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2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,且是的充分不必要條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知數(shù)列對(duì)任意的有成立,若,則等于()A. B. C. D.3.若x,y滿足約束條件的取值范圍是A.[0,6] B.[0,4] C.[6, D.[4,4.給定下列四個(gè)命題:①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行,則這兩個(gè)平面相互平行;②若一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面相互垂直;③垂直于同一直線的兩條直線相互平行;④若兩個(gè)平面垂直,那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.其中,為真命題的是()A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④5.已知,,則等于().A. B. C. D.6.中國(guó)古代中的“禮、樂(lè)、射、御、書(shū)、數(shù)”合稱(chēng)“六藝”.“禮”,主要指德育;“樂(lè)”,主要指美育;“射”和“御”,就是體育和勞動(dòng);“書(shū)”,指各種歷史文化知識(shí);“數(shù)”,數(shù)學(xué).某校國(guó)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“六藝”課程講座活動(dòng),每藝安排一節(jié),連排六節(jié),一天課程講座排課有如下要求:“樂(lè)”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門(mén)課程不相鄰,則“六藝”課程講座不同的排課順序共有()種.A.408 B.120 C.156 D.2407.已知函數(shù),方程有四個(gè)不同的根,記最大的根的所有取值為集合,則“函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.已知實(shí)數(shù)滿足約束條件,則的最小值為()A.-5 B.2 C.7 D.119.著名的斐波那契數(shù)列:1,1,2,3,5,8,…,滿足,,,若,則()A.2020 B.4038 C.4039 D.404010.我國(guó)古代數(shù)學(xué)巨著《九章算術(shù)》中,有如下問(wèn)題:“今有女子善織,日自倍,五日織五尺,問(wèn)日織幾何?”這個(gè)問(wèn)題用今天的白話敘述為:有一位善于織布的女子,每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問(wèn)這位女子每天分別織布多少?根據(jù)上述問(wèn)題的已知條件,若該女子共織布尺,則這位女子織布的天數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.111.在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,則a3=()A.2 B.4 C. D.812.如圖,將兩個(gè)全等等腰直角三角形拼成一個(gè)平行四邊形,將平行四邊形沿對(duì)角線折起,使平面平面,則直線與所成角余弦值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若隨機(jī)變量的分布列如表所示,則______,______.-10114.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動(dòng),服務(wù)活動(dòng)共有“走進(jìn)社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測(cè)”、“愛(ài)心義演”、“交通宣傳”等四個(gè)項(xiàng)目,每人限報(bào)其中一項(xiàng),記事件為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”,事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)走進(jìn)社區(qū)項(xiàng)目”,則的值為_(kāi)_____.15.已知a,b均為正數(shù),且,的最小值為_(kāi)_______.16.已知橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,橢圓的焦距為2c,過(guò)C外一點(diǎn)P(c,2c)作線段PF1,PF2分別交橢圓C于點(diǎn)A、B,若|PA|=|AF1|,則_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)如圖,在四棱錐中,底面是矩形,是的中點(diǎn),平面,且,.()求與平面所成角的正弦.()求二面角的余弦值.18.(12分)已知是等腰直角三角形,.分別為的中點(diǎn),沿將折起,得到如圖所示的四棱錐.(Ⅰ)求證:平面平面.(Ⅱ)當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí),求平面與平面所成角的正弦值.19.(12分)隨著現(xiàn)代社會(huì)的發(fā)展,我國(guó)對(duì)于環(huán)境保護(hù)越來(lái)越重視,企業(yè)的環(huán)保意識(shí)也越來(lái)越強(qiáng).現(xiàn)某大型企業(yè)為此建立了5套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng),并制定如下方案:每年企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用預(yù)算定為1200萬(wàn)元,日常全天候開(kāi)啟3套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng),若至少有2套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),則立即檢查污染源處理系統(tǒng);若有且只有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),則立即同時(shí)啟動(dòng)另外2套系統(tǒng)進(jìn)行1小時(shí)的監(jiān)測(cè),且后啟動(dòng)的這2套監(jiān)測(cè)系統(tǒng)中只要有1套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo),也立即檢查污染源處理系統(tǒng).設(shè)每個(gè)時(shí)間段(以1小時(shí)為計(jì)量單位)被每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)的概率均為,且各個(gè)時(shí)間段每套系統(tǒng)監(jiān)測(cè)出排放超標(biāo)情況相互獨(dú)立.(1)當(dāng)時(shí),求某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)若每套環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)運(yùn)行成本為300元/小時(shí)(不啟動(dòng)則不產(chǎn)生運(yùn)行費(fèi)用),除運(yùn)行費(fèi)用外,所有的環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)每年的維修和保養(yǎng)費(fèi)用需要100萬(wàn)元.現(xiàn)以此方案實(shí)施,問(wèn)該企業(yè)的環(huán)境監(jiān)測(cè)費(fèi)用是否會(huì)超過(guò)預(yù)算(全年按9000小時(shí)計(jì)算)?并說(shuō)明理由.20.(12分)如圖,在三棱錐中,,,,平面平面,、分別為、中點(diǎn).(1)求證:;(2)求二面角的大?。?1.(12分)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問(wèn)題中,求的面積的值(或最大值).已知的內(nèi)角,,所對(duì)的邊分別為,,,三邊,,與面積滿足關(guān)系式:,且,求的面積的值(或最大值).22.(10分)已知函數(shù).(1)解關(guān)于的不等式;(2)若函數(shù)的圖象恒在直線的上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
