2021-2022年高中數(shù)學(xué)第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系5作業(yè)含解析新人教版必修220220226110_第1頁(yè)
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PAGEPAGE6空間中直線與直線之間的位置關(guān)系[基礎(chǔ)鞏固]1.(2016·臺(tái)山一中)用M表示平面,a表示一條直線,則M內(nèi)至少有一條直線與a()A.平行 B.相交C.異面 D.垂直解析:如果a表示一條與平面相交的直線,則A不正確;如果a表示一條與平面平行的直線,則B不正確;如果a表示一條平面內(nèi)的直線,則C不正確,故選D.答案:D2.已知空間四邊形ABCD中,M、N分別是AB、CD的中點(diǎn),則下列判斷中正確的是()A.MN≥eq\f(1,2)(AC+BD) B.MN≤eq\f(1,2)(AC+BD)C.MN=eq\f(1,2)(AC+BD) D.MN<eq\f(1,2)(AC+BD)解析:如圖,取BC的中點(diǎn)E,連接ME、EN,則ME綊eq\f(1,2)AC,EN綊eq\f(1,2)BD,且ME+EN>MN,∴MN<eq\f(1,2)(AC+BD).答案:D3.在空間四邊形ABCD中,已知AD=1,BC=eq\r(3),且AD⊥BC,BD=eq\f(\r(13),2),AC=eq\f(\r(3),2),求AC和BD所成的角的大?。?/p>

解:如圖,取AB,CD,AD,AC的中點(diǎn)E,G,F(xiàn),H連接EF,F(xiàn)G,GE,EH,HG,由中位線的性質(zhì),得EF綊eq\f(1,2)BD,F(xiàn)G綊eq\f(1,2)AC,則∠EFG為BD與AC所成的角(或其補(bǔ)角),又EH∥BC,HG∥AD,且AD⊥BC,所以EH⊥HG,所以EG2=EH2+HG2=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)BC))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)AD))2=eq\f(1,4)×(eq\r(3))2+eq\f(1,4)×12=1.在△EFG中,EG2=EF2+FG2=1,所以∠EFG=90°,即AC和BD所成的角為90°.[能力提升]1.空間中,垂直于同一條直線的兩條直線()A.平行 B.相交C.異面 D.以上都有可能解析:可能平行,可能相交,也可能異面,故選D.答案:D2.(2016·巴東一中)給出下列兩個(gè)關(guān)于異面直線的命題:命題(1):若平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的直線b為異面直線,直線c是α與β的交線,那么c至多與a,b中的一條相交;命題(2):不存在這樣的無(wú)窮多條直線,它們中的任意兩條都是異面直線.那么()A.命題(1)正確,命題(2)不正確B.命題(2)正確,命題(1)不正確C.兩個(gè)命題都正確D.兩個(gè)命題都不正確解析:如圖所示,當(dāng)c與a,b都相交,但交點(diǎn)不是同一個(gè)點(diǎn)時(shí),平面α內(nèi)的直線a與平面β內(nèi)的直線b為異面直線,因此命題(1)不正確;(2)可以取無(wú)窮多個(gè)平行平面,在每個(gè)平面內(nèi)取一條直線,且使這些直線兩兩不平行,則這些直線中任意兩條都是異面直線,因此命題(2)不正確.故答案為D.答案:D3.E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD各邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn),若BD=2,AC=4,則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為()A.2 B.4C.6 D.8解析:如圖,在△ABD中,E、H分別是AB、AD的中點(diǎn),則EH綊eq\f(1,2)BD;在△CBD中,同理,F(xiàn)G綊eq\f(1,2)BD,從而EH綊FG.同理可得EF=GH=eq\f(1,2)AC,所以四邊形EFGH為平行四邊形,周長(zhǎng)為2(EH+EF)=6.答案:C4.(2015·吉林扶余一中期末考試)如圖,在三棱錐S-ABC中,G1,G2分別是△SAB和△SAC的重心,則直線G1G2與BCA.相交 B.平行C.異面 D.以上都有可能解析:∵G1,G2是重心,∴G1G2∥MN,而MN∥BC,∴G1G2∥答案:B5.(2015·浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)期末考試)如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為A1CC1的中點(diǎn),則異面直線BC1與AEA.