第七章應(yīng)力與應(yīng)變分析、強度理論

第七章應(yīng)力與應(yīng)變分析、強度理論第一,二節(jié)應(yīng)力狀態(tài)的概念

第三節(jié)平面應(yīng)力狀態(tài)分析(解析法)

第四節(jié)平面應(yīng)力狀態(tài)分析(圖解法)

第五節(jié)三向應(yīng)力狀態(tài)簡介

第八節(jié)廣義虎克定律

第十一,十二節(jié)四種強度理論請看下列實驗現(xiàn)象：低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實驗應(yīng)力狀態(tài)概述問題的提出復(fù)習(xí):低碳鋼拉伸實驗韌性材料-低碳鋼軸向拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？滑移線鑄鐵扭轉(zhuǎn)實驗脆性材料-鑄鐵扭轉(zhuǎn)時為什么會沿450螺旋面斷開？以前的知識不能解釋這些現(xiàn)象

鋼筋混凝土簡支梁問題的提出軸向拉伸桿件斜截面應(yīng)力：問題1：同一點處不同方位截面上的應(yīng)力不相同；橫截面應(yīng)力：梁彎曲的強度條件：z問題2

一點處應(yīng)力該如何校核？

——有必要研究一點的應(yīng)力狀態(tài)。一方面：研究通過一點各不同方位截面上應(yīng)力的變化規(guī)律。一方面：需要探求材料破壞的規(guī)律。建立復(fù)雜受力時的強度條件研究在各種不同的復(fù)雜受力形式下：強度失效的共同規(guī)律假定失效的共同原因利用單向拉伸的實驗結(jié)果強度理論FPFP受力之前,表面的正方形受拉后，正方形變成了矩形，直角沒有改變。受力之前,表面斜置的正方形這表明：拉桿的斜截面上存在剪應(yīng)力。

受拉后，正方形變成了菱形。FPFP拉伸表明，軸扭轉(zhuǎn)時，其斜截面上存在著正應(yīng)力。圓變?yōu)橐恍敝脵E圓，長軸方向伸長，短軸方向縮短。扭轉(zhuǎn)MxMx？一點的應(yīng)力狀態(tài)：

過一點處，即一微元所有方位面上的應(yīng)力集合，稱為該點的應(yīng)力狀態(tài)。（1）什么是一點的應(yīng)力狀態(tài)圍繞一點作一微小單元體，即微元為什么分析一點的應(yīng)力狀態(tài)？找出一點處沿不同方向應(yīng)力的變化規(guī)律，確定出最大應(yīng)力，從而全面考慮構(gòu)件破壞的原因，建立適當(dāng)?shù)膹姸葪l件。1.基本概念根據(jù)微元的局部平衡拉中有剪剪中有拉不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力；不僅要研究橫截面上的應(yīng)力，而且也要研究斜截面上的應(yīng)力。橫截面上的正應(yīng)力分布應(yīng)力的點的概念：同一面上不同點的應(yīng)力不一定相同。橫截面上的剪應(yīng)力分布應(yīng)力的面的概念：同一點不同方向面上的應(yīng)力也不一定相同。應(yīng)力指明哪一個面上

哪一點？哪一個點上

哪一方向面？應(yīng)力狀態(tài)分析(analysisofstress-state)是用平衡的方法，分析過一點、在不同方向面上的應(yīng)力以及這些應(yīng)力之間的相互關(guān)系，并確定這些應(yīng)力中的極大值和極小值以及它們的作用面。

研究一點的應(yīng)力狀態(tài)，可對一個包圍該點的微小正六面體——單元體進行分析在單元體各面上標(biāo)上應(yīng)力：應(yīng)力單元體

應(yīng)力狀態(tài)的分類yxz各邊邊長,,dxdydz2.兩個相互平行側(cè)面上的應(yīng)力情況相同.3.代表點三個相互垂直方向上的應(yīng)力情況.1.單元體各側(cè)面上的應(yīng)力分布是均勻的.單元體的特點應(yīng)力與應(yīng)變分析PMeMePPMeMec)同b)但從上表面截取Ctssb)橫截面，周向面，直徑面各一對Ba)一對橫截面，兩對縱截面As=P/Ast=Me/WnABC幾種受力情況下截取單元體方法：

（1）應(yīng)力分量的角標(biāo)規(guī)定：第一角標(biāo)表示應(yīng)力作用面(法線)，第二角標(biāo)表示應(yīng)力平行的軸，兩角標(biāo)相同時，只用一個角標(biāo)表示。