“是的充分不必要條件”等價(jià)于“是的充分不必要條件”,即中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集.【詳解】由題意知:可化簡(jiǎn)為,,所以中變量取值的集合是中變量取值集合的真子集,所以.【點(diǎn)睛】利用原命題與其逆否命題的等價(jià)性,對(duì)是的充分不必要條件進(jìn)行命題轉(zhuǎn)換,使問(wèn)題易于求解.2、B【解析】
觀察已知條件,對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn),運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果.【詳解】已知,則,所以有,,,,兩邊同時(shí)相加得,又因?yàn)?,所?故選:【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值,運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法,遇到形如時(shí)就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和,需要掌握數(shù)列中的方法,并能熟練運(yùn)用對(duì)應(yīng)方法求解.3、D【解析】解:x、y滿足約束條件,表示的可行域如圖:目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí),函數(shù)取得最小值,由解得C(2,1),目標(biāo)函數(shù)的最小值為:4目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4,+∞).故選D.4、D【解析】
利用線面平行和垂直,面面平行和垂直的性質(zhì)和判定定理對(duì)四個(gè)命題分別分析進(jìn)行選擇.【詳解】當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí),一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線也可以平行于另一個(gè)平面,故①錯(cuò)誤;由平面與平面垂直的判定可知②正確;空間中垂直于同一條直線的兩條直線還可以相交或者異面,故③錯(cuò)誤;若兩個(gè)平面垂直,只有在一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直線才與另一個(gè)平面垂直,故④正確.綜上,真命題是②④.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力,是中檔題.5、B【解析】
由已知條件利用誘導(dǎo)公式得,再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號(hào),即可得到答案.【詳解】由題意得,又,所以,結(jié)合解得,所以,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號(hào)與位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
利用間接法求解,首先對(duì)6門(mén)課程全排列,減去“樂(lè)”排在第一節(jié)的情況,再減去“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的情況,最后還需加上“樂(lè)”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的情況;【詳解】解:根據(jù)題意,首先不做任何考慮直接全排列則有(種),當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié)有(種),當(dāng)“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰時(shí)有(種),當(dāng)“樂(lè)”排在第一節(jié),且“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰時(shí)有(種),則滿足“樂(lè)”不排在第一節(jié),“射”和“御”兩門(mén)課程不相鄰的排法有(種),故選:.【點(diǎn)睛】本題考查排列、組合的應(yīng)用,注意“樂(lè)”的排列對(duì)“射”和“御”兩門(mén)課程相鄰的影響,屬于中檔題.7、A【解析】
作出函數(shù)的圖象,得到,把函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與在(2,4]上有交點(diǎn),利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率,即可求得的取值范圍,再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖,由圖可知,,函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn),即有兩個(gè)不同的根,也就是與在上有2個(gè)交點(diǎn),則的最小值為;設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與的切點(diǎn)為,斜率為,則切線方程為,把代入,可得,即,∴切線斜率為,∴k的取值范圍是,∴函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)”是“”的充分不必要條件,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)研究過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線方程,試題有一定的綜合性,屬于中檔題.8、A【解析】
根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域,再將目標(biāo)函數(shù)化成斜截式,找到截距的最小值.【詳解】由約束條件,畫(huà)出可行域如圖變?yōu)闉樾甭蕿?3的一簇平行線,為在軸的截距,最小的時(shí)候?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的時(shí)候,解得所以,此時(shí)故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃求一次相加的目標(biāo)函數(shù),屬于常規(guī)題型,是簡(jiǎn)單題.9、D【解析】
計(jì)算,代入等式,根據(jù)化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】,,,故,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了斐波那契數(shù)列,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.10、B【解析】
將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題,最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問(wèn)題.【詳解】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問(wèn)題,在等比數(shù)列中,公比,前項(xiàng)和為,,,求的值.因?yàn)?,解得,,解得.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用,難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計(jì)算,對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題很有幫助.11、B【解析】
根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,,解得或(舍去).故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、C【解析】
