工程流體力學02

第2章流體靜力學§2.1作用在流體上的力§2.2

流體平衡微分方程式§2.3

流體靜力學基本方程式§2.4

液柱式測壓計§2.5

流體在非慣性坐標系中的相對平衡§2.6

靜止流體對壁面的壓力返回目錄研究流體平衡的條件及壓強分布規(guī)律研究流體與固體間的相互作用及其工程應用靜止或平衡狀態(tài)：相對靜止或相對平衡平衡狀態(tài)：流體相對于地球沒有運動流體相對于非慣性坐標系沒有運動流體靜力學研究的是流體平衡的規(guī)律在研究流體平衡時，通常將地球選作慣性坐標系由于處在（相對）靜止狀態(tài)的流體流層之間沒有相對運動，因而粘性作用反映不出，故流體靜力學所討論的內容，不論對理想流體，還是實際流體都是適用的?！?.1

作用在流體上的力為了研究流場中流體平衡和運動的規(guī)律，必須分析作用在流體上的力。作用在流體上的力按其性質（作用方式）的不同，可分為：表面力：流體分離體以外的物體作用在分離體上的力質量力：某種力場作用在全部質點上的力1.

表面力tnFFtFnA作用在單位面積上的表面力稱為應力為：法向應力和切向應力分別為：pn與n的方位不一致，其大小和點的坐標、時間以及作用面的方位有關，即：pn=f(x,y,z,n,t)作用在流體表面上，與作用面的表面面積大小成正比。（壓強）（粘滯力）——靜止流體或理想流體不存在粘滯力?！?.1

作用在流體上的力2.

質量力常見的質量力有：單位質量力某種力場作用在單位質量流體上的質量力。注意：慣性力是根據達朗貝爾原理虛加在做加速運動物理上的力重力慣性力xyza對于如圖所示豎直向下做加速運動的容器，單位質量力三個坐標軸方向的質量力分布為：作用在流體的每一個質點上，與流體質點的質量大小成正比。質量力常以單位質量力來度量的。歸納兩點：1、平衡流體內不存在切向應力，表面力即為法向應力（即靜壓強）；2、絕對平衡流體所受質量力只有重力，相對平衡流體可能受各種質量力的作用?！?.1

作用在流體上的力§2.1作用在流體上的力3.

流體靜壓強當流體處于靜止或相對靜止狀態(tài)時，作用在流體上的力只有法向應力，沒有切向應力。此時的法向應力就是沿作用面內法線方向的靜壓強。用符號p表示，單位為Pa。4.

流體靜壓強的特性特性一：流體靜壓強的方向總是垂直指向作用面（沿作用面的內法線方向）證明：依據靜止流體的特點，反證法。∴靜止流體對容器的靜壓強恒垂直于器壁。(器壁對流體的壓強沿器壁的內法線方向)特性二：靜止流體中任一點流體靜壓強的大小與作用面在空間的方位無關，是點的坐標的連續(xù)可微函數xyzpxpzpypnxyzABCD如圖所示，在靜止流體中的點A取一微元四面體，與坐標軸相重合的邊長分別為x、y、z，三角形BCD的面積設為S，各微小平面中心點上的壓強分別為px、py、pz，單位質量力在三個坐標軸方向上的投影分別為fx、fy、fz。由于流體靜止，則作用在四面體上的力平衡，即：§2.1作用在流體上的力證明：微元體法以x坐標軸方向為例，作用在四面體上的力在x方向上的平衡方程為：因為：故上式簡化為：讓四面體無限縮小到點A，上式第二項為無窮小，可以略去，故得：同理：即：可見，在靜止流體中任一點上任意方向的壓強相等，是空間坐標的連續(xù)函數，即：§2.1作用在流體上的力xyzpxpzpypnxyzABCD§2.2

流體平衡微分方程式1.