（2）面的方位用其法線方向表示單元體上的應(yīng)力分量應(yīng)力與應(yīng)變分析

根據(jù)材料的均勻連續(xù)假設(shè)，微元體各微面上的應(yīng)力均勻分布，相互平行的兩個側(cè)面上應(yīng)力大小相等、方向相反；互相垂直的兩個側(cè)面上剪應(yīng)力服從剪切互等關(guān)系:

正負號規(guī)定：正應(yīng)力以拉應(yīng)力為正，壓為負；剪應(yīng)力以對微元體內(nèi)任意一點取矩為順時針者為正，反之為負。xOzydzdxdyXYZOsysyszsztyxtyxtxytxysxsxtzxtxztzxtxz應(yīng)力與應(yīng)變分析應(yīng)力角標(biāo)規(guī)定：第一角標(biāo)表示應(yīng)力作用面(法線表示)，第二角標(biāo)表示應(yīng)力平行的軸，角標(biāo)相同時只用一個角標(biāo)表示.二、應(yīng)力狀態(tài)分類(按主應(yīng)力)

基本概念主平面：單元體上剪應(yīng)力為零的面；

主應(yīng)力：主平面上作用的正應(yīng)力，用s1、s2、s3表示，按s1≥s2≥s3(根據(jù)大小排列).應(yīng)力與應(yīng)變分析旋轉(zhuǎn)y'x'z's2s3s1xyzsxsztxytxztzxtzytyztyxsy

2、應(yīng)力狀態(tài)的分類1)、空間應(yīng)力狀態(tài):

三個主應(yīng)力1、2、3均不等于零2)、平面應(yīng)力狀態(tài):

三個主應(yīng)力1、2、3中有兩個不等于零3)、單向應(yīng)力狀態(tài)

三個主應(yīng)力1、2、3中只有一個不等于零312231221111空間應(yīng)力狀態(tài)yxzxy平面應(yīng)力狀態(tài)特例三向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)純剪應(yīng)力狀態(tài)特例特例特例取單元體示例FPl/2l/2S截面5432154321S截面5432154321S截面12

3

alSF

例:畫出如圖所示梁危險截面危險點的應(yīng)狀態(tài)單元體

xzy4321zy4321FSMZT12yxzzy4321FSMZTxzy43213例:分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時的應(yīng)力狀態(tài)pDyz薄壁圓筒的橫截面面積:mmnpD′nn(1)沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為F直徑平面(2)假想用一直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環(huán)為研究對象p"yOFNFNd一、平面應(yīng)力分析的解析法

1.平面應(yīng)力狀態(tài)圖示：

第三節(jié)平面應(yīng)力狀態(tài)分析sytyxtxysxsxsxtxysysysxtyx

平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示.單元體上有x,xy

和y,yx–3方向角與應(yīng)力分量的正負號約定拉為正壓為負正應(yīng)力剪應(yīng)力使微元或其局部順時針方向轉(zhuǎn)動為正；反之為負。方向角由x正向逆時針轉(zhuǎn)到n正向者為正；反之為負。平衡對象平衡方程參加平衡的量——用

斜截面截取的微元局部——應(yīng)力乘以其作用的面積–3微元的局部平衡利用三角中的倍角公式，根據(jù)上述平衡方程式，可以得到計算平面應(yīng)力狀態(tài)中任意方向面上正應(yīng)力與剪應(yīng)力的表達式：

3738xyxy例:圖示單元體，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.試求ef

截面上的應(yīng)力情況n30°ef解:求

ef截面上的應(yīng)力403020asata

例:圖示單元體，試求：a=30o斜截面上的應(yīng)力[例]分析軸向拉伸桿件的最大剪應(yīng)力的作用面，說明低碳鋼拉伸時發(fā)生屈服的主要原因。解：y＝0，yx＝0。

當(dāng)θ＝45o時，斜截面上既有正應(yīng)力又有剪應(yīng)力：

根據(jù)平面應(yīng)力狀態(tài)任意斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力公式軸向拉伸時最大剪應(yīng)力發(fā)生在與軸線夾45o角的斜面上，這正是低碳鋼試樣拉伸至屈服時表面出現(xiàn)滑移線的方向。

認為屈服是由最大剪應(yīng)力引起的[例]分析圓軸扭轉(zhuǎn)時最大剪應(yīng)力的作用面，說明鑄鐵圓軸試樣扭轉(zhuǎn)破壞的主要原因。解：純剪應(yīng)力狀態(tài)下x＝y(tǒng)＝0，純剪應(yīng)力狀態(tài)壓應(yīng)力最大拉應(yīng)力最大根據(jù)公式：鑄鐵圓試樣扭轉(zhuǎn)實驗時，正是沿著最大拉應(yīng)力作用面(即-45o螺旋面)斷開的。因此，認為這種脆性破壞是由最大拉應(yīng)力引起的。

