第五章系統(tǒng)的頻率特性

控制工程基礎(chǔ)實驗安排時間安排：

1-2班：第13周、周五上午8點鐘開始

3-4班：第13周、周五下午1點鐘開始

5-6班：第12周、周五上午8點鐘開始

7-8班：第12周、周五

下午1點鐘開始地點：西區(qū)實驗樓C-309指導老師：劉老師實驗內(nèi)容：

實驗1控制系統(tǒng)典型環(huán)節(jié)的模擬實驗2一階系統(tǒng)的時域響應(yīng)實驗3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)1

頻率特性法是經(jīng)典控制理論中對系統(tǒng)進行分析與綜合的又一重要方法。與時域分析法和根軌跡法不同,頻率特性法不是根據(jù)系統(tǒng)的閉環(huán)極點和零點來分析系統(tǒng)的時域性能指標，而是根據(jù)系統(tǒng)的頻率特性來分析系統(tǒng)的（頻域）性能指標。因此,從某種意義上講，頻率特性法與時域分析法和根軌跡法有著本質(zhì)的不同。第五章系統(tǒng)的頻率特性

頻域性能指標與時域性能指標之間有著內(nèi)在的聯(lián)系。通過這種內(nèi)在聯(lián)系，可以由系統(tǒng)的頻域性能指標求出時域性能指標或反之。因此，頻率特性法與時域分析法和根軌跡法又是統(tǒng)一的。

頻率特性是系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但它不僅能反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能，而且可以用來研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能。2頻域分析法的特點

（1）頻率特性也是一種數(shù)學模型，且系統(tǒng)或元部件的頻率特性可以用實驗方法測定。對于難于用機理法建立數(shù)學模型的系統(tǒng)或元部件非常實用。（2）用頻域法來分析控制系統(tǒng)的性能，不必求解系統(tǒng)的微分方程，而是作出系統(tǒng)頻率特性的圖形，然后通過頻域和時域之間的關(guān)系來分析系統(tǒng)的性能。（3）頻率特性不僅可反映系統(tǒng)的性能，且還可反映系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)與系統(tǒng)性能的關(guān)系。因此，通過研究系統(tǒng)的頻率特性，可以了解如何改變系統(tǒng)的參數(shù)和結(jié)構(gòu)來改善系統(tǒng)的性能。（4）利用頻率特性通頻帶的概念，可以設(shè)計出既滿足系統(tǒng)動態(tài)性能指標，又能使其噪聲減小到滿意程度的系統(tǒng)。（5）頻率法不僅適用于線性系統(tǒng)，還可以應(yīng)用于某些非線性系統(tǒng)。是廣大工程技術(shù)人員熟悉并廣泛使用的有效方法。3第五章系統(tǒng)的頻率特性5-1頻率特性5-2頻率特性的對數(shù)坐標圖5-3頻率特性的極坐標圖5-5最小相位系統(tǒng)5-6閉環(huán)頻率特性與頻域性能指標5-7

系統(tǒng)辨識4教學目的、要求1.掌握系統(tǒng)頻率特性的概念和求法2.掌握系統(tǒng)的bode圖和nyquist圖的構(gòu)成3.掌握系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性的求取方法教學重點1.系統(tǒng)幅頻特性和相頻特性的求法2.根據(jù)bode圖估計系統(tǒng)的傳遞函數(shù)55-1頻率特性一、頻率響應(yīng)頻率響應(yīng):

系統(tǒng)對正弦信號的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。輸入：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：頻率響應(yīng):

線性定常系統(tǒng)在正弦輸入下的穩(wěn)態(tài)輸出。頻率響應(yīng)：6假設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點為且互不相等，則式可展開成部分分式：對上式進行拉氏反變換得到系統(tǒng)的輸出為：7系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：8式中，

對于線性系統(tǒng)而言，當輸入某一頻率的正弦信號，經(jīng)過充分長的時間后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出仍是同頻率的正弦波，而且穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的正弦幅值之比，以及穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的相位差是完全確定的。輸出信號的振幅B是輸入信號振幅A的倍；輸出信號相對輸入信號的相移為。9系統(tǒng)輸出為：傳遞函數(shù)CRx0(t)xi(t)10瞬態(tài)響應(yīng)，衰減為0穩(wěn)態(tài)響應(yīng)頻率響應(yīng)的特點:穩(wěn)態(tài)輸出與輸入相比，都是同頻率的正弦函數(shù)，但幅值不同，相位不同：穩(wěn)態(tài)輸出的幅值為輸入幅值的一個相應(yīng)的倍數(shù)；相位比輸入相位滯后一個角度。

11輸入：穩(wěn)態(tài)輸出：穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)在余弦激勵下的穩(wěn)態(tài)輸出?12二、頻率特性

