定積分在幾何上的應(yīng)用

定積分在幾何上的應(yīng)用第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日表示為一、什么問題可以用定積分解決?

1)所求量

U

是與區(qū)間[a,b]上的某函數(shù)f(x)

有關(guān)的2)U

對區(qū)間[a,b]

具有可加性

,即可通過“分割,近似,求和,取極限”定積分定義一個整體量;第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、如何應(yīng)用定積分解決問題?第一步利用“化整為零,以常代變”求出局部量的微分表達(dá)式第二步利用“積零為整,無限累加”求出整體量的積分表達(dá)式這種分析方法成為元素法

(或微元法)近似值精確值第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直線及

x

軸所圍曲則邊梯形面積為A,右圖所示圖形面積為第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日例1.

計算拋物線與直線的面積.解:

由得交點所圍圖形為簡便計算,選取

y

作積分變量,則有第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日例2.

求橢圓解:

利用對稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b

時得圓面積公式第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日例3.

求由擺線的一拱與x

軸所圍平面圖形的面積.解:第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日對應(yīng)

從0變例4.

計算阿基米德螺線解:到2

所圍圖形面積.第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日例5.

計算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對稱性,所求面積第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、平面曲線的弧長定義:

若在弧

AB

上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長→0時,折線的長度趨向于一個確定的極限,此極限為曲線弧AB

的弧長,即并稱此曲線弧為可求長的.定理:

任意光滑曲線弧都是可求長的.則稱第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長元素(弧微分):因此所求弧長第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長則得弧長元素(弧微分):第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日例6.

求連續(xù)曲線段解:的弧長.第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日例7.

計算擺線一拱的弧長.解:第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日三、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x

軸的截面面積為A(x),則對應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為上連續(xù),第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日特別,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y

軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日柱殼體積說明:

柱面面積（以擺線為例）第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日例8.

一平面經(jīng)過半徑為R

的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,解:

如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x

軸的截面是直角三角形,其面積為利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積.第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積設(shè)平面光滑曲線求積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日側(cè)面積元素的線性主部.若光滑曲線由參數(shù)方程給出,則它繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積△S的注意:側(cè)面積為第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日例9.

計算圓x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺的側(cè)面積S.解:

對曲線弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺高h(yuǎn)＝2R

時,得球的表面積公式第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日例10.

求由星形線一周所得的旋轉(zhuǎn)體的表面積S.解:

利用對稱性繞

x

軸旋轉(zhuǎn)第二十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程上下限按順時針方向確定直角坐標(biāo)方程注意:求弧長時積分上下限必須上大下小第二十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日3