1)最大正應(yīng)力及方位令:0和0+90°確定兩個互相垂直的平面，一個是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個是最小正應(yīng)力所在的平面.將0和

0+90°代入公式:得到max和

min(主應(yīng)力）

txy箭頭指向第幾象限(一、四)，則較大主應(yīng)力在第幾象限txys's"a0*txys"s'a0*2)最大切應(yīng)力及方位:令:1和1+90°確定兩個互相垂直的平面，一個是最大切應(yīng)力所在的平面，另一個是最小切應(yīng)力所在的平面.將1和

1+90°代入公式:得到max和min可見解（1）求主平面方位因為x

=y

，且xy>0例:求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位.xy所以0=-45°與max對應(yīng)45°（2）求主應(yīng)力1=，2=0，3=-13xyxy例:圖示單元體，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.試求ef

截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位.n30°ef解:(1)求

ef截面上的應(yīng)力xyxy22.5°13(2)求主應(yīng)力和主單元體的方位x

=-40MPa

y

=60MPa

x

=-50MPa=-30°403020asata40203014.9os"s's"s'

例:圖示單元體，試求：①a=30o斜截面上的應(yīng)力；②主應(yīng)力并畫出主單元體；③極值切應(yīng)力。例:簡支梁如圖所示.已知mm

截面上A點的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

=-70MPa，=50MPa.確定A點的主應(yīng)力及主平面的方位.AmmalA解：把從A點處截取的單元體放大如圖xAA01313tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s3分析圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)解:取單元體ABCD例:

分析圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)。

4)圓軸扭轉(zhuǎn)時，橫截面為純剪切應(yīng)力狀態(tài)，最大拉、壓應(yīng)力在與軸線成±45斜截面上，它們數(shù)值相等，均等于橫截面上的剪應(yīng)力；tABCDx45o-45oMeMeDCBAs3s1s1s35)對于塑性材料(如低碳鋼)抗剪能力差，扭轉(zhuǎn)破壞時，通常是橫截面上的最大剪應(yīng)力使圓軸沿橫截面剪斷；6)對于脆性材料(如鑄鐵、粉筆)抗拉性能差，扭轉(zhuǎn)破壞時，通常沿與軸線成45o的螺旋面發(fā)生拉斷。RO第四節(jié)平面應(yīng)力分析的圖解法—應(yīng)力圓1.理論依據(jù)：

①

為半徑的圓。②以s、t為坐標(biāo)軸，則任意a斜截面上的應(yīng)力sx‘、tx’y以為半徑的圓。2.應(yīng)力圓的繪制：

①定坐標(biāo)及比例尺；②取x面，定出D()點；取y面，定出D‘()點；③連DD'交s軸于C點，以C為圓心，DD1為直徑作圓；sxsxtxytyxtxytyxsysyOstxynaC2a0A1s'B1s"2a(sa,ta)EG1t'G2t"D'(sy,tyx)BAD(sx,txy)sata2.應(yīng)力圓的繪制：

①定坐標(biāo)及比例尺；②取x面，定出D()點；取y面，定出D‘()點；③連DD'交s軸于C點，以C為圓心，DD1為直徑作圓；點面之間的對應(yīng)關(guān)系：單元體某一面上的應(yīng)力，必對應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)。說明夾角關(guān)系：圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。2OCBAsxsxADtsodacx'yy'45ox2×45o2×45obeBE單向拉伸

單向拉伸tsodac2×45o2×45obe可見，45o方向面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力，但正應(yīng)力不是最大值，切應(yīng)力卻最大。單向拉伸ttotsa(0,t)d(0,-t)ADbec2×45o2×45os1＝ts3＝tBE純剪應(yīng)力狀態(tài)結(jié)果表明：45o方向面只有正應(yīng)力沒有切應(yīng)力，而且正應(yīng)力為最大值。otsttADs1＝ts3＝tBEs3＝ts1＝tBE主應(yīng)力單元體a(0,t)d(0,-t)bec2×45o2×45o純剪應(yīng)力狀態(tài)4、主應(yīng)力與主平面(1)主應(yīng)力與主平面主平面（PrincipalPlane）：切應(yīng)力為零的平面(與應(yīng)力圓上和橫軸交點對應(yīng)的面)主應(yīng)力：作用于主平面上的正應(yīng)力主單元體:各側(cè)面上只有正應(yīng)力作用,而無剪應(yīng)力作用的單元體