流體平衡微分方程式在靜止流體中取一邊長分別為x、y、z的微小立方體，中心點為a（x,y,z），該點的密度為，靜壓強為p。作用在立方體上的力在x方向的平衡方程為:——微元體法axzyxyzbcfx§2.2

流體平衡微分方程式以微小立方體的質量xyz除以上式，得a點在x方向的平衡方程：寫成矢量形式：上式即為流體平衡微分方程，又稱為歐拉平衡微分方程。該式的物理意義為：在靜止流體內的任一點上，作用在單位質量流體上的質量力與靜壓強的合力相平衡。該方程對不可壓縮流體和可壓縮流體的靜止和相對靜止狀態(tài)都適用，是流體力學的基本方程。密度一定的流體，在已知單位質量力沿各坐標方向的分力，即可獲得靜壓強的分布規(guī)律。靜壓強的全微分此式便于積分。對于各種不同質量力作用下流體內的壓強分布規(guī)律，均可由它積分得到。得：則：——歐拉平衡微分方程的綜合表達式將平衡微分方程的三個表達式分別乘以dx、dy、dz

然后相加§2.2

流體平衡微分方程式2.

綜合表達式壓強差公式，表明流體靜壓強的增量取決于單位質量力和坐標增量。對于不可壓縮流體，=常數。則有:fx=-(p/x)，fy=-(p/y),

fz=-(p/z)

由于坐標函數-p(x,y,z)與質量力之間存在著上述關系，則稱函數-p為質量力的勢函數，這樣的質量力稱為有勢質量力?！?.2

流體平衡微分方程式3.

質量力的勢函數令p/=-p，因p=p(x,y,z)，則:-p

=-p(x,y,z)則：d(p/)=d（-p）又由綜合式有：d（-p）=fxdx+fydy+fzdz寫成矢量式有：§2.2

流體平衡微分方程式4.

等壓面等壓面在流場中壓強相等的點組成的面，dp=0，p(x,y,z)=const。等壓面的微分方程，表明在靜止的流體中作用于任一點的質量力垂直于經過該點的等壓面。寫成矢量形式：又由綜合式則有:例重力場：單位質量力三個分量為——由：

fx=-(p/x)，fy=-(p/y),

fz=-(p/z)

而：

積分有：

——重力場中勢函數為單位質量流體具有的重力勢能

——等壓面的微分方程式

等壓面性質：

2.等壓面即是等勢面；1.等壓面與質量力矢量垂直，在重力場中，等壓面是水平面；3.兩種不相混的平衡液體的分界面必然是等壓面?！?.2

流體平衡微分方程式由：等壓面的微分方程式：有：積分有：§2.3

流體靜力學基本方程式

作用在流體上的質量力與流體所受力場的作用有關，若流體僅受重力場的作用，則作用在流體上的質量力僅為重力，自然界或工程實際中經常遇到的是此類情況。1.

流體靜力學基本方程式xyzz2z1p1p212p0o在重力場中，單位質量力只有重力，即：

代入平衡微分方程的綜合表達式：方程兩邊同除以g，得：流體靜力學基本方程式，適用于重力作用下靜止的不可壓縮均質流體。得：

積分得：

*2.

流體靜力學基本方程式的物理意義p/(g)

——壓強高度或壓強水頭xzzhpapp0hob如圖所示，玻璃管上端抽真空，對于a點和b點，流體力學基本方程式為：§2.3

流體靜力學基本方程式z——液體觀測點距基準面的高度，稱為：位置高度或位置水頭。z——又稱為單位重量流體的位置勢能。由與一段液體柱高度相當p/(g)

——單位重量流體的壓強勢能即a點與真空的壓強差對單位重量流體做的功代表一種能z+p/(g)

——單位重量流體的總勢能

方程的物理意義是：在重力作用下，靜止的不可壓縮流體中單位重量流體的總勢能保持不變。xzzhpapp0hob§2.3

流體靜力學基本方程式也稱為靜能（水）頭流體靜力學基本方程式：計示靜水頭線§2.3

重力場中流體的平衡3.