利用建系,假設(shè)長(zhǎng)度,表示向量與,利用向量的夾角公式,可得結(jié)果.【詳解】由平面平面,平面平面,平面所以平面,又平面所以,又所以作軸//,建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè),所以則所以所以故選:C【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成成角的余弦值,一般采用這兩種方法:(1)將兩條異面直線作輔助線放到同一個(gè)平面,然后利用解三角形知識(shí)求解;(2)建系,利用空間向量,屬基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
首先求得a的值,然后利用均值的性質(zhì)計(jì)算均值,最后求得的值,由方差的性質(zhì)計(jì)算的值即可.【詳解】由題意可知,解得(舍去)或.則,則,由方差的計(jì)算性質(zhì)得.【點(diǎn)睛】本題主要考查分布列的性質(zhì),均值的計(jì)算公式,方差的計(jì)算公式,方差的性質(zhì)等知識(shí),意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、【解析】
根據(jù)條件概率的求法,分別求得,再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】
本題首先可以根據(jù)將化簡(jiǎn)為,然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【詳解】因?yàn)?,所以,?dāng)且僅當(dāng),即、時(shí)取等號(hào),故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值,基本不等式公式為,在使用基本不等式的時(shí)候要注意“”成立的情況,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題.16、【解析】
根據(jù)條件可得判斷OA∥PF2,且|PF2|=2|OA|,從而得到點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn),則有b=c,解出B的坐標(biāo)即可得到比值.【詳解】因?yàn)閨PA|=|AF1|,所以點(diǎn)A是線段PF1的中點(diǎn),又因?yàn)辄c(diǎn)O為線段F1F2的中點(diǎn),所以O(shè)A∥PF2,且|PF2|=2|OA|,因?yàn)辄c(diǎn)P(c,2c),所以PF2⊥x軸,則|PF2|=2c,所以O(shè)A⊥x軸,則點(diǎn)A為橢圓上頂點(diǎn),所以|OA|=b,則2b=2c,所以b=c,ac,設(shè)B(c,m)(m>0),則,解得mc,所以|BF2|c,則.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的基本性質(zhì),考查直線位置關(guān)系的判斷,方程思想,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1).(2).【解析】分析:(1)直接建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出面的法向量和已知線的向量,再結(jié)合向量的夾角公式求解即可;(2)先分別得出兩個(gè)面的法向量,然后根據(jù)向量交角公式求解即可.詳解:()∵是矩形,∴,又∵平面,∴,,即,,兩兩垂直,∴以為原點(diǎn),,,分別為軸,軸,軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系,由,,得,,,,,,則,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,令,得,,∴,∴,故與平面所成角的正弦值為.()由()可得,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,即,令,得,,∴,∴,故二面角的余弦值為.點(diǎn)睛:考查空間立體幾何的線面角,二面角問(wèn)題,一般直接建立坐標(biāo)系,結(jié)合向量夾角公式求解即可,但要注意坐標(biāo)的正確性,坐標(biāo)錯(cuò)則結(jié)果必錯(cuò),務(wù)必細(xì)心,屬于中檔題.18、(Ⅰ)見(jiàn)解析.(Ⅱ).【解析】
(I)證明平面得出平面,根據(jù)面面垂直的判定定理得到結(jié)論;(II)當(dāng)平面時(shí),棱錐體積最大,建立空間坐標(biāo)系,計(jì)算兩平面的法向量,計(jì)算法向量的夾角得出答案.【詳解】(I)證明:分別為的中點(diǎn),,又平面平面,又平面平面平面(II),為定值當(dāng)平面時(shí),三棱錐的體積取最大值以為原點(diǎn),以為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系則,設(shè)平面的法向量為,則即,令可得平面是平面的一個(gè)法向量平面與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的判定,二面角的計(jì)算,關(guān)鍵是能夠根據(jù)體積的最值確定垂直關(guān)系,從而可以建立起空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求得二面角,屬于中檔題.19、(1);(2)不會(huì)超過(guò)預(yù)算,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)求出某個(gè)時(shí)間段在開(kāi)啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個(gè)時(shí)間段在需要開(kāi)啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,可得某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率;(2)設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元,則的可能取值為900,1500.求得,,求得其分布列和期望,對(duì)其求導(dǎo),研究函數(shù)的單調(diào)性,可得期望的最大值,從而得出結(jié)論.【詳解】(1)某個(gè)時(shí)間段在開(kāi)啟3套系統(tǒng)就被確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為,某個(gè)時(shí)間段在需要開(kāi)啟另外2套系統(tǒng)才能確定需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為某個(gè)時(shí)間段需要檢查污染源處理系統(tǒng)的概率為.(2)設(shè)某個(gè)時(shí)間段環(huán)境監(jiān)測(cè)系統(tǒng)的運(yùn)行費(fèi)用為元,則的可能取值為900,1500.,令,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,的最大值為,實(shí)施此方案,最高費(fèi)用為(萬(wàn)元),,故不會(huì)超過(guò)預(yù)算.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立重復(fù)事件發(fā)生的概率、期望,及運(yùn)用求導(dǎo)函數(shù)研究期望的最值,由根據(jù)期望值確定方案,此類(lèi)題目解決的關(guān)鍵在于將生活中的量轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中和量,屬于中檔題.20、(1)證明見(jiàn)解析;(2)60°.【解析】試題分析:(1)連結(jié)PD,由題意可得,則AB⊥平面PDE,;(2)法一:結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角,計(jì)算可得其正切值為,故二面角的大小為;法二:以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算可得平面
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