初三培優(yōu)專(zhuān)題01二次根式的化簡(jiǎn)與求值

專(zhuān)題01二次根式的化簡(jiǎn)與求值閱讀與思考二次根式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題常涉及最簡(jiǎn)根式、同類(lèi)根式，分母有理化等概念，常用到分解、分拆、換元等技巧.有條件的二次根式的化簡(jiǎn)與求值問(wèn)題是代數(shù)變形的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，這類(lèi)問(wèn)題包含了整式、分式、二次根式等眾多知識(shí)，又聯(lián)系著分解變形、整體代換、一般化等重要的思想方法，解題的基本思路是：1、直接代入直接將已知條件代入待化簡(jiǎn)求值的式子.2、變形代入適當(dāng)?shù)刈儣l件、適當(dāng)?shù)刈兘Y(jié)論，同時(shí)變條件與結(jié)論，再代入求值數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)中充滿(mǎn)了矛盾，如正與負(fù)，加與減，乘與除，數(shù)與形，有理數(shù)與無(wú)理數(shù)，常量與變量、有理式與無(wú)理式，相等與不等，正面與反面、有限與無(wú)限，分解與合并，特殊與一般，存在與不存在等，數(shù)學(xué)就是在矛盾中產(chǎn)生，又在矛盾中發(fā)展.想一想：若、彳+\5=、n（其中羽y,n都是正整數(shù)），則%小,\5高都是同類(lèi)二次根式，為什么？例題與求解【例1】1+72552

2時(shí)，代數(shù)式【例1】1+72552

2時(shí)，代數(shù)式(4x3—2005x—2001)2003的值是(A、0B、一1C、1 D、-22003（紹興市競(jìng)賽試題）【例2】化簡(jiǎn)(1)(1)a弋b+bxja

aa+bbabb—b（黃岡市中考試題）40+E-樂(lè)-%萬(wàn)J0+<14+<15+、;21(五城市聯(lián)賽試題)

(4)<6+4<3+3<2(<6+3)(<3+72)(4)<6+4<3+3<2(<6+3)(<3+72)（北京市競(jìng)賽試題）3<15—<10—2<6+3<3—、2+18v15+2c3+1（陜西省競(jìng)賽試題）解題思路：若一開(kāi)始把分母有理化，則計(jì)算必定繁難，仔細(xì)觀察每題中分子與分母的數(shù)字特點(diǎn)，通過(guò)分解、分析等方法尋找它們的聯(lián)系，問(wèn)題便迎刃而解.思想精髓：因式分解是針對(duì)多項(xiàng)式而言的，在整式，分母中應(yīng)用非常廣泛，但是因式分解的思想也廣泛應(yīng)用于解二次根式的問(wèn)題中，恰當(dāng)?shù)刈黝?lèi)似于因式分解的變形，可降低一些二次根式問(wèn)題的難度【例3】比（v16+、：'5）6大的最小整數(shù)是多少?（西安交大少年班入學(xué)試題）解題思路：直接展開(kāi)，計(jì)算較繁，可引入有理化因式輔助解題，即設(shè)x=+石+<5,y=,而73, , ，不_,x4一6x3-2x2+18x+23，― 、，、， “…，想一想：設(shè)x=<19-8v3,求 的值.（“祖沖之杯”邀請(qǐng)賽試題）x3-7x2+5x+15形如：\；A土JB的根式為復(fù)合二次根式，常用配方，引入?yún)?shù)等方法來(lái)化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式【例4】 設(shè)實(shí)數(shù)％,y滿(mǎn)足(x+\■'X2+T)(y+、2+1)=1,求x+y的值.（“宗瀘杯”競(jìng)賽試題）解題思路：從化簡(jiǎn)條件等式入手，而化簡(jiǎn)的基本方法是有理化【例5】 （1）代數(shù)式\42+4+、:：（12-x）2+9的最小值.（2）求代數(shù)式\:x2—8x+41+x2—4x+13的最小值.（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）解題思路：對(duì)于（1），目前運(yùn)用代數(shù)的方法很難求此式的最小值，aa2+b2的幾何意義是直角邊為a，b的直角三角形的斜邊長(zhǎng)，從構(gòu)造幾何圖形入手，對(duì)于（2），設(shè)y=式x—4）2+52+q（x—2）2+32，設(shè)a（x，0），B（4，5），C（2，3）相當(dāng)于求AB+AC的最小值，以下可用對(duì)稱(chēng)分析法解決.方法精髓：解決根式問(wèn)題的基本思路是有理化，有理化的主要途徑是乘方、配方、換元和乘有理化因式.【例6】設(shè)m—a++2a—1+\:a—2a—1（1VaV2），求m10+m9+m8+m7+L+m—47的值.解題思路：配方法是化簡(jiǎn)復(fù)合二次根式的常用方法，配方后再考慮用換元法求對(duì)應(yīng)式子的值能力訓(xùn)練A級(jí),7、 ；32008+152008.化簡(jiǎn)：(7)1001^——--(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)3 72008+352008.若x+J=瓜仁反x—J=J3”-有，則?=（北京市競(jìng)賽試題）71^97a/1^9(J1W-<1999)(<1997-<,2001)(./1999-、-,2001)(<1999-<1W)3.計(jì)算：2001(<2001-<1997)(<2001-$1999)（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）.若滿(mǎn)足0Vx<J及71088=?+G的不同整數(shù)對(duì)（x,J）是（上海市競(jìng)賽試題）.如果式子"■'（X-1）2+v'（x-2）2化簡(jiǎn)結(jié)果為2x—3,則x的取值范圍是（ ）A.xW1 B.x三2 C.1WxW2 D.x>06、計(jì)算%；14+65-\.14-65的值為（ ）