流體靜力學基本方程式的幾何意義z——位置水頭p/(g)——壓強水頭z+p/(g)——靜水頭z1z2AA1p1p22p0z1z2A’A’1p1p22p0pa完全真空靜水頭線積分常數根據自由表面上的邊界條件確定：

4.

重力作用下靜止液體內的靜壓力分布xyzz0zp0oh所以任意坐標z處的壓強為：在重力作用下靜止有自由表面的不可壓縮流體中，靜壓強由兩部分組成：自由表面上的壓強p0淹沒深度為h、密度為的流體柱產生的壓強gh帕斯卡原理：自由液面上的壓強將以同樣的大小傳遞到液體內部的任意點上§2.3

重力場中流體的平衡靜力學基本方程式變形：

——反映壓強分布規(guī)律

上面兩式均稱為流體靜力學的基本方程式?？偨Y：適用于平衡狀態(tài)下的不可壓縮勻質重力流體。對于可壓縮流體是不適用的。§2.3

重力場中流體的平衡若流場中的溫度處處相等（例大氣等溫層），積分上式§2.3

重力場中流體的平衡5.

可壓縮流體中的壓強分布可壓縮流體的密度將隨著壓力、溫度的變化而變化，對完全氣體，其變化規(guī)律符合狀態(tài)方程，即：在重力場中，單位質量力只有重力，即：

上兩式代入平衡微分方程的綜合表達式：則可得：且取z=z0時，p=p0——等溫可壓縮流體的壓強分布規(guī)律。大氣對流層的流場不等溫，其溫度梯度為T=Ta-βz§2.3

重力場中流體的平衡則：在重力場中，單位質量力只有重力，即：

上兩式代入平衡微分方程的綜合表達式：從海平面至任意高度z積分,得：1.

絕對壓強、計示壓強、真空和真空度絕對壓強以完全真空為基準計量的壓強，如p=pa+gh

中的p。計示壓強（相對壓強，表壓強）以當地大氣壓強為基準計量的壓強，如pe=p-pa=gh

中的pe。真空當流體的絕對壓強低于大氣壓強時，該區(qū)域處于真空。計示壓強為負值時，負計示壓強用真空度表示，即：pv=-pe=pa-p真空度ppepvpp=0papp<pap>pa§2.4

液柱式測壓計

物理學中一般用絕對壓強去計量壓強。工程技術中大都用相對壓強去計量壓強。這是由于工程技術中用以測量壓強的儀表，都與大氣相通，（如U形管測壓計），因而實際測量的就是絕對壓強與大氣壓強之差。2.

液柱式測壓計測壓管是一種最簡單的液柱式測壓計。為了減少毛細現(xiàn)象所造成的誤差，采用一根內徑為10mm左右的直玻璃管。測量時，將測壓管的下端與裝有液體的容器連接，上端開口與大氣相通。測壓管hp0ppahpap§2.4

液柱式測壓計都為相對壓強U形管測壓計這種測壓計是一個裝在刻度板上兩端開口的U形玻璃管。測量時，管的一端與被測容器相接，另一端與大氣相通，U形管內裝有密度ρ2大于被測流體密度ρ1的液體工作介質，如酒精、水、四氯化碳和水銀等。一定要注意，工作介質不能與被測流體相互摻混。h1h2pap1122由于1和2點在同一流體的等壓面上，故：故有：其中：被測液體的壓強高于大氣壓強§2.4

液柱式測壓計被測液體的壓強低于大氣壓強h1h2pap1122§2.4

液柱式測壓計當被測流體是氣體時，氣體的ρ1很小，ρ1gh1這一項可忽略不計U形管壓差計hh2h1B11A212由于1、2兩點在同一等壓面上，故有：A、B兩點的壓強差為：若被測流體為氣體，由于氣體的密度很小，1gh可以忽略不計?！?.4

