高中數(shù)學(xué)人教A版1第二章圓錐曲線與方程 優(yōu)秀獎2

(本欄目內(nèi)容，在學(xué)生用書中以獨立形式分冊裝訂！)一、選擇題(每小題5分，共20分)1．過點P(1,1)作直線與拋物線y2＝2x只有一個公共點，這樣的直線的條數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：由于點P(1,1)在拋物線y2＝2x內(nèi)部，所以只有一條平行于x軸的直線與拋物線只有一個公共點．故選A.答案：A2．已知拋物線y2＝8x的弦AB過它的焦點，直線AB的斜率為2，則弦AB的長為()A．6 B．8C．10 D．12解析：由y2＝8x得p＝4，焦點(2,0)，則直線方程為y＝2(x－2)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x－2，,y2＝8x，))有x2－6x＋4＝0，∴x1＋x2＝6.∴|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋4＝10.答案：C3．若直線mx＋ny＝4和⊙O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點個數(shù)為()A．至多一個 B．2個C．1個 D．0個解析：由題意，eq\f(4,\r(m2＋n2))>2可得m2＋n2<4，所以(m，n)在以原點為圓心，以2為半徑的圓內(nèi)，橢圓中，短半軸長為2，結(jié)合圖形可得有兩個交點，故選B.答案：B4．若橢圓eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,9)＝1的弦被點(4,2)平分，則此弦所在直線的斜率為()A．2 B．－2\f(1,3) D．－eq\f(1,2)解析：設(shè)弦端點A(x1，y1)、B(x2，y2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋4y\o\al(2,1)＝36,x\o\al(2,2)＋4y\o\al(2,2)＝36))?xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝－4(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))?k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(x1＋x2,4y1＋y2)＝－eq\f(2×4,4×2×2)＝－eq\f(1,2).故選D.答案：D二、填空題(每小題5分，共10分)5．已知動點P的坐標(biāo)(x，y)滿足eq\f(\r(x－12＋y－12),\f(|x＋y＋2|,\r(2)))＝eq\f(1,2)，則動點P的軌跡是________．解析：原等式即點P到(1,1)的距離與到直線x＋y＋2＝0的距離之比為eq\f(1,2)，故點P的軌跡為橢圓．答案：橢圓6．若直線y＝kx＋2與雙曲線x2－y2＝6的右支交于不同的兩點，則k的取值范圍是________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,x2－y2＝6))得(1－k2)x2－4kx－10＝0，當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－k2≠0，,Δ＝16k2－41－k2×－10>0，,x1＋x2＝\f(4k,1－k2)>0，,x1x2＝\f(－10,1－k2)>0))時，直線與雙曲線右支有兩個不同交點，解得－eq\f(\r(15),3)<k<－1.答案：－eq\f(\r(15),3)<k<－1三、解答題(每小題10分，共20分)7．(2023·黃岡高二檢測)設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0＜b＜1)的左、右焦點，過F1的直線l與E相交于A，B兩點，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列，(1)求|AB|；(2)若直線l的斜率為1，求b的值．解析：(1)∵|AF2|＋|BF2|＝2|AB|，∴|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝3|AB|＝4a＝4，∴|AB|＝eq\f(4,3).(2)設(shè)直線的方程為y＝x＋c，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋c,x2＋\f(y2,b2)＝1))得(b2＋1)x2＋2cx＋c2－b2＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(2)|x1－x2|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－2c,b2＋1)))2－\f(4c2－b2,b2＋1))＝eq\f(4,3)①又c2＝1－b2②由①、②解得b＝eq\f(\r(2),2).8．(2023·中山高二檢測)已知頂點在原點O，準線方程是y＝－1的拋物線與過點M(0,1)的直線l交于A，B兩點，若直線OA和直線OB的斜率之和為1，(1)求此拋物線的標(biāo)準方程；(2)求直線l的方程；(3)求直線l與拋物線相交弦AB的弦長．解析：(1)由題意可知拋物線焦點在y軸正半軸，設(shè)拋物線的標(biāo)準方程為x2＝2py，由準線方程是y＝－1，可得p＝2.所以拋物線的標(biāo)準方程為x2＝4y.(2)設(shè)直線l的方程為：y＝kx＋1，代入拋物線的標(biāo)準方程消y整理得x2－4kx－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\f(y1,x1)＋eq\f(y2,x2)＝1①因為y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1，代入①，得2k＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)＋\f(1,x2)))＝1②因為x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，代入②得k＝1.所以直線l的方程為：y＝x＋1.(3)將直線方程與拋物線的標(biāo)準方程聯(lián)立得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1,x2＝4y))，消y整理得x2－4x－4＝0.∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(2)eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝8.eq\x(尖子生題庫)☆☆☆9．(10分)(2023·廣東惠州一模)已知橢圓的一個頂點為A(0，－1)，焦點在x軸上．若右焦點到直線x－y＋2eq\r(2)＝0的距離為3.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線y＝kx＋m(k≠0)與橢圓相交于不同的兩點M，N.當(dāng)|AM|＝|AN|時，求m的取值范圍．解析：(1)依題意可設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋y2＝1，則右焦點F(eq\r(a2－1)，0)，由題設(shè)得eq\f(|\r(a2－1)＋2\r(2)|,\r(2))＝3，解得a2＝3.故所求橢圓的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1.(2)設(shè)P為弦MN的中點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,3)＋y2＝1))得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0，∵直線與橢圓相交，∴Δ＝(6mk)2－4(3k2＋1)×3(m2－1)＞0?m2＜3k2＋1.①∴xP＝eq\f(xM＋xN,2)＝－eq\f(3mk,3k2＋1)，從而yP＝kxP＋m＝eq\f(m,3k2＋1)，∴kAP＝eq\f(yP＋1,xP)＝－eq\f(m