(2)主應(yīng)力的確定(4)主應(yīng)力的表達式(3)主方向的確定過一點總存在三對相互垂直的主平面，對應(yīng)三個主應(yīng)力(5)主應(yīng)力的排序301050單位：MPa3010FF求：1)a=30o斜截面上的應(yīng)力；

2)主應(yīng)力及其方位；

3)極值剪應(yīng)力。sOtD(30,-20)D'(-40,20)C60o(29.8,20.3)35.3-45.329.8o403020xasata40.3-40.3

例:

用應(yīng)力圓法重解例題。求例D’60EFτσO2、量出所求的物理量解：1、按比例畫此單元體對應(yīng)的應(yīng)力圓

D’60EFτσO

例:兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試?yán)L出截面c上a,b

兩點處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這兩點處的主應(yīng)力。12015152709zab250KN1.6m2mABC12015152709zab250KN1.6m2mABC解:(1)首先計算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖+200kN50kN+80kN.mFSmax=FC左

=200kNMmax=MC=80kN?m(2)橫截面C上a點的應(yīng)力為a點的單元體如左圖所示axxxyyx由x，xy

定出D

點由y，yx

定出D′

點以DD′為直徑作應(yīng)力圓OC(3)做應(yīng)力圓

x=122.5MPa，xy

=64.6MPa

y=0，xy

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1，A2兩點的橫坐標(biāo)分別代表a

點的兩個主應(yīng)力

1和

3A1點對應(yīng)于單元體上1

所在的主平面

axxxyyx01312015152709zab(4)橫截面C上b點的應(yīng)力b點的單元體如圖所示bxxb點的三個主應(yīng)力為1所在的主平面就是x

平面,

即梁的橫截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′1第五節(jié)三向應(yīng)力狀態(tài)yxz在受力物體的任一點處一定可以找到一個主應(yīng)力單元體，其三對相互垂直的平面均為主平面，三對主平面上的主應(yīng)力分別為σ1、σ2、σ3。對危險點處于空間應(yīng)力狀態(tài)下的構(gòu)件進行強度計算時，通常需確定最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。1).彈性理論證明，單元體內(nèi)任意截面上的應(yīng)力都對應(yīng)著應(yīng)力圓上或陰影區(qū)內(nèi)的一點。tmax結(jié)論——3).整個單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力為：2).整個單元體內(nèi)的最大正應(yīng)力為：4).整個單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力所在的平面：與主平面垂直，并與和主平面互成45°夾角。例：求圖示單元體的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力。（MPa）解：1)x面為主平面之一2)建立應(yīng)力坐標(biāo)系如圖，畫y—z平面的應(yīng)力圓及三向應(yīng)力圓得:xyz305040CBAsatao(M

Pa)（M

Pa）10DD/C

1

3

2tmax解析法——1)由單元體知：x面為主平面之一,2)求y—z面內(nèi)的最大、最小正應(yīng)力。3)主應(yīng)力4)最大切應(yīng)力xyz305040CBA（MPa

）20030050otmax平面應(yīng)力狀態(tài)作為三向應(yīng)力狀態(tài)的特例20050O3005030050O第八節(jié)廣義虎克定律知識點復(fù)習(xí)

設(shè)桿原長為l，直徑為d,受一對軸向拉力F的作用，發(fā)生變形。變形后桿長為l1，直徑為d1。軸向(縱向)應(yīng)變：其中：拉應(yīng)變?yōu)檎?，壓?yīng)變?yōu)樨?。橫向應(yīng)變：

胡克定律：

實驗表明，橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變之比為一常數(shù)u----稱為橫向變形系數(shù)（泊松比）一、廣義虎克定律1.有關(guān)概念：

主應(yīng)變：沿主應(yīng)力方向的應(yīng)變，分別用e1≥e2≥e3表示；

2.廣義虎克定律：①推導(dǎo)方法：疊加原理②主應(yīng)變與主應(yīng)力關(guān)系：第八節(jié)廣義虎克定律s1s2s3s1s1Is2s2IIs3IIIs1Is1s2IIs2IIIs3二、例題

例:在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.001mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到P=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取E=200GPa，u=0.30。PpPP/AppppP/App

解：①在柱體橫截面上的壓應(yīng)力為：②在軸向壓縮下，圓柱將向橫向膨脹，柱內(nèi)任一點的徑向與周向應(yīng)力均為-p，由于柱與凹座之間有間隙，因此應(yīng)變e2的值為：③由廣義虎克定律：