液柱式測壓計傾斜式微壓計用于測量氣體的壓強，測量精度較高，可測較微小的壓強和壓強差。A2A1paphhl00兩液面的高度差為：所測的壓強差為：§2.4

液柱式測壓計例題1h1h2h3h4h511223344BBA1123已知h1=600mm，h2=250mm，h3=200mm，h4=300mm，h5=500mm，1=1000kg/m3，2=800kg/m3，3=13598kg/m3，求A、B兩點的壓強差。解：圖中1-1、2-2、3-3均為等壓面，可以逐個寫出有關點的靜壓強為：聯(lián)立求解得：A、B兩點的壓強差為：§2.4

液柱式測壓計F2F1hped1d2aa例題2兩圓筒用管子連接，內充水銀。第一個圓筒直徑d1=45cm，活塞上受力F1=3197N，密封氣體的計示壓強pe=9810Pa；第二圓筒直徑d2=30cm，活塞上受力F2=4945.5N，開口通大氣。若不計活塞質量，求平衡狀態(tài)時兩活塞的高度差h。（已知水銀密度=13600kg/m3)。解：在F1、F2作用下，活塞底面產生的壓強分別為：圖中a-a為等壓面第一圓筒上部是計示壓強，第二圓筒上部的大氣壓強不必計入，故有：§2.4

液柱式測壓計如圖，有一直徑d=12cm的圓柱體，其重量W=520N，在力F=588N的作用下，當淹深h=0.5m處于靜止狀態(tài)，求測壓管中水柱的高度H?！?.4

液柱式測壓計例題3解：圓柱體底面上各點上所受的壓強：而則練習1如圖所示的測壓裝置，假設容器A中水面上的表壓強pg=2.45×104N/m2,h1=200mm，h2=100mm，h3=300mm,水的密度ρ1=1000kg/m3,乙醇的密度ρ2=800kg/m3，水銀的密度ρ3=13612kg/m3。試求B容器中空氣的壓強p(h=500mm)§2.4

液柱式測壓計§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡靜止或平衡狀態(tài)流體壓強分布規(guī)律流體靜力學基本方程式作用在流體上的力表面力質量力靜止或平衡狀態(tài)流體(靜止或平衡狀態(tài)流體:)流體平衡微分方程式壓強分布及等壓面形狀§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡1.等加速水平直線運動容器中液體的相對平衡單位質量液體上的質量力沿坐標軸的分量為：積分上式得：根據邊界條件：x=0，y=0，z=0時p=p0，代入上式得積分常數C=p0，故有：水平等加速直線運動容器中液體靜壓強的分布規(guī)律流體靜壓強的分布規(guī)律ayz

p0xg-afo代入平衡微分方程的綜合表達式：得：等加速水平直線運動容器中液體等壓面積分上式得：等壓面方程，不同的積分常數C1代表不同的等壓面。等壓面與水平面之間的夾角為：§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡將dp=0代入得：以（xs，ys，zs）表示自由液面上點的坐標，由于在自由液面上的任意一點都有p=p0，所以由靜壓強的分布規(guī)律可得自由液面的方程為：ayz

p0xoh等加速直線運動容器中，液體內任一點的靜壓強仍然是液面上的壓強p0與淹沒深度為h密度為的液柱產生的壓強gh之和。有：如果y坐標都相同，對于液面內任意一點，即,由,將上式代入靜壓強分布規(guī)律，得：等加速水平直線運動容器中液體的壓強分布表述二：表述一：——表述二§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡2.

等角速旋轉容器中液體的相對平衡作用在半徑為r處的液體質點上的單位質量力沿坐標軸的分量為：流體靜壓強的分布規(guī)律得：積分上式得：yxyoo2r2y2xhzp0r§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡代入平衡微分方程的綜合表達式：根據邊界條件：r=0，z=0時p=p0，代入上式得積分常數C=p0，故有：等角速旋轉容器中液體靜壓強的分布規(guī)律等角速旋轉容器中液體的等壓面積分上式得：等壓面方程，是以z軸為旋轉軸的旋轉拋物面方程，不同的積分常數C1代表不同的等壓面。§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡yxyoo2r2y2xhzp0r將dp=0代入得：以下標s表示自由液面上點的坐標，由于在自由液面上的任意一點都有p=p0，所以由靜壓強的分布規(guī)律

