100000i1i2121212[K]=（[K]+[K]）=12ee[k][K][K]ee{F}={F}+{F}=（[K]+[K]）{}12{F}=[K]{}整體剛度矩陣為：?jiǎn)卧煞ㄇ笳w剛度矩陣步驟：根據(jù)單元和單元分別對(duì)結(jié)點(diǎn)力{F}的貢獻(xiàn)，可得整體剛度方程：10[k][K][K]ee12[k]=4i12i14i12i11[K]=14i12i14i12i100000[k]=4i22i24i22i22[K]=24i22i24i22i2000001214i12i14i12i1000002i22i24i2[K]=4i12i14(i1+i2)2i102i202i24i24i1+4i2整體剛度矩陣:11二、按照單元定位向量由[k]求

e[K]e(1)在整體分析中按結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移統(tǒng)一編碼，稱為總碼。(2)在單元分析中按單元兩端結(jié)點(diǎn)位移單獨(dú)編碼，稱為局部碼。以連續(xù)梁為例121231(1)(2)2(1)(2)位移統(tǒng)一編碼，總碼單元12對(duì)應(yīng)關(guān)系局部碼總碼單元定位向量e(1)1(2)21=(1)2(2)32=確定中的元素在中的位置。為此建立兩種編碼：[k]

e[K]e位移單獨(dú)編碼局部碼由單元的結(jié)點(diǎn)位移總碼組成的向量12（3）單剛[k]

e[K]e和單元貢獻(xiàn)中元素的對(duì)應(yīng)關(guān)系單元單元[k]=4i12i14i12i11(1)(2)(1)(2)1=[K]=11230000000004i12i12i14i1123[k]=4i22i24i22i22(1)(2)(1)(2)2=[K]=20000000004i22i24i22i2123123單元定位向量描述了單元兩種編碼（總碼、局部碼）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。單元定位向量定義了整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囍械脑卦谡w剛度矩陣中的具體位置，故也稱為“單元換碼向量”。單元貢獻(xiàn)矩陣是單元?jiǎng)偠染仃?，利用“單元定位向量”進(jìn)行“換碼重排位”。13三、單元集成法的實(shí)施（定位累加）[K]123123000000000[k]110000000004i12i12i14i1123123[k]224i12i14i12i1000002i22i24i24i1+4i2123123（1）將[K]置零，得[K]=[0]；（2）將[k]的元素在[K]中按{}定位并進(jìn)行累加，得[K]=[K]；（3）將[k]的元素在[K]中按{}定位并進(jìn)行累加，得[K]=[K]+[K]；按此作法對(duì)所有單元循環(huán)一遍，最后即得整體剛度矩陣[K]。1412i1i2i3312301230=0（1）結(jié)點(diǎn)位移分量總碼（2）單元定位向量1=2=3=（3）單元集成過(guò)程[k]=4i12i14i12i111221[k]=4i22i24i22i222332[k]=4i32i34i32i330330[K]=1231230000000004i12i12i12i22i24i24i14i2+4i34i1+4i2例.求連續(xù)梁的整體剛度矩陣。15四、整體剛度矩陣[K]的性質(zhì)（1）整體剛度系數(shù)的意義:Kij－j=1(其余=0)時(shí)產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力Fi（2）[K]是對(duì)稱矩陣（3）對(duì)幾何不變體系，[K]是可逆矩陣，如連續(xù)梁i1i2123F1F2F3{F}=[K]{}{}=[K]-1{F}（4）[K]是稀疏矩陣和帶狀矩陣，如連續(xù)梁123F1F2F3123nnFnn+1Fn+10000000000000000000000000000000000004i12i12i12i22i24i2+4i34i1+4i24in2i32in16§13-5剛架的整體剛度矩陣思路要點(diǎn)：（1）設(shè)各單元已形成了整體座標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?；e[k]（2）各經(jīng)由e{}進(jìn)行累加集成[K]。與連續(xù)梁相比：(1)各單元考慮軸向變形；(2)每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移；(3)要采用整體座標(biāo)；(4)要處理非剛結(jié)點(diǎn)的特殊情況。一、結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼——總碼ABCxy123004000結(jié)點(diǎn)位移總碼{}=[1

234]T規(guī)定：對(duì)于已知為零的結(jié)點(diǎn)位移分量，其總碼均編為零。=[uA

vA

A

C]T整體結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量為：相應(yīng)地結(jié)點(diǎn)力向量為：=[XA

YA

MA

MC]T{F}=[F1

F2

F3

F4]T①②17x(1)(2)(3)(5)(6)x(2)(3)(5)(6)單元結(jié)點(diǎn)位移分量局部碼二、單元定位向量單元單元局部碼總碼局部碼總碼（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）4（1）1（2）2（3）3（4）0（5）0（6）0三、單元集成過(guò)程①②ABCxy12300400結(jié)點(diǎn)位移總碼②①0(4)(1)(4)181ABC2xy123004000121234[K]=123400000000000000001[k]=000000000000000000000000000000000000111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566123004123004111213212223313233616263661626361112132122233132332[k]1230001230001112131415162