復(fù)變函數(shù)第五章習(xí)題及答案概要

復(fù)變函數(shù)第五章習(xí)題及答案概要一、重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：難點(diǎn)：留數(shù)的計(jì)算與留數(shù)定理留數(shù)定理在定積分計(jì)算上的應(yīng)用2二、內(nèi)容提要留數(shù)計(jì)算方法可去奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系留數(shù)定理留數(shù)在定積分上的應(yīng)用31）定義

如果函數(shù)在

不解析,但在的某一去心鄰域內(nèi)處處解析,則稱(chēng)為的孤立奇點(diǎn).1.孤立奇點(diǎn)的概念與分類(lèi)孤立奇點(diǎn)奇點(diǎn)2）孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)依據(jù)在其孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類(lèi):i)可去奇點(diǎn);)極點(diǎn);)本性奇點(diǎn).4定義

如果洛朗級(jí)數(shù)中不含

的負(fù)冪項(xiàng),那末孤立奇點(diǎn)

稱(chēng)為

的可去奇點(diǎn).i)可去奇點(diǎn)5)極點(diǎn)定義

如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng),其中關(guān)于的最高冪為即級(jí)極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的或?qū)懗?極點(diǎn)的判定方法在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開(kāi)式中含有限項(xiàng).(a)由定義判別(b)由定義的等價(jià)形式判別(c)利用極限判斷.7如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無(wú)窮多個(gè)那末孤立奇點(diǎn)稱(chēng)為的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng),注意:在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為)本性奇點(diǎn)8i)零點(diǎn)的定義不恒等于零的解析函數(shù)如果能表示成其中在解析且m為某一正整數(shù),那末稱(chēng)為的

m級(jí)零點(diǎn).3)函數(shù)的零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系ii)零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系如果是的m級(jí)極點(diǎn),那末就是的

m級(jí)零點(diǎn).反過(guò)來(lái)也成立.92.留數(shù)記作定義

如果的一個(gè)孤立奇點(diǎn),則沿內(nèi)包含的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線

C的積分的值除后所得的數(shù)稱(chēng)為以101)留數(shù)定理

設(shè)函數(shù)在區(qū)域

D內(nèi)除有限個(gè)孤外處處解析,C是D內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線,那末立奇點(diǎn)留數(shù)定理將沿封閉曲線C積分轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).11(1)如果為的可去奇點(diǎn),則如果為的一級(jí)極點(diǎn),那末a)(2)如果為的本性奇點(diǎn),則需將成洛朗級(jí)數(shù)求展開(kāi)(3)如果為的極點(diǎn),則有如下計(jì)算規(guī)則2)留數(shù)的計(jì)算方法12c)設(shè)及在如果那末為一級(jí)極點(diǎn),且有都解析，如果為的級(jí)極點(diǎn),那末b)13也可定義為記作1.定義設(shè)函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)解析C為圓環(huán)域內(nèi)繞原點(diǎn)的任何一條正向簡(jiǎn)單閉曲線那末積分值為在的留數(shù).的值與C無(wú)關(guān),則稱(chēng)此定3)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)14如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn),那末在所有各奇點(diǎn)(包括

點(diǎn))的留數(shù)的總和必等于零.定理153.留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用1）三角函數(shù)有理式的積分當(dāng)歷經(jīng)變程時(shí),z沿單位圓周的正方向繞行一周.16172）無(wú)窮積分183）混合型無(wú)窮積分19特別地20定義具有下列形式的積分:內(nèi)零點(diǎn)的總個(gè)數(shù),P為

f(z)在C內(nèi)極點(diǎn)的總個(gè)數(shù).其中,N為

f(z)在C且C取正向.21如果

f(z)在簡(jiǎn)單閉曲線C上與C內(nèi)解析,且在C上不等于零,那么

f(z)在C內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于乘以當(dāng)z沿C的正向繞行一周f(z)的輻角的改變量.輻角原理路西定理22三、典型例題解23解2425例2求函數(shù)的奇點(diǎn)，并確定類(lèi)型.解是奇點(diǎn).是二級(jí)極點(diǎn);是三級(jí)極點(diǎn).26例3證明是的六級(jí)極點(diǎn).證27例4求下列各函數(shù)在有限奇點(diǎn)處的留數(shù).解(1)在內(nèi),28解29解為奇點(diǎn),當(dāng)時(shí)為一級(jí)極點(diǎn)，3031解的一級(jí)極點(diǎn)為32例5計(jì)算積分為一級(jí)極點(diǎn)，為七級(jí)極點(diǎn).解33由留數(shù)定理得34例6

解在內(nèi),3536解例7計(jì)算3738例8

計(jì)算解令39