2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課學(xué)案2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE12學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用題型一導(dǎo)數(shù)與曲線(xiàn)的切線(xiàn)利用導(dǎo)數(shù)求切線(xiàn)方程時(shí)關(guān)鍵是找到切點(diǎn),若切點(diǎn)未知需設(shè)出．常見(jiàn)的類(lèi)型有兩種，一類(lèi)是求“在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程”，則此點(diǎn)一定為切點(diǎn)，易求斜率進(jìn)而寫(xiě)出直線(xiàn)方程即可得；另一類(lèi)是求“過(guò)某點(diǎn)的切線(xiàn)方程”，這種類(lèi)型中的點(diǎn)不一定是切點(diǎn)，可先設(shè)切點(diǎn)為Q（x1，y1)，由eq\f（y0－y1，x0－x1)＝f′（x1)和y1＝f（x1）求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一種類(lèi)型．例1已知函數(shù)f(x)＝ex－ax(a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點(diǎn)A,曲線(xiàn)y＝f(x）在點(diǎn)A處的切線(xiàn)斜率為－1.(1）求a的值及函數(shù)f(x）的極值；（2)證明:當(dāng)x〉0時(shí)，x2<ex。（1）解由f（x)＝ex－ax,得f′(x）＝ex－a。又f′(0）＝1－a＝－1，得a＝2。所以f（x）＝ex－2x，f′（x）＝ex－2。令f′(x）＝0，得x＝ln2。當(dāng)x〈ln2時(shí),f′（x）〈0,f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x>ln2時(shí)，f′（x)〉0，f(x）單調(diào)遞增．所以當(dāng)x＝ln2時(shí)，f（x)取得極小值，且極小值f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f（x）無(wú)極大值．（2）證明令g（x）＝ex－x2，則g′（x）＝ex－2x。由（1)得g′(x）＝f（x)≥f（ln2)>0.故g(x）在R上單調(diào)遞增,又g（0)＝1〉0，因此，當(dāng)x〉0時(shí)，g(x)〉g(0）>0，即x2<ex.跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)f（x）＝ax2＋2ln（2－x）(a∈R），設(shè)曲線(xiàn)y＝f(x）在點(diǎn)(1，f(1）)處的切線(xiàn)為l，若l與圓C：x2＋y2＝eq\f（1，4）相切，求a的值．解依題意有:f（1)＝a,f′(x)＝2ax＋eq\f（2,x－2）(x<2），∴l(xiāng)的方程為2（a－1）x－y＋2－a＝0,∵l與圓相切，∴eq\f（｜2－a｜,\r(4a－12＋1）)＝eq\f（1,2)?a＝eq\f（11,8），∴a的值為eq\f(11,8）.題型二導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)y＝f(x）單調(diào)區(qū)間的步驟：（1)確定函數(shù)y＝f（x）的定義域;(2）求導(dǎo)數(shù)y′＝f′（x)；（3)解不等式f′(x）>0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；（4)解不等式f′(x)<0，解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間．特別要注意定義域，寫(xiě)單調(diào)區(qū)間時(shí)，區(qū)間之間用“和"或“，"隔開(kāi)，絕對(duì)不能用“∪”連接．例2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1)f（x）＝（x－3)ex，x∈（0，＋∞）；(2）f（x)＝x（x－a)2.解(1）f′（x)＝（x－3）′ex＋(x－3)（ex)′＝（x－2）ex，令f′(x）〉0，解得x>2，又x∈（0，＋∞)，∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（2，＋∞），函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（0,2）．（2)函數(shù)f(x)＝x(x－a）2＝x3－2ax2＋a2x的定義域?yàn)镽,由f′（x）＝3x2－4ax＋a2＝0，得x1＝eq\f(a,3）,x2＝a。①當(dāng)a〉0時(shí),x1〈x2.∴函數(shù)f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞,eq\f(a，3))，(a，＋∞）,單調(diào)遞減區(qū)間為(eq\f(a,3），a）．②當(dāng)a<0時(shí)，x1〉x2，∴函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞,a)，（eq\f（a，3)，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間為(a，eq\f(a，3））．③當(dāng)a＝0時(shí)，f′（x)＝3x2≥0，∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，＋∞）,即f(x)在R上是單調(diào)遞增的．綜上,a>0時(shí),函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，eq\f(a，3））,(a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為（eq\f(a，3)，a)；a〈0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－∞，a），(eq\f（a,3），＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a，eq\f（a，3)）;a＝0時(shí),函數(shù)f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞,＋∞）．跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1）f（x）＝sinx，x∈[0，2π］；（2)y＝xlnx。