大學(xué)物理學(xué)-狹義相對(duì)論教案

授課章節(jié)教學(xué)目的第4章狹義相對(duì)論1.理解愛因斯坦狹義相對(duì)論的兩條基本原理及洛倫茲坐標(biāo)、速度變換式；2.掌握狹義相對(duì)論的時(shí)空觀：即理解同時(shí)的相對(duì)性、長度的收縮和時(shí)間的膨脹，并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算；3.了解狹義相對(duì)論動(dòng)力學(xué)的幾個(gè)結(jié)論及其具體應(yīng)用。1.正確地理解相對(duì)論的時(shí)空觀；2.掌握洛倫茲變換的物理意義；3.理解長度收縮效應(yīng)只發(fā)生在運(yùn)動(dòng)方向上；4.理解“時(shí)間膨脹”效應(yīng)是指運(yùn)動(dòng)著的鐘比靜止的鐘慢；教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容5.在相對(duì)論動(dòng)力學(xué)中，動(dòng)能不能用進(jìn)行計(jì)算，只能用進(jìn)行計(jì)算；6.在經(jīng)典物理中能量守恒律與質(zhì)量守恒律彼此獨(dú)立。而在相對(duì)論中通過質(zhì)能關(guān)系式把兩個(gè)定律統(tǒng)一起來了。即在相對(duì)論中能量守恒與質(zhì)量守恒總是同時(shí)成立的。備注第四章狹義相對(duì)論相對(duì)論研究的內(nèi)容：研究物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)與空間、時(shí)間的聯(lián)系。狹義相對(duì)論：研究自然定律在所有慣性系中都表示為相同的形式（數(shù)學(xué)）問題。廣義相對(duì)論：研究自然定律在所有參照系中都表示為相同的形式（數(shù)學(xué)）問題?！?.1伽利略變換和經(jīng)典力學(xué)時(shí)空觀一、伽利略變換經(jīng)典力學(xué)時(shí)空觀1、伽利略坐標(biāo)變換方程：如圖，兩個(gè)參照系的坐標(biāo)軸互相平行，參照系相對(duì)于參照系沿軸的正方向以速度運(yùn)動(dòng)，時(shí)間時(shí)、兩坐標(biāo)系的原點(diǎn)和重合。則某一空—時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)變換方程為或（1）2、經(jīng)典力學(xué)時(shí)空觀伽利略坐標(biāo)變換方程已經(jīng)對(duì)時(shí)間、空間性質(zhì)作了兩條假設(shè)：（1），即時(shí)間間隔與參考系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)；（2），，即空間長度與參考系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)。（同時(shí)測量棒兩端點(diǎn)的坐標(biāo)值），總之，時(shí)間和空間是彼此獨(dú)立的，互不相關(guān)，并且不受物質(zhì)和運(yùn)動(dòng)的影響，這就是經(jīng)典力學(xué)的時(shí)空觀，也稱絕對(duì)時(shí)空觀。二、伽利略相對(duì)性原理一切彼此作勻速直線運(yùn)動(dòng)的慣性系，對(duì)描述運(yùn)動(dòng)的力學(xué)規(guī)律來說是完全相同的。把（4-1）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)一次，得（2）這就是伽利略速度變換法則。把（4-2）對(duì)時(shí)間再求導(dǎo)一次，得（3）上式說明在所有慣性系中，加速度是不變量。