1%5D1%5D.5（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）a,b,c為有理數(shù)，且等式a+仄；2+c右=<5+26成立，則2a+999b+1001c的值是（ ）A.1999B.2000C.2001D.不能確定（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）8、有下列三個(gè)命題甲：若a,B是不相等的無(wú)理數(shù)，則ap+a-0是無(wú)理數(shù)；乙：若a,B是不相等的無(wú)理數(shù)，則a-P是無(wú)理數(shù)；a+p丙：若a,B是不相等的無(wú)理數(shù)，則忑+ 是無(wú)理數(shù)；TOC\o"1-5"\h\z其中正確命題的個(gè)數(shù)是（ ）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）9、化簡(jiǎn)：（1）x弋y-yOx_2+xc （2） 2口x<y+y、：xy\x-x《y <3+J2-<5(3) E+5幣+4旗7+<77+<66+<42(4(4)(5(5)一—3—%6—<10+<15（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）10、設(shè)10、設(shè)％="3：-5,求代數(shù)式(x+1)(X+2)(X+3)(x+4)的值.（“希望杯邀請(qǐng)賽試題）（“希望杯邀請(qǐng)賽試題）11、已知\7x2+9x+13+%：7x2—5x+13=7x，求％的值.nn+1—\.n nn+1+nn12nn+1—\.n nn+1+nn12、設(shè)%――: =,%=一; =7n+1+yn\.1n+1—n值為1985?（n為自然數(shù)），當(dāng)n為何值，代數(shù)式19%2+123盯+19y2的B級(jí)1 11.已矢口%= ,y= =,貝U%3+12%y+y3=2+J3 2—<3（四川省競(jìng)賽試題）2.已知實(shí)數(shù)%，y滿(mǎn)足(%—%-,%2—2008)(y—、:y2—2008)—2008，則3%2—2y2+3%—3y—2007=（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）, 4—<7 X2 ―一3.已知%――^,那么 = (重慶市競(jìng)賽試題)3 %4+%2+1■— :: 3 3 3 1a=孤+尬+裊那么—+一+一=. (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)aa2a3a,b為有理數(shù)，且滿(mǎn)足等式a+以3―66g\,1+<4+2<3則a+b=( )A.2 B.4 C.6 D.8(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)已知a=<2—1，b=2<2—\6,c=x'6—2，那么a,b,c的大小關(guān)系是( )Aa<b<cB.b<a<cC.c<b<cD.c<a<b（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）— 1 .— 二-已知匯%=一aa，則v4%+%2的值是（ ）aa1 1A. a—— B. ——aa a1C. a+- D.不能確定a（陜西省競(jìng)賽試題））TOC\o"1-5"\h\z8.若［a］表示實(shí)數(shù)a的整數(shù)部分，則［-=1==］等于（ ）\，16—6口A.1 B.2 C.3 D.49.把(9.把(a—1)?中根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi)，則原式應(yīng)等于（a—1A.v1—aB.<a—1 C.一弋a(chǎn)—1D.—\：1—a10、化簡(jiǎn):：1998*1999*2000*2001+1⑴V + 1 +L+ 1)2H+1%■'123<2+2<3 100<99+99<1008+2<15—,.10—v,6(3)g+*汴—、/(4);2(6—2<3—2<5+<15)（武漢市調(diào)考題）（“希望杯”邀請(qǐng)賽試題）（新加坡