高中數(shù)學(xué)人教B版3第二章概率 學(xué)業(yè)分層測評1

學(xué)業(yè)分層測評(建議用時(shí)：45分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題1.一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號為7,8,9,10.現(xiàn)從中任取4個(gè)球，有如下幾種變量：①X表示取出的最大號碼；②X表示取出的最小號碼；③取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，X表示取出的4個(gè)球的總得分；④X表示取出的黑球個(gè)數(shù).這四種變量中服從超幾何分布的是()A.①② B.③④C.①②④ D.①②③④【解析】由超幾何分布的概念知③④符合，故選B.【答案】B2.某校從學(xué)生會中的10名女生干部與5名男生干部中隨機(jī)選取6名學(xué)生干部組成“文明校園督察隊(duì)”，則組成4女2男的“文明校園督察隊(duì)”的概率為()\f(C\o\al(6,15),A\o\al(6,15)) \f(C\o\al(3,10)C\o\al(3,5),C\o\al(6,15))\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,5),C\o\al(6,15)) \f(C\o\al(4,10)A\o\al(2,5),A\o\al(6,15))【解析】組成4女2男的“文明校園督察隊(duì)”的概率為eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(2,5),C\o\al(6,15)).【答案】C3.一個(gè)盒子里裝有相同大小的10個(gè)黑球、12個(gè)紅球、4個(gè)白球，從中任取2個(gè)，其中白球的個(gè)數(shù)記為X，則下列概率等于eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))的是()(0<X≤2) (X≤1)(X＝1) (X＝2)【解析】結(jié)合題意，當(dāng)X＝1時(shí)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4),C\o\al(2,26))，當(dāng)X＝0時(shí)，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))，故P(X≤1)＝eq\f(C\o\al(1,22)C\o\al(1,4)＋C\o\al(2,22),C\o\al(2,26))【答案】B4.設(shè)袋中有80個(gè)球，其中40個(gè)紅球，40個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同，從中任取兩球，則所取的兩球同色的概率為()【導(dǎo)學(xué)號：62980039】\f(39,79) \f(1,80)\f(1,2) \f(41,81)【解析】由題意知所求概率為P＝eq\f(C\o\al(2,40)＋C\o\al(2,40),C\o\al(2,80))＝eq\f(39,79).【答案】A5.在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率等于eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15))的是()(X＝2) (X≤2)(X＝4) (X≤4)【解析】15個(gè)村莊中，7個(gè)村莊交通不方便，8個(gè)村莊交通方便，Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(6,8)表示選出的10個(gè)村莊中恰有4個(gè)交通不方便，6個(gè)交通方便的村莊，故P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,7)C\o\al(6,8),C\o\al(10,15)).【答案】C二、填空題6.從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，若設(shè)X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數(shù)，則P(X＝1)＝________.【解析】X＝1表示的結(jié)果是抽取的2臺彩電有甲型和乙型彩電各一臺，故所求概率P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)7.某導(dǎo)游團(tuán)由外語導(dǎo)游10人，其中6人會說日語，現(xiàn)要選出4人去完成一項(xiàng)任務(wù)，則有2人會說日語的概率為________.【解析】有兩人會說日語的概率為eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,7).【答案】eq\f(3,7)8.在30瓶飲料中，有3瓶已過了保質(zhì)期.從這30瓶飲料中任取2瓶，則至少取到1瓶已過了保質(zhì)期飲料的概率為________.(結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示)【解析】從這30瓶飲料中任取2瓶，設(shè)至少取到1瓶已過了保質(zhì)期飲料為事件A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(1,27)C\o\al(1,3),C\o\al(2,30))＋eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,30))＝eq\f(28,145).【答案】eq\f(28,145)三、解答題9.(2023·大慶高二模擬)某校組織一次冬令營活動(dòng)，有8名同學(xué)參加，其中有5名男同學(xué)，3名女同學(xué)，為了活動(dòng)的需要，要從這8名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去執(zhí)行一項(xiàng)特殊任務(wù)，記其中有X名男同學(xué).