由于經(jīng)典力學(xué)中質(zhì)量和力也是與參考系的選擇無關(guān)的物理量，所以，牛頓第二定律在所有慣性系中都具有相同的數(shù)學(xué)表述：這就是說經(jīng)典力學(xué)滿足伽利略相對(duì)性原理?！?.2狹義相對(duì)論產(chǎn)生的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)和歷史條件一、經(jīng)典電磁學(xué)的以太假說（人們過于相信絕對(duì)時(shí)空概念）以太假說：以太是充滿整個(gè)宇宙空間的彈性媒質(zhì)，電磁波靠以太傳播。以太中的帶電粒子振動(dòng)會(huì)引起以太變形，這種變形以彈性波的形式傳播就是電磁波。在相對(duì)以太靜止的參照系中，電磁波沿各個(gè)方向傳播的速度都等于恒量。在相對(duì)以太運(yùn)動(dòng)的慣性系中電磁波的傳播速度。在相對(duì)以太運(yùn)動(dòng)的慣性系中，按伽利略速度變換，電磁波沿各個(gè)方向傳播的速度并不等于恒量。設(shè)系相對(duì)于以太靜止，系相對(duì)以太的速度為，如圖所示。則在系中，電磁波沿各個(gè)方向的速度均等于恒量。在傳播速度為（c-u），沿軸負(fù)向的傳播速度為（c+u）；沿與系中電磁波沿軸正向的軸垂直的和軸的正、負(fù)方向傳播的速度都是。二、邁克爾遜—莫雷實(shí)驗(yàn)因?yàn)榻?jīng)典電磁學(xué)不滿足伽利略變換：存在一個(gè)優(yōu)越的參照系，即相對(duì)以太靜止的慣性系（也稱為絕對(duì)空間）。所以，人們設(shè)計(jì)了許多實(shí)驗(yàn)來尋找以太。邁克爾遜—莫雷實(shí)驗(yàn)的目的就是通過觀察地球相對(duì)以太的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)來尋找以太。實(shí)驗(yàn)裝置是邁克爾遜干涉儀，其光路原理如下圖所示。1實(shí)驗(yàn)原理：設(shè)以太相對(duì)太陽系靜止，地球（包括固定在地球上的干涉儀）相對(duì)太陽系的速度為u，則從地球看來、以太風(fēng)的速度為-u，如上圖所示。光源S發(fā)出的光線入射半透鏡R后透射光線1和反射光線2分別射向互相垂直的平面鏡M1和M2，先讓RM1臂與地球運(yùn)動(dòng)方向平行、則RM2臂與地球運(yùn)動(dòng)方向垂直，從干涉儀觀察、光線1和光線2的傳播速度不相等（如圖中所標(biāo)），當(dāng)兩臂相等時(shí)、進(jìn)入觀察鏡o的光線1和光線2的光程差不為零，可以看到干涉條紋。如果將整個(gè)裝置旋轉(zhuǎn)往返的時(shí)間，應(yīng)該看到條紋移動(dòng)。光線1在RM1間，光線2在RM2間往返的時(shí)間,時(shí)間差為。旋轉(zhuǎn)后時(shí)間差為，于是干涉儀轉(zhuǎn)動(dòng)前后，光通過兩臂時(shí)間差的改變量為：。實(shí)驗(yàn)時(shí)取驗(yàn)所取的，則應(yīng)有條紋移動(dòng)數(shù)目的數(shù)值、預(yù)期，按實(shí)，這是可以明顯觀察到的。2實(shí)驗(yàn)結(jié)果：沒有觀察到干涉條紋的任何移動(dòng)。3對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的解釋：以上實(shí)驗(yàn)是在承認(rèn)以太是絕對(duì)靜止的參照系，存在地球相對(duì)于以太運(yùn)動(dòng)的前提下，利用伽利略變換來計(jì)算光相對(duì)于地球（干涉儀）的速度，由此得出應(yīng)該有明顯可觀察到的條紋移動(dòng)。