求得：④柱內(nèi)各點的三個主應(yīng)力為：單元體的應(yīng)變能密度：利用廣義胡克定律:

第九節(jié)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度

對于在線彈性、小變形條件下受力物體，所積蓄的應(yīng)變能至取決于外力的最后數(shù)值，而與加力順序無關(guān)。體積胡克定律:形狀改變比能:單元體的比能

(單位體積儲存的變形能)：利用廣義虎克定律:

2

3

1

圖a

m

m

m圖b

2

3

1-

m-

m-

m圖c圖b體積改變，形狀不變；圖c形狀改變，體積不變。單元體的應(yīng)變能：—

稱為體積改變比能

圖c

圖b圖

a圖C單元體的體積應(yīng)變：單元體的比能＝體積改變比能(b)＋形狀態(tài)改變比能(c)—

稱為形狀改變比能所以圖C單元體體積不變圖a

單元體的體積應(yīng)變：——稱為形狀改變比能或畸形能圖c圖b圖ab圖的體積應(yīng)變比能：1.簡單應(yīng)力狀態(tài)下強度條件可由實驗確定

2.復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，材料的失效方式與材料性質(zhì)、其應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，即與各主應(yīng)力大小及比值有關(guān)第十節(jié)強度理論的概念強度理論：構(gòu)件在靜載荷作用下的兩種失效形式：

(1)脆性斷裂：材料無明顯的塑性變形即發(fā)生斷裂，斷面較粗糙，且多發(fā)生在垂直于最大正應(yīng)力的截面上，如鑄鐵受拉、扭，低溫脆斷等。

(2)塑性屈服（流動）：材料破壞前發(fā)生顯著的塑性變形，破壞斷面粒子較光滑，且多發(fā)生在最大剪應(yīng)力面上，例如低碳鋼拉、扭，鑄鐵壓。

人們根據(jù)大量的破壞現(xiàn)象，通過判斷推理、概括，提出了種種關(guān)于破壞原因的假說，找出引起破壞的主要因素，經(jīng)過實踐檢驗，不斷完善，在一定范圍與實際相符合，上升為理論（為了建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件，而提出的關(guān)于材料破壞原因的假設(shè)及計算方法）

。強度準(zhǔn)則：①金屬材料的強度失效分為：屈服與斷裂；②強度準(zhǔn)則(強度理論)：材料失效原因的假說

(假說—實踐—理論)③通過強度準(zhǔn)則，并利用單向拉伸實驗結(jié)果來建立各種應(yīng)力狀態(tài)下的失效判據(jù)以及相應(yīng)的設(shè)計準(zhǔn)則。兩類強度理論：1.第一類強度理論（以脆性斷裂破壞為標(biāo)志）既第一,第二強度理論

2.第二類強度理論（以塑性屈服破壞為標(biāo)志）既第三,第四強度理論四個強度理論

準(zhǔn)則：無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大拉應(yīng)力s1達到某一極限值則材料發(fā)生斷裂。1.斷裂原因：最大拉應(yīng)力s1（與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）3.強度條件：

2.破壞條件：一、第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論）4.應(yīng)用情況：符合脆性材料的拉斷試驗，如鑄鐵單向拉伸和扭轉(zhuǎn)中的脆斷；由于未考慮其余主應(yīng)力影響因此不能用于無拉應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。二、最大伸長線應(yīng)變理論（第二強度理論）

準(zhǔn)則：無論材料處于什么應(yīng)力狀態(tài)，只要最大伸長線應(yīng)變e1達到某一極限值,材料即發(fā)生斷裂。1.斷裂原因：最大伸長線應(yīng)變e1（與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）；

3.強度準(zhǔn)則：

2.破壞條件：4.應(yīng)用情況：符合表面潤滑石料的軸向壓縮破壞等，不符合大多數(shù)脆性材料的脆性破壞。

三、最大切應(yīng)力理論（第三強度理論）

準(zhǔn)則：無論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，只要最大切應(yīng)力tmax達到某一極限值材料就發(fā)生屈服。

1.屈服原因：最大切應(yīng)力tmax（與應(yīng)力狀態(tài)無關(guān)）；

2.屈服條件：

3.強度準(zhǔn)則：

4.應(yīng)用情況：形式簡單，符合實際，廣泛應(yīng)用，偏于安全。

四、第四強度理論（形狀改變比能理論）

準(zhǔn)則：不論應(yīng)力狀態(tài)如何，只要畸變能密度達到某一極限值材料就發(fā)生屈服。1.屈服原因：最大