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(\r(30),10)C.eq\f(\r(15),5) D.eq\f(3\r(10),10)解析:連接AD1,D1E,因?yàn)锳D1∥BC1,所以∠D1AE是異面直線BC1與AE所成的角.在△D1AE中,可以求得AD1=eq\r(5),AE=eq\r(6),D1E=eq\r(5),所以△D1AE為等腰三角形,從而求得∠D1AE的余弦值為eq\f(\r(30),10),故選B.答案:B6.如圖,若G、H、M、N分別是三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH,MN是異面直線的圖形有________.解析:①中HG∥MN,③中GM∥HN且GM≠HN,故HG、NM必相交,②④正確.答案:②④7.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1(1)AC與DD1所成的角為_(kāi)_______;(2)AC與D1C1(3)AC與B1D1所成的角為_(kāi)_______;(4)AC與A1B所成的角為_(kāi)_______;(5)A1B與B1D1所成的角為_(kāi)_______;(6)A1B與CC1所成的角為_(kāi)_______.解析:(1)DD1和AC是異面直線,因?yàn)锳A1∥DD1,AA1⊥AC,∠A1AC=90°,所以DD1和AC所成的角是90°;(2)因?yàn)镈C∥D1C1,所以∠ACD是AC和D1C1所成的角,又因?yàn)椤螦CD=45°,所以AC和D1C1所成的角是45°;(3)連接BD,因?yàn)锽D∥B1D1,所以AC與BD所成的角就是AC和B1D1所成的角,又因?yàn)锳C⊥BD,所以AC與B1D1所成的角是90°;(4)連接A1C1,BC1,則△A1BC1是等邊三角形,又因?yàn)锳1C1∥AC,所以∠BA1C1是AC和A1B所成的角,又因?yàn)椤螧A1C1=60°,所以AC和A1B所成的角是60°;(5)連接A1D,則△A1BD是等邊三角形,∠A1BD=60°,又因?yàn)锽D∥B1D1,所以∠A1BD是A1B和B1D1所成的角,即A1B和B1D1所成的角是60°;(6)因?yàn)锽B1∥CC1,所以∠A1BB1是A1B和CC1所成的角.又因?yàn)椤螦1BB1答案:(1)90°(2)45°(3)90°(4)60°(5)60°(6)45°8.(2016·如東高級(jí)中學(xué))已知a,b為異面直線,且a,b所成的角為40°,過(guò)空間一點(diǎn)作直線c,直線c與a,b均異面,且所成的角均為θ,若這樣的直線c共有四條,則θ的取值范圍為_(kāi)_______.解析:設(shè)平面α上的兩條直線m,n分別滿足m∥a,n∥b,則m,n相交,且?jiàn)A角為40°.若直線c與a,b均異面,且所成的角均為θ,則直線c與m,n所成的角均為θ.當(dāng)0°<θ<20°時(shí),不存在這樣的直線c;當(dāng)θ=20°時(shí),這樣的直線c只有一條;當(dāng)20°<θ<70°時(shí),這樣的直線c有兩條;當(dāng)θ=70°時(shí),這樣的直線c有三條;當(dāng)70°<θ<90°時(shí),這樣的直線c有四條;當(dāng)θ=90°時(shí),這樣的直線c只有一條.故θ的取值范圍為(70°,90°).答案:(70°,90°)9.如圖,△ABC和△A′B′C′的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線AA′、BB′、CC′交于同一點(diǎn)O,且eq\f(AO,OA′)=eq\f(BO,OB′)=eq\f(CO,OC′)=eq\f(2,3).(1)求證:A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC;(2)求eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)的值.解:(1)∵AA′∩BB′=O,且eq\f(AO,A′O)=eq\f(BO,B′O)=eq\f(2,3),∴AB∥A′B′,同理AC∥A′C′,BC∥B′C′.(2)∵A′B′∥AB,A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反,∴∠BAC=∠B′A′C′.又∵eq\f(AO,OA′)=eq\f(BO,OB′),∠AOB=∠A′OB′,∴△AOB∽△A′OB′.∴eq\f(AB,A′B′)=eq\f(AO,A′O).同理可證eq\f(AO,A′O)=eq\f(AC,A′C′),∴△ABC∽△A′B′C′.∴eq\f(S△ABC,S△A′B′C′)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AO,A′O)))2=eq\f(4,9).10

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