實(shí)驗(yàn)沒有觀察到干涉條紋的任何移動(dòng)，結(jié)果只能說明光的傳播速度不滿足伽利略變換，同時(shí)不存在地球相對(duì)于以太的運(yùn)動(dòng)；即絕對(duì)靜止的參照系“以太”并不存在。§4.3狹義相對(duì)論基本原理洛倫茲變換例2狹義相對(duì)論的兩條基本原理1相對(duì)性原理：所有物理規(guī)律在一切慣性系中都具有相同的形式。2光速不變原理：所有慣性系中測量到的真空中的光速沿各個(gè)方向都等于c，與光源的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)。二、洛倫茲變換如圖，S系和S/系的關(guān)系如17-1節(jié)所述。則S和S/的變換（正變換）為：，，，。S/與S的變換（逆變換）為：，，，。式中三、洛倫茲變換的推導(dǎo)在上面兩坐標(biāo)系中，對(duì)于o點(diǎn)、由S系來觀測，不論什么時(shí)間，總是，但是由S/系來觀測，在時(shí)刻的坐標(biāo)，即?？梢娡豢臻g點(diǎn)o點(diǎn)，數(shù)值和同時(shí)為零。因此，我們可設(shè)在任何時(shí)刻、任何點(diǎn)，和之間都有一個(gè)比例關(guān)系為，（1）式中為不為零的常數(shù)。用同樣的方法對(duì)o/點(diǎn)進(jìn)行討論，可得，（2）根據(jù)相對(duì)性原理，兩個(gè)慣性系是等價(jià)的（u為常數(shù)），所以，（3）。于是為了求出，需要應(yīng)用光速不變原理。設(shè)時(shí)，兩坐標(biāo)原點(diǎn)重合，在重合點(diǎn)發(fā)出一光信號(hào)沿軸傳播，則在任一時(shí)刻（在S系測量為，在S/系測量為）對(duì)兩坐標(biāo)系來說信號(hào)分別到達(dá)，（4）把（1）（3）相乘，再把（4）式代入，得，，由此求得。則（1）、（3）式可寫成，；由這兩式消去求出，得，同樣，消去，得；另有，洛倫茲變換關(guān)系式得證。四、洛倫茲變換的意義：（1）在相對(duì)論中，洛倫茲變換占據(jù)中心地位。相對(duì)論物理定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式在洛倫茲變換下保持不變；（2）洛倫茲變換是同一事件在不同慣性系中兩組時(shí)空坐標(biāo)，應(yīng)用時(shí)必須確認(rèn)和確實(shí)是代表同一事件；（3）各個(gè)慣性系中的鐘和尺必須相對(duì)該參照系處于靜止?fàn)顟B(tài)；（4）不僅是的函數(shù)，而且是的函數(shù)，即相對(duì)論把時(shí)間和空間，時(shí)間、空間和物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)不可分割地聯(lián)系起來了；（5）因?yàn)椴荒艹^光速；不應(yīng)是虛數(shù)，所以、即任何物體的運(yùn)動(dòng)速度，洛倫茲變換過渡為伽利（6）當(dāng)時(shí)，略變換；五、洛倫茲速度變換∵對(duì)洛倫茲變換式取微分得用去除它前面的三式，即得洛倫茲速度變換關(guān)系式：其逆變換為通過速度變換，在任何慣性系中物體的運(yùn)動(dòng)速度都不可能超過光速。當(dāng)和時(shí)，，則。這就是伽利略速度變換關(guān)系式。再次表明，伽利略變換是洛倫茲變換的特殊情況（低速）?！?.4狹義相對(duì)論的時(shí)空觀一、同時(shí)的相對(duì)性1、“愛因斯坦火車”：如圖，一相對(duì)地面（慣性系S）以勻速u行駛的火車（通常稱為“愛因斯坦火車”），取車廂為另一慣性系S/。設(shè)在車廂正中點(diǎn)M/處有一光源，當(dāng)M/與S系中的發(fā)光點(diǎn)M重合時(shí)、兩光源同時(shí)閃光。