基本不等式教案（Word版）

《基本不等式(第一課時)》教學設計教學目標1．理解基本不等式(a＞0，b＞0)，會利用不等式性質證明，發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)；2．了解基本不等式的幾何解釋，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)；3．結合具體實例，形成用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題的基本模型，發(fā)展數(shù)學運算核心素養(yǎng)．教學重難點教學重點：基本不等式的定義及運用基本不等式解決簡單的最值問題．教學難點：基本不等式的證明和運用基本不等式求最值．課前準備PPT課件教學過程一、創(chuàng)設情境問題1：請同學們閱讀課本第44頁，說一說今天我們將要學習的內容是什么？在不等式中起著怎樣的作用？師生活動：學生自主閱讀課本，思考并回答，教師給予簡單總結．預設的答案：基本不等式是一種重要而基本的不等式類型，與乘法公式在代數(shù)運算的地位一樣，在解決不等式問題中有重要的作用，它之所以被稱為“基本不等式”，主要是因為它可以作為不等式論的基本定理，成為支撐其他許多非常重要結果的基石。設計意圖：讓學生從整體上把握本節(jié)內容，了解基本不等式在解決不等式問題有重要的作用．二、新知探究1．基本不等式的定義問題2：閱讀課本，思考：什么是基本不等式？它是怎樣得到的？師生活動：學生閱讀課本回答，教師總結：基本不等式是將上節(jié)課所學的重要不等式a2+b2≥2ab中用，代替a，b并變形得到的，并板書：．追問：不等式中a，b的范圍是什么？它和原不等式中的范圍一樣嗎？師生活動：學生自主反思后回答，a，b均為非負數(shù)，如果a，b中有負數(shù)，該不等式不成立．教師指出基本不等式的定義要求a，b均為正數(shù)．同時總結：我們稱其為基本不等式，其中叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)，叫做a，b的幾何平均數(shù)，基本不等式表明兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于幾何平均數(shù)．設計意圖：通過上一節(jié)的重要不等式得到基本不等式，同時明確兩個不等式之間的聯(lián)系，通過分析其特征，得到基本不等式的代數(shù)解釋，進一步加深對其的理解．2．基本不等式的證明問題3：你能否利用不等式的性質推導出基本不等式呢？請你試一試。師生活動：學生根據(jù)兩個實數(shù)大小關系的基本事實，用作差比較證明，教師給與肯定．追問1：在前面我們學習過充分條件和必要條件，你能否從所證明的式子出發(fā)，尋找使不等式成立的充分條件，從而形成證明思路？師生活動：師生共同分析，要證明，只需證明，從而只需證，只要證，而顯然成立．教師指出只要把過程倒過來，就可證明出基本不等式了，并要求學生自己寫出證明過程．追問2：上述證明中，每一步推理的依據(jù)是什么？師生活動：學生對照自己所寫的證明分別回答每一步的依據(jù)．追問3：上述證明叫做“分析法”．你能歸納一下用分析法證明命題的思路嗎？師生活動：學生討論后回答．教師指出分析法是一種“執(zhí)果索因”的證明方法，即從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止．追問4：根據(jù)教科書上的證明過程，你能說說分析法的證明格式是怎樣的嗎？師生活動：學生思考后回答．教師總結：由于分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，所以分析法在書寫過程中必須有相應的文字說明：一般每一步的推理都用“要證……只要證……”的格式，當推導到一個明顯成立的條件之后，指出“顯然×××成立”．設計意圖：利用不等式的性質，用分析法證明基本不等式，同時引導學生認識分析法的證明過程和證明格式，提高學生邏輯推理的數(shù)學素養(yǎng)．3．基本不等式的幾何解釋O問題4：如圖，AB是圓的直徑，點C是AB上一點，AC=a，BC=b，過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD，BD．