第1章運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)及點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

工程力學(xué)上冊(cè)1第1章運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)1.1運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ) 1.1.1引言 1.1.2約束 1.1.3廣義坐標(biāo)與自由度1.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢量描述 1.2.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程 1.2.2點(diǎn)的速度和加速度1.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)描述 1.3.1在直角坐標(biāo)系中研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 1.3.2在自然軸系中研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 1.3.3在柱坐標(biāo)中研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)作業(yè)1.21.41.54學(xué)時(shí)（不要求）2第1章運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)與點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)§1.1運(yùn)動(dòng)學(xué)基礎(chǔ)1.1.1引言本章主要內(nèi)容：運(yùn)動(dòng)學(xué)基本概念、點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述方法。（本章是后續(xù)章節(jié)及動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)）運(yùn)動(dòng)學(xué)：從幾何角度來(lái)研究物體的運(yùn)動(dòng)，不研究引起物體運(yùn)動(dòng)及其變化的原因。運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究?jī)?nèi)容：(1)如何選擇合適的參量，對(duì)已確定的物體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行數(shù)學(xué)描述；(2)研究表征物體運(yùn)動(dòng)幾何性質(zhì)的基本物理量，如位移、速度、加速度、角位移、角速度、角加速度等；(3)研究非自由物體或物體系統(tǒng)各部分運(yùn)動(dòng)參量之間的幾何關(guān)系。3力學(xué)模型：質(zhì)點(diǎn)建立力學(xué)模型的意義：反映事物本質(zhì)，忽略其次要因素，合理、抽象、簡(jiǎn)化，便于數(shù)學(xué)描述。常見的力學(xué)模型：質(zhì)點(diǎn)系剛體剛體系連續(xù)介質(zhì)參考系（參考空間）：通常選取某個(gè)物體作為描述運(yùn)動(dòng)的參照物，稱為參考體。坐標(biāo)系：與參考體相固連的整個(gè)延伸空間，稱為參考系（參考空間）。確定參考系后，為了便于對(duì)物體的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行定量描述，即確定物體在此參考系中的位置，還必須選定與參考系相固連的某種坐標(biāo)系，從而建立物體位置與其坐標(biāo)值之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。在同一參考系中可以根據(jù)需要建立不同的坐標(biāo)系。不作特殊說(shuō)明，一般選取地球作為描述物體運(yùn)動(dòng)的參考系。4運(yùn)動(dòng)方程：確定物體在空間任一瞬時(shí)所在位置的數(shù)學(xué)表達(dá)式，成為運(yùn)動(dòng)方程。物體運(yùn)動(dòng)的軌跡：隨時(shí)間的變化，運(yùn)動(dòng)方程也就是物體運(yùn)動(dòng)的軌跡。研究運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題的兩種方法：矢量法和分析法。1.矢量法：以矢量表示質(zhì)點(diǎn)的位置、速度和加速度及剛體的角速度和角加速度，并以矢量方程式表示同一剛體上不同兩點(diǎn)的速度和加速度關(guān)系，點(diǎn)的速度和加速度的合成公式及剛體的角速度和角加速度的合成公式等。