可得自由液面的方程為：§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡yxyoo2r2y2xhzp0r如果考察的是相同半徑r處的情況，液面下任一點處，即r=rs，將上式代入靜壓強分布規(guī)律表述一得：上式表明，等角速旋轉容器中液體相對平衡時，液體內任一點的靜壓強仍然是液面上的壓強p0與淹沒深度為h密度為的液柱產生的壓強gh之和?！?.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡等角速旋轉容器中液體的壓強分布表述二：表述一：由:有:yxyoo2r2y2xhzp0r3.

兩個特例特例一：頂蓋中心開口的旋轉容器得：根據邊界條件：r=0，z=0時p=pa，代入上式得積分常數C=pa，故有：作用在頂蓋上的計示壓強為：§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡代入平衡微分方程的綜合表達式：zoRpa特例二：頂蓋邊緣開口的旋轉容器得：根據邊界條件：r=R，z=0時p=pa，代入上式得C=pa-2R2/2，故有：作用在頂蓋上的真空度（計示壓強）為：zoRpa代入平衡微分方程的綜合表達式：§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡例題1h2h1Lazyo汽車上有一與水平運動方向平行放置的內充液體的U形管，已知L=0.5m，加速度a=0.5m/s2，試求U形管外側的液面高度差。解：質量力在坐標軸方向的分量為：在y=0，z=0處，p=pa求得C=pa，即：在y=-L，z=h1-h2處，p=pa，代入上式得：即：§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡代入

并積分得：例題1汽車上有一與水平運動方向平行放置的內充液體的U形管，已知L=0.5m，加速度a=0.5m/s2，試求U形管外側的液面高度差?！?.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡解二：由：有：h2h1Laoa水車沿直線等加速行駛，長3m，寬1.5m，高1.8m。盛水深度1.2m，問試使水不溢出，加速度a允許值是多少？解：由自由液面方程所以：§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡例題2例題2圓筒形容器的直徑d=300mm，高H=500mm，容器內水深h1=300mm，容器繞中心軸等角速旋轉，試確定（1）水正好不溢出時的轉速n1；（2）旋轉拋物面的頂點恰好觸及底部時的轉速n2；（3）容器停止旋轉后靜水的深度。dh1Hz解：設坐標原點始終位于凹液面的最低點。當水恰好觸及容器口時，自由液面所包容的體積等于原來無水部分的體積，即：其中：所以：§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡當自由液面形成的拋物面恰好觸及容器底部時，拋物面所包容的體積正好為容器體積的一半，此時：當容器停止轉動時容器中水的高度為：§2.5

液體在非慣性坐標系中的相對平衡dh2Hz§2.6

靜止流體對壁面的壓力1.

作用在傾斜平面上的總壓力液體作用在平面上的總壓力是作用于平面各點上的平行力系的合力。通常情況下要研究的工程設備都處于大氣環(huán)境中，壁面兩側都受到大氣壓強的作用，因此只需按靜止液體的計示壓強去計算總壓力。xypaohhChDdFpdFxxCxDdACDA總壓力的大小和方向在平面上取一微元面積dA，其中心的淹沒深度為h，到oy軸的距離為x，液體作用在該微元面積上的微元總壓力為：在平面上積分上式，可得液體作用在平面上的總壓力：上式中，為平面對oy軸的面積矩，xc為平面形心的x坐標，故：液體作用在平面上的總壓力等于以該平面為底、平面形心的淹沒深度為高的柱體內液體的重量，并垂直指向平面。四個容器底面上的總壓力相等§2.6

靜止流體對壁面的壓力總壓力的作用點總壓力P對ox軸的力矩等于各微元總壓力對ox軸的力矩的代數和，即：式中，為面積A對ox軸的慣性矩，故有：根據慣性矩平行移軸定理Ix=Icx+yc2A(Icx為面積A對通過其形心并平行于ox軸的坐標軸的慣性矩），代入上式，得：§2.6