你能利用這個圖形，得出基本不等式的幾何解釋嗎？O師生活動：如圖1，連接OD，教師引導學生先尋找圖中的不等關系，利用動畫，觀察從弦DE長和圓的直徑AB這兩個幾何元素在變化中的不等關系，及半弦CD≤OD，并將此不等關系用符號表示．學生獨立思考，并說出思路：半徑OD為，利用射影定理可得弦DE長的一半CD為，由，得到．教師評價并總結，基本不等式可以利用“圓中直徑不小于任意一條弦”得到解釋．當且僅當弦DE過圓心時，二者相等．設計意圖：讓學生觀察圖形，先將圖形中的不等關系找出來，再用代數(shù)語言表示，從而獲得基本不等式的幾何解釋，提高學生數(shù)學直觀的核心素養(yǎng)．4．基本不等式的簡單應用例1已知，求的最小值．追問：求解的依據(jù)什么？怎樣應用？師生活動：教師通過追問引導學生分析，明確求解的依據(jù)是基本不等式，再引導學生將問題與公式對比，找到和基本不等式的聯(lián)系，讓學生獨立思考后，進行書寫，教師基于學生書寫的不規(guī)范進行糾正．預設的答案：因為，所以，當且僅當時，即，x=1時，等號成立．因此最小值為2．變式：（1）已知，求的最小值；（2）求的最小值．師生活動：學生獨立完成。教師依據(jù)學生的解答或困難，對比例1分析其求解中存在的問題，并用軟件展示函數(shù)y=的讓學生觀察。追問1：比較三個問題，你能總結什么條件的代數(shù)式可以用基本不等式求最值？需要注意什么？師生活動：學生自主反思后，發(fā)表自己的意見，相互補充，形成共識．教師將討論結果進行匯總，并進行總結，明確若代數(shù)式能轉化為兩個正數(shù)積為定值，可以利用基本不等式求和的最小值；若代數(shù)式能轉化為兩個正數(shù)和為定值，可以利用基本不等式求積的最大值．在利用基本不等式求最值時，應注意“一正，二定，三相等”的條件．設計意圖：通過典例分析，讓學生掌握利用基本不等式解決哪些代數(shù)式的最值問題，及在利用不等式時應注意的三個條件，在具體情境中理解基本不等式，為學生求解代數(shù)式的最值問題提供示范．同時，為下一道例題應用基本不等式求最值的代數(shù)式提供范例．例2已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積xy等于定值P，那么當x=y時，和x+y有最小值2；（2）如果和x+y等于定值S，那么當x=y時，積xy有最大值．師生活動：學生思考并書寫證明過程后展示，師生共同補充完善．教師總結用基本不等式解決最值問題有兩個基本模型：“兩個正數(shù)的積為定值，當這兩個數(shù)取什么值時，求它們的和的最小值”，或者“兩個正數(shù)的和為定值，當這兩個數(shù)取什么值時，求它們的積的最大值”．設計意圖：本題是例1的總結和提升，看似簡單，但是給出了用基本不等式能夠解決的兩個數(shù)學模型，為用基本不等式解決實際問題創(chuàng)造了條件．提升學生數(shù)學模型的思想．三、歸納總結問題5：本節(jié)課我們主要學習了基本不等式，請同學們回顧今天所學內容，思考以下問題：（1）什么是基本不等式？如何推導基本不等式？（2）基本不等式的代數(shù)特征是什么？如何從幾何圖形上進行解釋？（3）基本不等式可以解決哪兩類數(shù)學問題？使用的條件是什么？應注意什么？師生活動：先由學生反思回答，教師糾正并提升．設計意圖：引導學生回顧所學內容，對所學的基本不等式有初步的掌握，為下一節(jié)基本不等式的實際應用做好鋪墊．作業(yè)布置：習題第1，2，4，5題．四、目標檢測設計1．已知a，b∈R，求證．設計意圖：考查證明不等式的思路，并注意不能用基本不等式去求證，進一步掌握基本不等式使用的條件．2．（1）已知，求的最小值及相應的x值．（2）已知，求的最大值及相應的x值．設計意圖：考查學生利用基本不等式求最大值和最小值的能力．3．已知x，y都是正數(shù)，且，求證：（1）；（2）．設計意圖：考查學生利用基本不等式證明不等式及分析問題解決問題的能力．4．已知直角三角形的面積等于50cm2，當兩條直角邊的長度各為多少時，兩條直角邊的和最小？最小值是多少？設計意圖：考查學生利用基本不等式解決實際問題能力．參考答案：1．證明：要證明，只需證明，即，即，即需證而顯然成立，只要把式子倒過來，就可以推出原不等式成立．2．（1）解：∵，∴，當且僅當，即時，等號成立．所以的最小值為，這時．