根據(jù)光速不變原理，在車廂（S/系）觀測，光信號(hào)到達(dá)前門的事件1和光信號(hào)到達(dá)后門的事件2為同時(shí)事件；而在地面（慣性系S）觀測，由于前門遠(yuǎn)離M點(diǎn)、后門接近M點(diǎn)，所以觀測到光信號(hào)到達(dá)前門的事件1和光信號(hào)到達(dá)后門的事件2不是同時(shí)事件。這個(gè)例子說明，在一個(gè)慣性系中的兩個(gè)同時(shí)事件，在另一個(gè)慣性系中觀測不是同時(shí)事件，這是時(shí)空均勻性和光速不變原理的直接結(jié)果。2、同時(shí)性的數(shù)學(xué)表達(dá)：車站S上的觀測者測到兩個(gè)閃電同時(shí)擊中一列以速度u沿S系的x軸方向通過車站的火車的車頭（在S系中的坐標(biāo)為）和車尾（在S系中的坐標(biāo)為），即在S系觀測閃電擊中車頭的事件2的時(shí)空坐標(biāo)為（）。設(shè)火車為S/），事件2的時(shí)空坐標(biāo)為（）、閃電擊中車尾的事件1的時(shí)空坐標(biāo)為（系，在S/系觀測事件1的時(shí)空坐標(biāo)為（）。根據(jù)洛倫茲變換于是∵∴∵∴，結(jié)論是：火車上的觀測者測得兩閃電不是同時(shí)擊中車頭和車尾。當(dāng)火車向x軸正向行駛時(shí)，，即從火車上觀測閃，電先擊中車頭、后擊中車尾；若火車倒退時(shí)，即從火車上觀測閃電先擊中車尾、后擊中車頭。3、時(shí)間次序和因果律：上例中觀測閃電是先擊中車頭還是先擊中車尾，在S和系中都是可以的。但在有些問題中，時(shí)序卻不能顛倒。如火箭返回的時(shí)間不能先于它出發(fā)的時(shí)間，賽跑運(yùn)動(dòng)員沖線時(shí)間不能先于它起跑的時(shí)間…即有因果關(guān)系的事件，時(shí)序不能顛倒。證明如下：（反證法）設(shè)時(shí)序能顛倒，即在S系中為1在先，2在后；則在系中為2在先，1在后。于是有，而，所以即有*此式不能成立。（證畢）二、長度的相對(duì)性如圖，尺相對(duì)S/系靜止、在S/系測得尺兩端坐標(biāo)為和，則尺的固有長度。在S系測得尺的長度稱為運(yùn)動(dòng)長度，但必須注意要在S系同時(shí)測量和，即時(shí)測量。根據(jù)洛倫茲變換，；兩式相減。因?yàn)榧?，所以。，。說明物體在運(yùn)動(dòng)方向的長度收縮了。與運(yùn)動(dòng)垂直的方向上并不發(fā)生長度收縮。另外，這是測量的結(jié)果，不能說成看到了長度收縮。三、時(shí)間間隔的相對(duì)性設(shè)在S/系中同一地點(diǎn)（亮和滅，時(shí)間間隔別為）先后發(fā)生了兩個(gè)事件，例如一盞燈的。而在S系測這兩個(gè)事件的時(shí)空坐標(biāo)分。根據(jù)洛倫茲變換：，；兩式相減。因?yàn)榧?，所以，。因?yàn)?，所以。相?duì)靜止的慣性系測量到過程的時(shí)間間隔數(shù)值最小，稱為固有時(shí)間，記作或者說運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘變慢了。。則，表示時(shí)間膨脹了，例1一火箭的固有長度為L，相對(duì)于地面作勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為V1，火箭上有一個(gè)人從火箭的后端向火箭前端上的一個(gè)靶子發(fā)射一顆相對(duì)于火箭的速度為V2的子彈，在火箭上測得子彈從射出到擊中靶的時(shí)間間隔是：（A）（C）；（B）；（D）；。例2有一直尺固定在K’系中，它與OX’軸的夾角，如果K’系以速度u沿OX方向相對(duì)于K系運(yùn)動(dòng)，K系中觀察者測得該尺與OX軸的夾角（A）大于45o;（B）小于45o（C）等于45o（D）當(dāng)K'系沿OX正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)大于45o，而當(dāng)K'系沿Ox負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)小于45o。