(1)求X的分布列；(2)求去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率.【解】(1)X的可能取值為0,1,2,3.根據(jù)公式P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}算出其相應(yīng)的概率.即X的分布列為X0123Peq\f(1,56)eq\f(15,56)eq\f(15,28)eq\f(5,28)(2)去執(zhí)行任務(wù)的同學(xué)中有男有女的概率為P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(15,56)＋eq\f(15,28)＝eq\f(45,56).10.袋中裝著標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5的小球各2個(gè)，從袋中任取3個(gè)小球，按3個(gè)小球上最大數(shù)字的9倍計(jì)分，每個(gè)小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3個(gè)小球上的最大數(shù)字.求：(1)取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同的概率；(2)隨機(jī)變量X的概率分布；(3)計(jì)算介于20分到40分之間的概率.【解】(1)“一次取出的3個(gè)小球上的數(shù)字互不相同”的事件記為A，則P(A)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,3).(2)由題意，X所有可能的取值為2,3,4,5.P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,2)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)；P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,4)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(2,15)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,6)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)；P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(2,8)C\o\al(1,2)＋C\o\al(1,8)C\o\al(2,2),C\o\al(3,10))＝eq\f(8,15).所以隨機(jī)變量X的概率分布為X2345Peq\f(1,30)eq\f(2,15)eq\f(3,10)eq\f(8,15)(3)一次取球得分介于20分到40分之間的事件記為C，P(C)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝eq\f(2,15)＋eq\f(3,10)＝eq\f(13,30).[能力提升]1.從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，則取出的產(chǎn)品中無次品的概率為()\f(22,35) \f(12,35)\f(1,35) \f(34,35)【解析】設(shè)隨機(jī)變量X表示取出次品的件數(shù)，則P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(0,2)C\o\al(3,13),C\o\al(3,15))＝eq\f(22,35).【答案】A2.盒中有10只螺絲釘，其中有3只是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，那么eq\f(3,10)等于()A.恰有1只是壞的概率B.恰有2只是好的概率只全是好的概率D.至多有2只是壞的概率【解析】恰好2只是好的概率為P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(3,10).【答案】B3.設(shè)某10件產(chǎn)品中含有a件次品，從中任取7件產(chǎn)品，其中含有的次品數(shù)為X，若X的可能取值中的最小值為2，則a＝__________.【導(dǎo)學(xué)號：62980040】【解析】取出的7件產(chǎn)品中，要使所含的次品數(shù)最小，只需將10－a件正品都取出，然后再取2件次品即可，故(10－a)＋2＝7，解得a＝5.【答案】54.高三(1)班的聯(lián)歡會上設(shè)計(jì)了一項(xiàng)游戲：在一個(gè)口袋中裝有10個(gè)紅球，20個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，現(xiàn)一次從中摸出5個(gè)球.(1)若摸到4個(gè)紅球，1個(gè)白球的就中一等獎(jiǎng)，求中一等獎(jiǎng)的概率；(2)若至少摸到3個(gè)紅球就中獎(jiǎng)，求中獎(jiǎng)的概率.【解】(1)若以30個(gè)球?yàn)橐慌a(chǎn)品，其中紅球?yàn)椴缓细癞a(chǎn)品，隨機(jī)抽取5個(gè)球，X表示取到的紅球數(shù)，則X服從超幾何分布(N＝30，M＝10，n＝5)，由公式得，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,10)C\o\al(5－4,20),C\o\al(5,30))＝eq\f(100,3393)≈5，所以獲一等獎(jiǎng)的概率約為5.(2)根據(jù)題意，設(shè)隨機(jī)變量X表示“摸出紅球的個(gè)數(shù)”，則X服從超幾何分布(N＝30，M＝10，n＝5).X的可能取值為0,1