求解矢量方程的兩種方法：5(1)分析法（解析法）矢量方程式投影線性方程組(2)幾何法矢量方程式封閉的三角形或多邊形幾何關(guān)系求解（適用于3個(gè)矢量的矢量方程式）(3)矢量法的優(yōu)點(diǎn)：公式簡(jiǎn)單幾何直觀性強(qiáng)與參考系有關(guān)而坐標(biāo)系無(wú)關(guān)性瞬時(shí)性6標(biāo)量與矢量：補(bǔ)充內(nèi)容對(duì)于標(biāo)量對(duì)于矢量無(wú)定義分量與投影：一個(gè)矢量的某軸分量一個(gè)矢量在某軸的投影兩個(gè)不同的概念一個(gè)矢量的某軸分量取決于另一軸的方位。一個(gè)矢量在某軸的投影只取決于該軸的位置。補(bǔ)充內(nèi)容72.分析法：利用一組坐標(biāo)描述確定物體的位置，然后通過(guò)直接求導(dǎo)的方法計(jì)算相關(guān)點(diǎn)的速度和加速度，以及剛體的角速度和角加速度。即由坐標(biāo)確定物體位置及變化規(guī)律。分析法的特點(diǎn)：坐標(biāo)是代數(shù)量，運(yùn)動(dòng)方程為標(biāo)量方程。公式復(fù)雜結(jié)果依賴于坐標(biāo)的選取運(yùn)動(dòng)方程反映了物體（或物系）運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程適用于計(jì)算機(jī)的數(shù)值處理矢量法和分析法均可用來(lái)描述同一物體或物體系的運(yùn)動(dòng)，它們之間必然存在某種內(nèi)在聯(lián)系。81.1.2約束約束是由于物體與周圍其他物體相接觸而形成的，接觸方式不同，對(duì)物體運(yùn)動(dòng)的限制條件也不同。事先給定的限制物體運(yùn)動(dòng)的條件稱為約束。事先給定的約束條件與該物體所受到的主動(dòng)力無(wú)關(guān)。自由體非自由體9按物體間相互接觸的形式及其限制運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)，將約束分類如下：約束的分類：7.固定端約束1.柔索約束和剛性約束；2.光滑面約束；3.光滑圓柱鉸鏈約束；4.固定鉸支座約束；5.活動(dòng)鉸支座約束；6.光滑球鉸鏈支座約束；101.柔索約束和剛性約束：柔索約束是物體與柔軟不可伸長(zhǎng)的柔索相連接而成，只限制物體產(chǎn)生背離柔索方向的位移。剛性約束是物體與剛桿相連接，剛桿是不可伸長(zhǎng)和壓縮的，限制物體沿桿向的任何位移。柔索約束剛性約束柔索約束皮帶或鏈條112.光滑面約束：物體在某個(gè)曲面上運(yùn)動(dòng)，接觸面之間的摩擦不計(jì)，此時(shí)曲面和物體接觸而形成的約束為光滑面約束。特點(diǎn)：在接觸點(diǎn)處物體可以沿光滑面的切向或沿離開光滑面的公法線方向運(yùn)動(dòng)，而不能發(fā)生進(jìn)入光滑面內(nèi)的運(yùn)動(dòng)。123.光滑圓柱鉸鏈約束:此類約束是光滑面約束的一種演變形式。特點(diǎn)：這種約束的物體只能繞銷釘?shù)闹行妮S線（B稱為鉸鏈中心）作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，兩物體在B點(diǎn)不能取得沿銷釘任意徑向任何相對(duì)位移。它是由一銷釘將兩個(gè)鉆有孔徑與銷釘直徑相同的孔的物體連接在一起而構(gòu)成。ACB實(shí)物BAC簡(jiǎn)圖（力學(xué)模型）134.固定鉸支座約束：此類約束是光滑圓柱鉸鏈約束的演變。特點(diǎn)：這種約束的物體只能繞鉸鏈軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)B不能有任何方向的位移。BC簡(jiǎn)圖（力學(xué)模型）實(shí)物ACB145.活動(dòng)鉸支座約束：特點(diǎn)：被約束物體不但可以繞C軸轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)C還可以沿約束面的切向移動(dòng)，但不能取得進(jìn)入約束平面法線方向的位移。這種約束又稱為輥軸約束。它是固定鉸支座約束的演變，在固定鉸支座的下面安裝一排滾子而構(gòu)成。CC（滑動(dòng)鉸支座約束）156.光滑球鉸鏈支座約束：光滑球鉸鏈支座也是光滑面約束的一種特殊形式。特點(diǎn)：物體只能繞球心作任意方向的轉(zhuǎn)動(dòng)，而球心不能有任意方向的移動(dòng)。它是通過(guò)將被約束物體的一端做成光滑圓球，置于直徑比球稍大的光滑的固定球窩支座而構(gòu)成。167.固定端約束：例如，電線桿、懸臂梁等。物體的一端與靜止不動(dòng)的物體相固連。特點(diǎn)：在接觸處彼此之間不允許發(fā)生任何相對(duì)運(yùn)動(dòng)。