第五講：直線與平面及平面與平面的相對位置關(guān)系(相交),點(diǎn)、直線和平面的綜合題

點(diǎn)、直線、平面綜合問題距離問題——作垂直、求實(shí)長(度量)相對位置關(guān)系(定位)角度問題(度量)直線與平面、平面與平面的相對位置——相交（含垂直）2/4/20231M平面與平面相交兩平面相交，其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。⑵確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。②判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：判別可見性。求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題。ABCFKNL2/4/20232可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●如何判別？例1：求兩平面的交線MN，并判別可見性。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。還有何辦法判別？步驟：１．空間及投影分析２．作圖XO2/4/20233bcfhaeabcefh1(2)平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點(diǎn)m

、bc與fh的交點(diǎn)n即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故mn即交線MN的正面投影。①求交線②判別可見性點(diǎn)Ⅰ在FH上，在上方，點(diǎn)Ⅱ在BC上，在下方，故fh可見，n2不可見。m●●n●2●n●m●1●例2：求兩平面的交線MN，并判別可見性。步驟：１．空間及投影分析２．作圖XO2/4/20234兩一般位置平面相交，求交線步驟：1．用求直線與平面交點(diǎn)的方法，作出兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)K、E。求兩平面的交線llnmmnPVQV1221kke’e2．連接兩個(gè)共有點(diǎn)，畫出交線KE。XO2/4/20235直線與平面垂直的幾何條件：

若一直線垂直于平面內(nèi)的任意兩條相交直線，則直線與平面互相垂直。垂直--直線與平面垂直;

平面與平面垂直2/4/20236定理1若一直線垂直于一平面，則該直線的水平投影必垂直于該平面的水平線的水平投影；其正面投影必垂直于該平面的正平線的正面投影。knknXO2/4/20237定理2（逆）若一直線的水平投影垂直于一平面水平線的水平投影；其正面投影垂直于該平面正平線的正面投影，則該直線必垂直于該平面。XO2/4/20238例3：平面由BDF給定，試過定點(diǎn)K作平面的法線。acacnnXO2/4/20239h例4：試過定點(diǎn)K作特殊位置平面的法線。hhhhh（a）（c）（b）2/4/202310例5：平面由兩平行線AB、CD給定，試判斷直線MN是否垂直于該平面。efef不垂直XO2/4/202311兩平面垂直的幾何條件若一直線垂直于一定平面，則包含這條直線的所有平面都垂直于該平面。AD2/4/202312反之，兩平面相互垂直，則由屬于第一個(gè)平面的任意一點(diǎn)向第二個(gè)平面作的垂線必屬于第一個(gè)平面。兩平面垂直兩平面不垂直2/4/202313g例6平面由BDF給定，試過定點(diǎn)K作已知平面的垂面。hacachg2/4/202314例題試判斷ABC與相交兩直線KG和KH所給定的平面是否垂直。ffdd結(jié)論：因?yàn)锳D直線不在

ABC平面上，所以兩平面不垂直。2/4/202315例題試過定點(diǎn)A作直線與已知直線EF正交。2/4/202316EQ分析——過已知點(diǎn)A作平面垂直于已知直線EF，并交于點(diǎn)K，連接AK，AK即為所求。FAK2/4/202317作圖21aefafe1221PV12kk2/4/202318距離問題基本問題：點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)到平面的距離衍生問題:兩直線間距離(平行和交叉)

直線到平面的距離兩平面間的距離點(diǎn)、直線、平面綜合問題——2/4/202319根據(jù)要求求距離k’k距離的實(shí)長解題要點(diǎn)：1、作垂線;2、求垂足;3、連接線段,求實(shí)長.作圖結(jié)果要求：表示距離的線段的投影、實(shí)長都須作出。距離問題例：求圖中點(diǎn)A到平面CDE的距離。a’ac’d’e’cedXO2/4/202320根據(jù)要求求距離例：求點(diǎn)A到直線CD的距離。距離的實(shí)長k’k解題要點(diǎn)：1、作垂面;2、求垂足;3、求實(shí)長.距離問題a’ad’e’edOX2/4/202321求兩交叉直線的公垂線。a’bcdc’d’b’ak’l’kl解題要點(diǎn)：1.從空間理解概念;2.明確作圖思路.距離問題OX2/4/202322空間幾何元素之間相對位置關(guān)系例：經(jīng)過A點(diǎn)求作直線AB，使其與Q平面平行，且與直線CD相交。bb’QVQHaa’cdc’d’解題要點(diǎn)：1.求線先定面;2.明確平面的跡線表示.OX2/4/202323求角度直線的傾角－－用直角三角形法平面的傾角－－用最大斜度線兩直線的夾角－－求角所在平面實(shí)形直線與平面的夾角－－借助垂線兩平面的夾角－－作垂面2/4/202324求角度求直線AB與P平面的夾角。p’pa’b’abOX2/4/202325分析2/4/202326小結(jié)－－本講基本要求相交問題

1．熟練掌握特殊位置線、面相交（其中直線或平面的投影具有積聚性）交點(diǎn)的求法和求兩個(gè)面的交線的作圖方法（其中一平面的投影具有積聚性）。

2．熟練掌握一般位置線、面相交求交點(diǎn)的方法；掌握一般位置面、面相交求交線的作圖方法。

3．熟練掌握利用重影點(diǎn)判別投影可見性的方法。垂直問題

掌握線面垂直的投影特性及作圖方法。了解面面垂直的投影特性及作圖方法。2/4/202327例試過K點(diǎn)作一直線平行于已知平面ΔABC，并與直線EF相交。OX2/4/202328分析過已知點(diǎn)K作平面P平行于

ABC；直線EF與平面P交于H；連接KH，KH即為所求。FPEKH2/4/202329作圖mnhhnmPV11221．過點(diǎn)K作平面KMN//

ABC平面。2．求直線EF與平面KMN的交點(diǎn)H。3．連接KH，KH即為所求。OX2/4/202330例試過點(diǎn)N作一平面，使該平面與V面的夾角為60°，與H面的夾角為45°。OX2/4/2