靜止流體對壁面的壓力PDyDdPhdAy由于Icx/(ycA)恒為正值，故yD>yc,即壓力中心永遠在平面形心的下方。結論平面上靜水總壓力大小等于作用面（平面圖形）形心C處的壓強pC

乘上作用面的面積A

.2.平面上均勻分布力的合力作用點將是其形心，而靜

壓強分布是不均勻的，浸沒在液面下越深處壓強越大，所以總壓力作用點位于作用面形心以下且與受壓面傾角q無關?！?.6

靜止流體對壁面的壓力例題1一矩形閘門寬度為b，兩側均受到密度為的液體的作用，兩側液體深度分別為h1、h2，試求作用在閘門上的液體總壓力和壓力中心。h1h2xDxD1xD2F2F1Foyxb解：對于閘門左側同理，對于閘門右側§2.6

靜止流體對壁面的壓力兩側總壓力的合力為：方向向右。設合力F的作用點的淹沒深度為xD，根據合力矩定理，對oy軸取矩，有：合力作用點的y坐標為b/2?！?.6

靜止流體對壁面的壓力壓力大小：

特例受壓平面為矩形，且有一對邊平行于液面時流體靜壓力分析§2.6

靜止流體對壁面的壓力壓力中心離底邊的距離為矩形閘門b×h＝1m×0.5m，h0＝2m，開啟閘門的鎖鏈與水面成45°角。求開啟閘門所需拉力T為多大？壓力中心D距B點的距離為由例題2§2.6

靜止流體對壁面的壓力解：一塊矩形平板閘門可繞軸A轉動，如圖。已知θ=60?，H=6m,h=2m,h1=1.5m,不計閘門自重以及摩擦力，求開啟單位寬度的閘門所需的提升力FT。練習§2.6

靜止流體對壁面的壓力2.

靜止液體作用在曲面上的總壓力總壓力的大小作用在曲面不同點的靜壓強的大小和方向都不同，組成一空間力系。在靜止液體中有一二維曲面，面積為A，它的母線與oy軸平行，它在oxz平面上的投影為曲線ab。在淹沒深度為h的地方取一微元面積dA，則液體作用在該微元面積上的微元總壓力為：abdAAxAzxzhcxhopadFpdFpxdFpdFpzdAdAxdAz微元總壓力在坐標軸上的投影為：§2.6

靜止流體對壁面的壓力總壓力的水平分力令式中，Ax是曲面A沿x軸對oyz平面的投影面積，hcx為Ax的形心淹沒深度。故上式成為：靜止液體作用在曲面上的總壓力沿x方向的水平分力等于液體作用在該曲面的投影面積Ax上的總壓力，作用點在Ax的壓力中心。hnPxAxxzyA§2.6

靜止流體對壁面的壓力總壓力的垂直分力令Vp為曲面上的液體體積，稱為壓力體。靜止液體作用在曲面上的總壓力的垂直分力等于曲面上壓力體的液體重量，其作用線通過壓力體的中心故上式成為：§2.6

靜止流體對壁面的壓力總壓力與垂線之間的夾角為：并指向曲面?？倝毫Φ乃椒至px的作用線通過Ax的壓力中心指向受壓面，垂直分力Fpz的作用線通過壓力體的重心指向受壓面，故總壓力的作用線一定通過這兩條作用線的交點并與垂線成角?！?.6

靜止流體對壁面的壓力總壓力的大小總壓力的作用方向總壓力的作用點3.壓力體由受壓曲面、曲面邊緣向自由液面所作的垂直面以及自由液面或自由液面的延長面所組成的封閉體。實壓力體液體在曲面上面，壓力體充滿液體，垂直分力方向向下。虛壓力體液體在曲面下面，壓力體是空的，垂直分力方向向上。FpzFpzFpz§2.6

靜止流體對壁面的壓力

壓力體是一個純數學的概念，是一個由積分式所確定的純幾何體，與這個