17剛體運(yùn)動(dòng)的分類：補(bǔ)充內(nèi)容（1）平行移動(dòng)（平動(dòng)、平移）：在剛體上任意選取兩點(diǎn)，兩點(diǎn)所決定的直線在剛體運(yùn)動(dòng)中永遠(yuǎn)保持平行。直線平動(dòng)曲線平動(dòng)（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：在剛體上或剛體的延拓部分有不動(dòng)的軸。剛體上任意兩點(diǎn)的相對(duì)位置不發(fā)生改變。BC18（3）平面運(yùn)動(dòng)：（4）定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)：剛體上任意一確定點(diǎn)到某一固定平面的距離始終保持不變的運(yùn)動(dòng)。問(wèn)題：“平動(dòng)”是不是“平面運(yùn)動(dòng)”的特殊情況？否“定軸轉(zhuǎn)動(dòng)”是不是“平面運(yùn)動(dòng)”的特殊情況？是在剛體上（或剛體的延拓部分）有一個(gè)不動(dòng)的點(diǎn)。陀螺運(yùn)動(dòng)該理論至今也不完善。19（5）一般運(yùn)動(dòng)（自由體）：前三種運(yùn)動(dòng)是我們研究的重要內(nèi)容。不受約束的運(yùn)動(dòng)。機(jī)構(gòu)：補(bǔ)充內(nèi)容用約束將剛體聯(lián)接起來(lái)，使各剛體按預(yù)定的運(yùn)動(dòng)方式運(yùn)動(dòng)。曲柄連桿活塞（滑塊）曲柄連桿搖桿刨床急回機(jī)構(gòu)201.1.3廣義坐標(biāo)自由度廣義坐標(biāo)：確定質(zhì)點(diǎn)系在參考空間中位置的一組獨(dú)立的幾何參數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。廣義坐標(biāo)的意義：一旦確定了系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)值，則系統(tǒng)的位置，即其中每一質(zhì)點(diǎn)的位置即被確定。因此，由廣義坐標(biāo)的變化規(guī)律可以確定系統(tǒng)中每一質(zhì)點(diǎn)的變化規(guī)律。自由度：確定系統(tǒng)位置的廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)定義為系統(tǒng)的自由度。（為了描述機(jī)構(gòu)位置，而獨(dú)立的幾何參數(shù)的個(gè)數(shù)。）廣義坐標(biāo)是時(shí)間的已知函數(shù)，稱為運(yùn)動(dòng)方程。由運(yùn)動(dòng)學(xué)無(wú)法確定運(yùn)動(dòng)方程，它只能根據(jù)物體的慣性、受力情況和運(yùn)動(dòng)初始條件由動(dòng)力學(xué)確定。21例如：自由質(zhì)點(diǎn)的自由度為3個(gè)。非自由質(zhì)點(diǎn)的自由度。非自由質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)值是不獨(dú)立的，通常要滿足預(yù)先給定的一些約束條件（這些約束條件的數(shù)學(xué)方程稱為約束方程），而廣義坐標(biāo)是獨(dú)立的，這些約束條件是自然滿足的。非自由質(zhì)點(diǎn)的自由度數(shù)一定小于3，其值要由獨(dú)立約束方程個(gè)數(shù)確定。（1）擺球：（2）限制在某一平面運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)：其自由度為2。滿足擺球的自由度為1，為單自由度擺球的廣義坐標(biāo)。22自由剛體與其自由度：不受任何約束的剛體，稱為自由剛體。自由剛體的位置由不共線的3個(gè)點(diǎn)確定當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)，這3個(gè)點(diǎn)之間的距離始終保持不變，這些坐標(biāo)要滿足3個(gè)約束方程有9個(gè)直角坐標(biāo)值?？梢姫?dú)立的坐標(biāo)僅有6個(gè)，因此自由剛體的自由度為6，其廣義坐標(biāo)的選取較為復(fù)雜。23非自由剛體與其自由度：當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)受到約束的限制，這樣的剛體稱為非自由剛體。依照約束的特點(diǎn)，通常剛體具有5種運(yùn)動(dòng)形式（1）剛體的平移，（2）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，（3）平面運(yùn)動(dòng)，（4）定點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，（5）一般運(yùn)動(dòng)。