熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理06-9

第九章系綜理論（p250-301）

Ensembletheory§9.1相空間劉維爾定理§9.2微正則分布§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式§9.4正則分布§9.5正則分布的熱力學(xué)公式§9.6實(shí)際氣體的物態(tài)方程§9.7固體的熱容量§9.8液氦的性質(zhì)和朗道超流理論§9.9伊辛模型的平均場理論§9.10巨正則分布§9.11巨正則分布的熱力學(xué)公式§9.12巨正則分布的簡單應(yīng)用本章重點(diǎn)：正則分布及其熱力學(xué)公式、巨正則分布及其熱力學(xué)公式難點(diǎn)：劉維爾定理、實(shí)際氣體物態(tài)方程、超流理論、伊辛模型課時(shí)安排：課內(nèi)8學(xué)時(shí)，課外8學(xué)時(shí)參考書：教材第9章；李楚良《熱力學(xué)與統(tǒng)計(jì)物理學(xué)》作業(yè)布置：p299-301習(xí)題9-1，9-3，9-5，

9-7，9-9，9-11，9-14,9-16，

9-18，9-19§9.1相空間劉維爾定理一、空間1、空間的局限性：對于粒子間存在相互作用的系統(tǒng)，代表點(diǎn)在空間的運(yùn)動不獨(dú)立；2、空間的概念：設(shè)系統(tǒng)：N個(gè)粒子，粒子自由度數(shù)r，則系統(tǒng)自由度數(shù)f=Nr

以{pi，qi；i=1，2，…，f}為坐標(biāo)構(gòu)成2f維正交空間。3、空間的性質(zhì)：代表點(diǎn)——系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)代表點(diǎn)運(yùn)動——系統(tǒng)微觀態(tài)的變化即：系統(tǒng)相空間（phasespaceofsystem）

4、對系統(tǒng)力學(xué)運(yùn)動規(guī)律的描述：哈密頓正則方程

——空間中一條相軌道；特點(diǎn)：過空間任一點(diǎn)只有一條相軌道；不同初始條件的相軌道不相交；保守系統(tǒng)：H是守恒量，——代表點(diǎn)在等能面上運(yùn)動二、統(tǒng)計(jì)系綜(ensemble)1、概念：大量全同的、相互獨(dú)立的系統(tǒng)的集合，其代表點(diǎn)在空間獨(dú)立運(yùn)動并形成一個(gè)分布。2、意義：用代表點(diǎn)在任意時(shí)刻的分布（系綜分布）來描述系統(tǒng)在一段時(shí)間內(nèi)的微觀態(tài)變化3、分布函數(shù)：代表點(diǎn)的概率密度。4、劉維定理——系綜代表點(diǎn)密度隨時(shí)間的運(yùn)動規(guī)律：

1）表述：2）說明：時(shí)間可逆，是力學(xué)規(guī)律的結(jié)果，不是統(tǒng)計(jì)規(guī)律；推論：若=（H）不顯含時(shí)間，則3）證明：考慮固定的d，t時(shí)刻，代表點(diǎn)數(shù)為dpqdt時(shí)間內(nèi)從qi面流進(jìn)從qi+dqi面流出一對面的增量2f對面的增量而dt時(shí)間內(nèi)的增量應(yīng)為5、三種統(tǒng)計(jì)系綜：

1）微正則系綜：孤立系，N、V、E一定；

2）正則系綜：與熱源達(dá)到平衡的封閉系，

N、V、T一定；

3）巨正則系綜：與熱源、粒子源達(dá)到平衡的開放系，

、V、T一定。三種系綜的關(guān)系：從系統(tǒng)與外界的關(guān)系看:巨正則系綜+粒子源→正則系綜正則系綜+熱源→微正則系綜從系統(tǒng)可能的狀態(tài)數(shù)(系綜包含的代表點(diǎn)數(shù)目)看:微正則系綜在等能面上運(yùn)動,狀態(tài)數(shù)最少正則系綜的運(yùn)動遍及空間各種可能的能量狀態(tài)巨正則系綜的運(yùn)動遍及空間各種可能的能量狀態(tài)和粒子數(shù)狀態(tài)三、幾條基本假設(shè)1、統(tǒng)計(jì)學(xué)原理：宏觀物理量是系統(tǒng)相應(yīng)微觀量的長時(shí)間平均值；2、系綜理論假設(shè)：系統(tǒng)的長時(shí)間平均值等于系綜的統(tǒng)計(jì)平均值:3、等概率原理：對于總能量一定的系統(tǒng)，一切微觀態(tài)等概率?！?.2微正則分布一、分布函數(shù)1、表達(dá)式：給定孤立系的粒子數(shù)Ｎ、體積Ｖ、以及２、求常數(shù)C：給定能層中的微觀態(tài)數(shù)根據(jù)等概率原理，立即得孤立系處在微觀態(tài)ｓ的概率§9.3微正則分布的熱力學(xué)公式§9.4正則分布1、導(dǎo)出分布函數(shù)：系統(tǒng)+外界（大熱源）=孤立系，達(dá)到平衡時(shí)服從微正則分布。AreservoirA推導(dǎo)過程：