解（1)函數(shù)的定義域是［0，2π］，f′(x)＝cosx，令cosx>0，解得2kπ－eq\f（π,2)<x〈2kπ＋eq\f（π，2）（k∈Z)，當(dāng)x∈［0，2π］時(shí),0<x<eq\f(π，2)，或eq\f（3π，2)〈x〈2π，令cosx〈0，解得eq\f(π,2)〈x<eq\f（3π,2），因此，f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，eq\f（π,2）)和（eq\f(3π，2），2π），單調(diào)遞減區(qū)間是（eq\f（π,2)，eq\f(3π，2）)．（2）函數(shù)的定義域是(0，＋∞),f′（x）＝lnx＋1，令lnx＋1>0得x>e－1,因此，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（e－1，＋∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（0，e－1)．題型三數(shù)形結(jié)合思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用1．應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的一般步驟:(1)確定函數(shù)f（x)的定義域；（2）解方程f′（x）＝0的根；(3）檢驗(yàn)f′(x)＝0的根的兩側(cè)f′（x)的符號(hào)．若左正右負(fù)，則f（x)在此根處取得極大值；若左負(fù)右正,則f（x)在此根處取得極小值；否則，此根不是f（x）的極值點(diǎn)．2．求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b]上的最大值、最小值的方法與步驟：(1）求f（x)在（a，b)內(nèi)的極值;（2)將（1）求得的極植與f（a)、f(b）相比較,其中最大的一個(gè)值為最大值，最小的一個(gè)值為最小值；特別地，①當(dāng)f（x）在（a，b)上單調(diào)時(shí)，其最小值、最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取得,②當(dāng)f（x)在(a，b）內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，若在這一個(gè)點(diǎn)處f（x）有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處f（x）有極大(小)值，則可以斷定f(x)在該點(diǎn)處取得最大(小）值，這里(a，b)也可以是（－∞，＋∞）．例3設(shè)eq\f（2,3)<a〈1，函數(shù)f(x)＝x3－eq\f（3，2）ax2＋b(－1≤x≤1）的最大值為1，最小值為－eq\f(\r(6）,2），求常數(shù)a，b。解令f′(x)＝3x2－3ax＝0，得x1＝0，x2＝a.f（0)＝b，f(a）＝－eq\f（a3，2）b，f（－1)＝－1－eq\f(3,2)a＋b，f（1）＝1－eq\f(3，2）a＋b.因?yàn)閑q\f(2,3)〈a<1，所以1－eq\f（3,2）a<0，故最大值為f(0）＝b＝1,所以f(x）的最小值為f(－1）＝－1－eq\f(3,2)a＋b＝－eq\f（3,2)a，所以－eq\f(3，2）a＝－eq\f(\r(6），2)，所以a＝eq\f（\r(6）,3）。故a＝eq\f(\r(6）,3),b＝1。跟蹤訓(xùn)練3已知f（x)＝ax3＋bx2＋x(a、b∈R且ab≠0）的圖象如圖所示，若｜x1|〉|x2|，則有(）A．a(chǎn)〉0，b〉0 B．a(chǎn)〈0,b<0C．a(chǎn)<0，b〉0 D．a(chǎn)〉0，b〈0答案B解析由f(x）的圖象易知f(x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2,且x＝x1時(shí)有極小值，∴f′（x）＝3ax2＋2bx＋1的圖象如圖所示，∴a<0。又|x1|〉|x2｜，∴－x1〉x2，∴x1＋x2〈0，即x1＋x2＝－eq\f（2b，3a)<0，∴b<0.題型四定積分及其應(yīng)用定積分的幾何意義表示曲邊梯形的面積，它的物理意義表示做變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)物體的位移或變力所做的功，所以利用定積分可求平面圖形的面積以及變速運(yùn)動(dòng)的路程和變力做功等問(wèn)題．利用定積分解決問(wèn)題時(shí)要注意確定被積函數(shù)和積分上下限．例4如圖，是由直線(xiàn)y＝x－2，曲線(xiàn)y2＝x所圍成的圖形，試求其面積S.解由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y2＝x，，y＝x－2，)）得x＝1或x＝4，故A(1,－1），B(4，2）,如圖所示，S＝2?eq\o\al（1，0）eq\r（x)dx＋?eq\o\al（4,1）（eq\r（x)－x＋2）dx跟蹤訓(xùn)練4在區(qū)間［0,1］上給定曲線(xiàn)y＝x2，如圖所示,試在此區(qū)間內(nèi)確定點(diǎn)t的值,使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最?。饷娣eS1等于邊長(zhǎng)為t與t2的矩形的面積去掉曲線(xiàn)y＝x2與x軸、直線(xiàn)x＝t圍成的面積,即S1＝t·t2－?eq\o\al(t，0)x2dx＝eq\f(2,3)t3。面積S2等于曲線(xiàn)y＝x2與x軸，x＝t，x＝1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長(zhǎng)分別為t2,1－t,即S2＝?eq\o\al(1，t)x2dx－t2(1－t)＝eq\f（2，3)t3－t2＋eq\f(1，3).所以陰影部分面積S為:S＝S1＋S2＝eq\f(4，3）t3－t2＋eq\f(1，3)(0≤t≤1），由S′(t）＝4t2－2t＝4t(t－eq\f（1，2)）＝0，得t＝0，或t＝eq\f（1,2).由于當(dāng)0<t<eq\f（1，2)時(shí)，S′（t）〈0；當(dāng)eq\f（1，2)<t<1時(shí)，S′（t)>0，所以S（t）在0〈t〈eq\f(1,2)上單調(diào)遞減,在eq\f（1,2)<t〈1上單調(diào)遞增．所以當(dāng)t＝eq\f（1，2）時(shí)，S最小，即圖中陰影部分的面積S1與S2之和最?。鄢手攸c(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律］1．函數(shù)中求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題，可以有兩種類(lèi)型：一是已知函數(shù)單調(diào)性（或極值),求參數(shù)范圍；二是已知函數(shù)最值(或恒成立）等性質(zhì)，求參數(shù)范圍．這兩種類(lèi)型從實(shí)質(zhì)上講，可以統(tǒng)一為：已知函數(shù)值的變化規(guī)律,探求其參數(shù)變化范圍．2．在解決問(wèn)題