非自由剛體的自由度按剛體運(yùn)動(dòng)的具體形式來(lái)確定。例如定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體位置由確定點(diǎn)M滿足約束方程為獨(dú)立坐標(biāo)僅有一個(gè)，其自由度數(shù)為1。一般選取定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上過(guò)轉(zhuǎn)軸與剛體固連的任一截面與參考系中過(guò)轉(zhuǎn)軸的某一固定平面的夾角為廣義坐標(biāo)。為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的運(yùn)動(dòng)方程。24§1.2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的矢量描述1.2.1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程參考點(diǎn)：在選定的參考空間中，任選一個(gè)固定點(diǎn)O，稱為參考點(diǎn)。矢徑（向徑）：點(diǎn)M在該參考空間的位置可以由點(diǎn)M相對(duì)于點(diǎn)O的矢量唯一確定，記作。點(diǎn)的位置與矢量建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，矢量稱為點(diǎn)M的矢徑，又稱向徑。OM25點(diǎn)的矢量形式的運(yùn)動(dòng)方程：當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，相應(yīng)的矢徑的大小和方向隨時(shí)間t連續(xù)改變，是t的單值連續(xù)的矢量函數(shù)(1.1)上式稱為點(diǎn)的矢量形式的運(yùn)動(dòng)方程。矢徑端圖：OM隨著點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，矢徑的矢端在參考空間中劃出的曲線就是點(diǎn)M的軌跡，這條曲線也稱為矢徑端圖。261.2.2點(diǎn)的速度點(diǎn)的加速度位移：點(diǎn)M在參考空間中矢徑的改變(1.2)稱為點(diǎn)M在時(shí)間間隔內(nèi)的位移，記為，即OM27平均速度：反應(yīng)了點(diǎn)M在時(shí)間內(nèi)位置改變的平均程度，稱為平均速度。隨著的取值不同，得到的平均速度（大小、方向）也不相同。瞬時(shí)速度（速度）：為了真實(shí)地描述點(diǎn)在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)狀況，(1.3)令，對(duì)平均速度取極限得到一新矢量，將它定義為點(diǎn)M在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度，簡(jiǎn)稱速度，即28瞬時(shí)速度（速度）的物理意義：方向由的極限方向所確定，即沿點(diǎn)M在t時(shí)刻軌跡的切線，并指向點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向。瞬時(shí)速度是時(shí)間的矢量函數(shù)，在t時(shí)刻其大小等于；OM29瞬時(shí)加速度（加速度）：在t時(shí)刻，點(diǎn)的速度（大小、方向）隨時(shí)間變化快慢程度用瞬時(shí)加速度，簡(jiǎn)稱加速度來(lái)度量。(1.4)（沿速度的切線方向）。其大小等于，方向由的極限方向確定30§1.3點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)描述本節(jié)的主要內(nèi)容在上節(jié)我們通過(guò)矢量的形式描述了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程、速度矢量、加速度矢量等。這節(jié)我們用坐標(biāo)形式描述點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。通過(guò)在參考空間建立坐標(biāo)系，由點(diǎn)的坐標(biāo)值確定點(diǎn)的空間位置，并利用對(duì)坐標(biāo)值的求導(dǎo)方法計(jì)算點(diǎn)的速度和加速度。本節(jié)將建立不同形式的坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。