解：因?yàn)?，所以。?兩個(gè)慣性系中的觀察者o和o'以0.6c(c表示真空中光速)的相對(duì)速度互相接近。如果o測得兩者的初始距離是20m，則o'測得兩者經(jīng)過時(shí)間Δt'=s后相遇。解：設(shè)o靜止，o'以0.6c向o運(yùn)動(dòng),則有(o測得)(o'測得)所以例4觀察者甲和乙分別靜止于兩個(gè)慣性系k和k'(k'系相對(duì)于k系作平行于x軸的勻速運(yùn)動(dòng))中。甲測得在x軸上兩點(diǎn)發(fā)生的兩個(gè)事件的空間間隔和時(shí)間間隔分別為500m和而乙測得這兩個(gè)事件是同時(shí)發(fā)生的。問：k'系相對(duì)于k系以多大速度運(yùn)動(dòng)？解：設(shè)k'系相對(duì)于k系的運(yùn)動(dòng)速度為V。則根據(jù)洛侖茲變換公式可得：，乙測得兩事件同時(shí)發(fā)生,則由題則例5火箭相對(duì)于地面以v=0.6c(c為真空中光速)的勻速度向上飛離地球。在火箭發(fā)射秒鐘后（火箭上的鐘），該火箭向地面發(fā)射一導(dǎo)彈，其速度相對(duì)于地面為，問火箭發(fā)射后多長時(shí)間，導(dǎo)彈到達(dá)地球？（地球上的鐘）。計(jì)算中假設(shè)地面不動(dòng)。解：按地球的鐘，導(dǎo)彈發(fā)射的時(shí)間是在火箭發(fā)射后這段時(shí)間火箭在地面上飛行距離：則導(dǎo)彈飛到地球的時(shí)間是：那么從火箭發(fā)射后到導(dǎo)彈到達(dá)地面的時(shí)間是：§4.5狹義相對(duì)論動(dòng)力學(xué)一、動(dòng)量、質(zhì)量與速度的關(guān)系1、相對(duì)論質(zhì)量：在牛頓力學(xué)中，質(zhì)量被認(rèn)為是與物體運(yùn)動(dòng)速率無關(guān)的恒量。但在相對(duì)論力學(xué)中，質(zhì)量必須被認(rèn)為是與物體運(yùn)動(dòng)速率有關(guān)的。下面我們來推導(dǎo)質(zhì)量與速率的關(guān)系。設(shè)在S/系中有一粒子，原來靜止于原點(diǎn)o/，在某一時(shí)刻此粒子分裂為完全相同的的兩半A和B，分別沿x/軸的負(fù)方向和正方向運(yùn)動(dòng)。根據(jù)動(dòng)量守恒定律，這兩半的速率應(yīng)相等，記作u。另一參照系S，以速率u沿-i/方向運(yùn)動(dòng)。在此參照系中，A是靜止的，B是運(yùn)動(dòng)的。以者的質(zhì)量。由洛倫茲速度變換可得B的速度和分別表示二（1）方向沿x軸正向。在S系觀察，粒子分裂前的速度即o/點(diǎn)的速度為ui，動(dòng)量為Mui，M為粒子分裂前的質(zhì)量。分裂后，兩個(gè)粒子A和B的總動(dòng)量為i。根據(jù)動(dòng)量守恒，應(yīng)有Mui=i（2）可以合理地假設(shè)在S系中粒子在分裂前后質(zhì)量也是守恒的，即M=mA+mB，上式可改寫成（3）如果質(zhì)量與速率無關(guān)，則應(yīng)有，上式就不成立、動(dòng)量守恒定律也就不成立。為了使動(dòng)量守恒定律成立并且保持P=mV形式，必須認(rèn)為都是各自速率的函數(shù)。由（3）式可求得（4）由（1）式解出（5）把（5）式代入（4）式得因?yàn)锳靜止、B運(yùn)動(dòng)，所以，用代替可記做、表示靜質(zhì)量，可一般地記作，則得相對(duì)論的質(zhì)量公式：2、動(dòng)力學(xué)基