設(shè)熱源Er、系統(tǒng)E

<<Er、E12<<E

即近似有

E0=E+Er為恒量

空間相體積元

d0=ddr

分布函數(shù)滿足(E0)=(E+Er)=(E)(Er)=C；分別對E和Er求導(dǎo),結(jié)果相同:2、配分函數(shù)：由歸一化條件有Z=Z（，y）；l是系統(tǒng)能級的簡并度；§9.5正則分布的熱力學(xué)公式1、內(nèi)能：2、廣義外力：3、溫度與熵：4、自由能：F=U-TS=-kTlnZ+F05、能量的絕對漲落：6、熱平衡穩(wěn)定性條件：7、能量的相對漲落：意味著系統(tǒng)絕大部分的微觀態(tài)集中在能量等于平均值的狀態(tài)附近。

——統(tǒng)計(jì)平均值與最概然值基本等價(jià)8、導(dǎo)出M-B分布：§9.6實(shí)際氣體的物態(tài)方程1、配分函數(shù)2、位形積分3、狀態(tài)方程4、范德瓦耳斯方程§9.7固體的熱容量§9.8液氦的性質(zhì)和朗道超流理論§9.9伊辛模型的平均場理論1、本節(jié)目的：以單軸鐵磁體為例，討論運(yùn)用配分函數(shù)理論研究相變的方法。重點(diǎn)分析介質(zhì)中磁感應(yīng)強(qiáng)度的變化。相變的特點(diǎn)：某些熱力學(xué)量在相變點(diǎn)不連續(xù)；解決途徑：建立能包含系統(tǒng)最本質(zhì)特征的簡化模型嚴(yán)格求解。2、鐵磁性的起源：電子間的交換作用。交換相互作用：自旋相同的電子在空間有互相回避的傾向——泡利原理與庫侖排斥作用的共同結(jié)果；效果：使系統(tǒng)能量降低——系統(tǒng)在基態(tài)時(shí)自旋將盡可能平行排列。3、伊辛模型研究對象：N個(gè)磁性原子、定域；原子角動量J=1/2；磁矩=eh4m；自旋位形=1；伊辛模型：鐵磁體內(nèi)原子相互作用能表為模型說明的問題：自發(fā)磁化：基態(tài)所有自旋具有相同取向（T=0）；低溫下多數(shù)原子具有相同取向。系統(tǒng)的位形{i，i=1，2，…，N}決定系統(tǒng)能量。在外磁場B中（介質(zhì)中某點(diǎn)的）等效磁場：由作用于自旋i上的廣義力4、平均場近似分析：由于熱運(yùn)動，自旋取向無規(guī)則變化，Bi漲落不定處理：用平均值近似。設(shè)近鄰原子數(shù)為z，討論：1）第一項(xiàng)給出近鄰自旋對原子i的磁相互作用；2）用平均場近似以后，自旋系統(tǒng)成為近獨(dú)立粒子系統(tǒng)。5、鐵磁-順磁轉(zhuǎn)變配分函數(shù)：Z=ZlN狀態(tài)方程：根據(jù)定義應(yīng)有（P287圖9-16）對應(yīng)于Jz1的解為自發(fā)磁化為零的順磁態(tài)；對應(yīng)于Jz

1，有一個(gè)自發(fā)磁化不為零的鐵磁態(tài)Jz=1：相變點(diǎn)?！?.10巨正則分布導(dǎo)出思路與正則分布一樣：系統(tǒng)+外界（大熱源和粒子源）=孤立系，達(dá)到平衡時(shí)服從微正則分布：

E0=E

+ErN0=N+Nr為恒量分布函數(shù)滿足(E0，N0)=(E，

N)(Er

，Nr)=C；對E和Er求導(dǎo)：再對N和Nr求導(dǎo)：巨配分函數(shù)：§9.11