311.3.1在直角坐標(biāo)系中研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)1.3.1.1運(yùn)動(dòng)方程直角坐標(biāo)系的建立：與參考空間固連的右手直角坐標(biāo)系OxyzOyxzyxz為直角坐標(biāo)系的單位正交基唯一確定一一對(duì)應(yīng)直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程：當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，x，y，z都是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為(1.5)上式稱為點(diǎn)的直角坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程。M32當(dāng)式(1.5)的函數(shù)規(guī)律已知時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M在任一時(shí)刻t的位置可完全確定，其運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)也就完全確定。說(shuō)明：當(dāng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)不受約束時(shí)，式(1.5)中的x，y，z彼此獨(dú)立的，其自由度為3，可選取它們?yōu)閺V義坐標(biāo)；(1)(2)當(dāng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)受到約束時(shí)，式(1.5)中的x，y，z將不再獨(dú)立，其自由度小于3，自由度應(yīng)由獨(dú)立約束方程的個(gè)數(shù)來(lái)確定，上述3個(gè)量不是或不全是廣義坐標(biāo)。(3)軌跡方程:從式(1.5)中消去時(shí)間t，可得到點(diǎn)的軌跡方程。式(1.5)為點(diǎn)的軌跡的參數(shù)形式。當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)被限制在某一平面（如Oxy平面）上時(shí)，該約束點(diǎn)的自由度為2，其位置可用廣義坐標(biāo)x，y確定，它的運(yùn)動(dòng)方程為(4)(1.6)33位置矢徑與直角坐標(biāo)的關(guān)系：M(x,y,z)Oyxz設(shè)點(diǎn)M在參考空間中位置矢徑為在x，y，z軸上的投影分別為zxy(1.7)則341.3.1.2速度、加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影(1)速度在直角坐標(biāo)軸上的投影：(1.8)速度在x，y，z軸上的投影分別為則(1.9)則35(2)加速度在直角坐標(biāo)軸上的投影：(3)速度與加速度的大小和方向：(1.10)(1.11)加速度在x，y，z軸上的投影分別為則任一矢量可由其在直角坐標(biāo)系中3個(gè)坐標(biāo)軸上的投影計(jì)算其大小和方向。速度的大?。核俣鹊姆较颍河盟俣扰c坐標(biāo)軸夾角的余弦，也稱方向余弦，來(lái)表示。36加速度的大?。杭铀俣鹊姆较颍?7平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)的各點(diǎn)軌跡：補(bǔ)充內(nèi)容O平動(dòng)剛體結(jié)論：平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)的各點(diǎn)的速度和加速度相同，平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)的各點(diǎn)軌跡完全一樣，對(duì)于平動(dòng)剛體運(yùn)動(dòng)可以“以點(diǎn)代體”。BA例1.1381.3.2在自然軸系中研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)1.3.2.1運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)的描述：點(diǎn)M在參考空間中的某一已知曲線上運(yùn)動(dòng)，(1.12)點(diǎn)M的自由度為1，選取一個(gè)廣義坐標(biāo)即可確定其位置。點(diǎn)M是非自由點(diǎn)，已知的軌跡就是該點(diǎn)的約束條件?；∽鴺?biāo)：當(dāng)點(diǎn)M的軌跡已知時(shí)，其位置可弧坐標(biāo)（廣義坐標(biāo)）確定。39O在已知的軌跡曲線上任取一點(diǎn)為新的坐標(biāo)原點(diǎn)，并規(guī)定在一側(cè)量取的弧長(zhǎng)為正值，而在另一側(cè)量取的弧長(zhǎng)為負(fù)值，點(diǎn)M的位置可由離開的弧長(zhǎng)s

