第九講 聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程互功率譜密度

2.2聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程的互譜密度實際應(yīng)用中，經(jīng)常需要研究兩個或兩個以上的隨機過程及其性質(zhì)。2/3/20231兩個隨機過程中樣本函數(shù)的互功率譜密度考慮兩個平穩(wěn)實隨機過程X(t)、Y(t)，它們的樣本函數(shù)分別為和，定義兩個截斷函數(shù)、為：因為樣本函數(shù)滿足絕對可積的條件，所以它們的傅里葉變換存在。利用帕斯瓦爾等式，以及實隨機過程，可得即2/3/20232取極限以及交換運算次序，可以得出樣本函數(shù)和的(時間)互平均功率：樣本函數(shù)互功率譜密度2/3/20233兩個隨機過程的互功率譜密度隨機過程互功率譜密度推廣到隨機過程中，并取集合平均（數(shù)學(xué)期望），可以得出兩個隨機過程X(t)，Y(t)的互平均功率：2/3/20234

互功率譜密度（互譜密度或互功率譜）：則同理則如果X(t)和Y(t)均是實隨機過程，則2/3/20235二互譜密度和互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)功率譜密度

互相關(guān)函數(shù)互功率譜密度

對于兩個實隨機過程X(t)、Y(t)，其互譜密度與互相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系為：

即2/3/20236若X(t)、Y(t)各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)，則有即同理即2/3/20237結(jié)論：對于兩個聯(lián)合平穩(wěn)(至少是廣義聯(lián)合平穩(wěn))的實隨機過程，它們的互譜密度與其互相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換。若若X(t)為通過一負(fù)載的電流，Y(t)為加在該負(fù)荷兩端的電壓，則此式等于消耗在該負(fù)載上的平均功率。2/3/20238三互譜密度的性質(zhì)互功率譜密度和功率譜密度是不同的，它不具有頻率的非負(fù)、實的偶函數(shù)，但它具有自己相應(yīng)的性質(zhì)。2/3/20239性質(zhì)1證明

（令）共軛性

2/3/202310

（令）

性質(zhì)2

證明

同理可證偶函數(shù)

2/3/202311性質(zhì)4

若平穩(wěn)過程X(t)與Y(t)正交，則有

證明若X(t)與Y(t)正交，則所以性質(zhì)3

奇函數(shù)2/3/202312性質(zhì)5

若X(t)與Y(t)不相關(guān)的平穩(wěn)過程，X(t)和Y(t)分別具有常數(shù)均值和，有

證明

因為X(t)與Y(t)不相關(guān)，所以（）則

2/3/202313性質(zhì)6

性質(zhì)7

互譜不等式

2/3/202314例設(shè)兩個隨機過程X(t)和Y(t)聯(lián)合平穩(wěn)，其互相關(guān)函數(shù)為:

求互譜密度，。2/3/202315解2/3/202316實際中，考慮多個聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程之和的頻率特性時，就要應(yīng)用互譜密度。設(shè)Z(t)=X(t)+