唯一確定。代數(shù)量s稱為點(diǎn)M的弧坐標(biāo)?；∽鴺?biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程：當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)時(shí)，弧長(zhǎng)s是時(shí)間t的單值連續(xù)函數(shù)，即(1.13)上式稱為點(diǎn)的弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程。401.3.1.2速度、加速度在自然軸系上的投影(1)曲線的幾何性質(zhì)與自然軸系：當(dāng)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，討論如何利用運(yùn)動(dòng)方程，求點(diǎn)M的速度、加速度在自然軸系上的投影，并計(jì)算速度、加速度的大小和方向。自然軸系不同于直角坐標(biāo)系，它與動(dòng)點(diǎn)軌跡的幾何性質(zhì)密切相關(guān)，隨著動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)而變動(dòng)，并在空間不停地變換其方位。因此需要先討論曲線的幾何性質(zhì)以建立自然軸系。s已知一條空間曲線設(shè)曲線上任一點(diǎn)A的弧坐標(biāo)為s，通常過(guò)點(diǎn)A存在3條正交直線：切線、主法線、副法線。（僅在曲線的曲率的點(diǎn)正確）。41s①切線：切線正方向與弧坐標(biāo)正向一致，其單位矢量用表示。在曲線上點(diǎn)附近任選一點(diǎn)，其弧坐標(biāo)為，過(guò)作一條直線，當(dāng)時(shí)，的極限位置AT稱為曲線在點(diǎn)A處的切線，規(guī)定：則(1.14)由于，方向與一致，42②密切面：過(guò)點(diǎn)A的切線AT和點(diǎn)可確定一個(gè)平面，s當(dāng)時(shí)，，稱平面為曲線在點(diǎn)A的密切平面。點(diǎn)A處的切線AT位于密切平面內(nèi)，點(diǎn)A鄰近的無(wú)限小弧段ds可看作是位于密切平面內(nèi)的平面曲線。顯然，若為平面曲線，在曲線上任一點(diǎn)處的密切平面均相同，均為曲線所在的平面。43③主法線：s在點(diǎn)A的密切平面內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A與AT垂直的直線AN稱為曲線在點(diǎn)A處的主法線。規(guī)定：主法線的正向指向曲線內(nèi)凹的一側(cè)（即指向曲率中心），其單位矢量用表示。④副法線：過(guò)點(diǎn)A同時(shí)與AT，AN垂直的直線AB稱為曲線在點(diǎn)A處的副法線。規(guī)定：副法線的單位矢量用表示，的指向要使得，，構(gòu)成右手系，即44⑤自然軸系：曲線上的任一點(diǎn)A處的切線、主法線、副法線組成的正交軸系，稱為空間曲線在點(diǎn)A處的自然軸系。自然軸系的單位正交基為，，。BsN自然軸系的特點(diǎn)：隨著在曲線上選取的點(diǎn)的不同，自然軸系也相應(yīng)變化。所以，，的方向隨s的變化不斷改變，這與直角坐標(biāo)系的單位正交基為常矢量不同。

密切平面

法平面

從切面45描述點(diǎn)A附近的微小弧段ds在密切面內(nèi)的彎曲程度的物理量：⑥曲率：曲率、曲率半徑、撓度。設(shè)過(guò)點(diǎn)，的切線分別為，，其單位切矢量為，設(shè)為間的夾角，則(1.15)k稱為曲線在點(diǎn)A處的曲率。曲率的幾何意義：曲率反映了切線相對(duì)于弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率，轉(zhuǎn)動(dòng)越“快”，曲率越大，彎曲程度越大。由上式可得出：圓的曲率等于它半徑的倒數(shù)，說(shuō)明圓在其上各處的彎曲程度一樣。46⑦曲率半徑：(1.16)稱為曲線在點(diǎn)A處的曲率半徑。曲率半徑的幾何意義：圓上各點(diǎn)的曲率半徑為圓的半徑。反映了位于密切平面內(nèi)的微小弧段ds，可近似為位于密切面內(nèi)，以為半徑的圓弧上的微小部分。⑧撓率：若曲線為平面曲線，則曲線上各點(diǎn)的副法線單位矢量是常矢量。若曲線為空間曲線，則曲線上各點(diǎn)的是不同的。的變化反映了密切平面在曲線上的轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的快慢程度可用變量撓率度量。

47設(shè)點(diǎn)A和處的副法線分別為，，其單位矢量分別為和，是和的夾角，則(1.17)稱為曲線在點(diǎn)A處的撓率。撓率的幾何意義：撓率刻畫了曲線偏離平面曲線的程度，即曲線扭曲的程度。平面曲線的撓率恒等于零。48曲線本身的形狀確定了曲線的弧長(zhǎng)、曲率、撓率，總結(jié)：反之，這3個(gè)量也確定了曲線的形狀。(a)(b)將兩點(diǎn)間的弧段取為微小弧段時(shí)，在點(diǎn)處的坐標(biāo)基可以由點(diǎn)處的坐標(biāo)基繞作的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)和隨密切平面繞作的無(wú)限小轉(zhuǎn)動(dòng)而得到。大小不變僅方向改變的矢量的微分：由附錄I.1知其中是繞某軸的微小轉(zhuǎn)角，則對(duì)的微分為其中（詳細(xì)推導(dǎo)見4.3.2小節(jié)中宋體小號(hào)字段部分。）則(1.18)同理可同理推導(dǎo)出，請(qǐng)自己試一試。49(2)點(diǎn)的速度、加速度在自然軸上的投影：設(shè)點(diǎn)M的弧坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)方程為則點(diǎn)M的速度(1.19)其中于是速度在自然軸系上的投影為切線主法線副法線(1.20)50點(diǎn)M的速度為其中將式(1.19)兩端對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)得而(1.21)于是加速度在自然軸系上的投影為切線主法線副法線(1.22)51切向加速度：法向加速度：沿著軌跡的切向，它反映了速度大小隨時(shí)間的變化規(guī)律。沿著軌跡的主法線方向，由于，故稱為法向加速度。它反映了速度方向隨時(shí)間的變化規(guī)律。注意：說(shuō)明速度的方向無(wú)變化，此時(shí)點(diǎn)的速度、加速度只沿直線方向。當(dāng)點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，由于，故，52全加速度：點(diǎn)的全加速度一定位于密切平面內(nèi)，其大小、方向可由的“矢量和”確定，即大?。悍较颍豪}53試求(1)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程；(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M的速度。動(dòng)規(guī)律為（s以cm計(jì)，t以s計(jì)）。如圖所示。已知桿長(zhǎng)，，滑塊A的運(yùn)例1.1桿AB兩端與滑塊以鉸接連接，滑塊可在各自的滑道中滑動(dòng)，解單自由度系統(tǒng)，建立直角坐標(biāo)系Oxy，如圖。點(diǎn)M的坐標(biāo)(1)54在中則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為點(diǎn)M的速度在x，y軸上的投影為(2)當(dāng)時(shí)例題畢55例1.2純滾動(dòng)圓盤純滾動(dòng)的概念：純滾動(dòng)圓盤的自由度為1。純滾動(dòng)圓盤邊緣點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程為點(diǎn)M的速度為56則指向最高點(diǎn)（過(guò)最高點(diǎn)）（如圖示）。設(shè)則方向如圖故的大小為，方向指向圓心。57則即曲率半徑確定，曲率中心也確定。例題畢5859例1.3銷釘P可以同時(shí)在滑塊A，B的導(dǎo)槽內(nèi)滑動(dòng)。導(dǎo)槽相互垂直，且分別垂直于滑塊A，B的導(dǎo)軌，如圖所示。在圖示位置時(shí)，已知：滑塊A的速度，方向向右，以減速；滑塊B的速度，方向向下，以減速。試求該瞬時(shí)，銷釘P的軌跡在該位置的曲率半徑。解銷釘P的速度銷釘P的加速度60銷釘P的切向加速度方位與速度相同，法向加速度的方向沿主法線，即與速度相垂直，如圖。所以，點(diǎn)P的曲率半徑為例題畢小結(jié)：(1)通過(guò)本題的求解，可以看出直角坐標(biāo)法與自然法表示的速度和加速度之間的關(guān)系。(2)當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程未知時(shí)，無(wú)法用數(shù)學(xué)求導(dǎo)方法得到軌跡在某位置的曲率半徑。但是，從本題分析看到，利用給定的某瞬時(shí)速度和加速度，通過(guò)法向加速度的關(guān)系式，可得到該位置的曲率半徑。61例1.4機(jī)構(gòu)如圖示。已知，。如輪按的規(guī)律轉(zhuǎn)動(dòng)，其中以rad計(jì)，t以s計(jì)。試求時(shí)，AB桿上M點(diǎn)的速度和加速度。解當(dāng)時(shí)即此瞬時(shí)桿AB的位置在最下方，如圖示。輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為（）點(diǎn)A的速度為（）由于角速度，點(diǎn)A的加速度只有法向分量，即（）62于是，桿A