頻率特性是傳遞函數(shù)中的復(fù)變量僅在虛軸上取值的特殊情況。

線性穩(wěn)定系統(tǒng)在正弦信號作用下，頻率從零變化到無窮，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入的幅值比、相位差隨頻率變化的特性，稱為頻率特性。幅頻特性相頻特性頻率特性實頻特性虛頻特性頻率特性13幅值比相位差幅頻特性相頻特性對于上例，14系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)正弦輸出信號與相應(yīng)的正弦輸人信號的幅值之比隨輸入頻率的變比而變化的特性稱為幅頻特性，它描述了系統(tǒng)對輸入信號幅值的放大、衰減特性。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)正弦輸出信號與相應(yīng)的正弦輸入信號的相位之差隨輸入頻率的變化而變化的特性稱為相頻特性，它描述了系統(tǒng)輸出信號相位對輸入信號相位的超前、遲后特性。幅頻特性相頻特性txi(t)x0(t)()Ai

A015①頻率特性不只是對系統(tǒng)而言，其概念對元件、部件、控制裝置等都適用。頻率特性幾點說明

②雖然頻率特性是在假定系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下導出的，但是頻率特性的概念不只是適用于穩(wěn)定系統(tǒng)，也適用于不穩(wěn)定的系統(tǒng)，只是不穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性觀察不到。

③頻率特性和傳遞函數(shù)一樣，只適用于線性定常系統(tǒng)。

④頻率特性是傳遞函數(shù)的特例，是定義在復(fù)平面虛軸上的傳遞函數(shù)，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數(shù)一樣反映了系統(tǒng)的固有特性。

⑤盡管頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，但系統(tǒng)的頻率特性與傳遞函數(shù)一樣包含了系統(tǒng)或元部件的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)參數(shù)，因此，系統(tǒng)動態(tài)過程的規(guī)律性也全寓于其中。16⑦應(yīng)用頻率特性分析系統(tǒng)性能的基本思路：頻率特性描述的是穩(wěn)態(tài)正弦輸入量和輸出量之間的關(guān)系。但大多數(shù)控制系統(tǒng)的輸入量不僅不是正弦函數(shù)，而且是非周期函數(shù)。施加于控制系統(tǒng)的周期或非周期信號都可表示成由許多諧波分量組成的傅立葉級數(shù)或用傅立葉積分表示的連續(xù)頻譜數(shù)。由于線性系統(tǒng)滿足比例性和疊加性，因此根據(jù)控制系統(tǒng)對于正弦諧波函數(shù)這類典型信號的響應(yīng)可以推算出它在任意周期信號或非周期信號作用下的運動情況。因而分析頻率特性有更廣泛的意義。⑥在經(jīng)典控制理論范疇，頻率分析較時域分析簡單，特別是對于高階系統(tǒng)。

⑧

頻率特性的物理意義：頻率特性表征了系統(tǒng)或元件對不同頻率正弦輸入的響應(yīng)特性。17以RC濾波網(wǎng)絡(luò)為例：表明系統(tǒng)跟蹤、復(fù)現(xiàn)不同頻率信號的能力。當頻率低時，系統(tǒng)能正確響應(yīng)、跟蹤、復(fù)現(xiàn)輸入信號；當頻率高時，系統(tǒng)輸出幅值衰減近似為0，相位嚴重滯后，系統(tǒng)不能跟蹤、復(fù)現(xiàn)輸入?？刂葡到y(tǒng)具有低通濾波器特性。三、頻率特性的求取方法

（1）求微分方程的穩(wěn)態(tài)解；（2）已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)，令s=jw代入，即得；（3）通過實驗測得。18對于正弦輸入xi(t)=Aisint，根據(jù)頻率特性的定義：19

解：①求頻率特性例：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出。②求穩(wěn)態(tài)輸出20四、機械系統(tǒng)動剛度的概念f(t)

x(t)kBm頻率特性21動柔度：動剛度：w=0時，即為系統(tǒng)靜剛度。當22五、頻率特性的表示方法解析法：G(jw)

幅頻特性：A(w)=B/A=|G(jw)|

相頻特性：

j

(w)=∠G(jw)

圖示法：對數(shù)坐標圖或稱Bode圖；極坐標圖或稱Nyquist圖；對數(shù)幅-相圖或稱Nichols圖。235-2頻率特性的對數(shù)坐標圖（伯德圖、Bode圖）1、對數(shù)坐標圖定義對數(shù)幅頻特性圖橫坐標：以10為底的對數(shù)分度表示的角頻率，單位rad/s，Hz。縱坐標：線性分度，幅值20lgA(w)，單位分貝（dB）。對數(shù)相頻特性圖橫坐標：與對數(shù)幅頻特性圖相同?？v坐標：線性分度，頻率特性的相角j(w)，單位度。采用對數(shù)分度是為了在一張圖上同時能展示出頻率特性的低頻和高頻部分,即在較寬的頻率范圍內(nèi)研究系統(tǒng)的頻率特性。242526①

w=0不能在橫坐標上表示出來，表示的最低頻率由所感興趣的頻率范圍確定。②只標注w的真值，通常采用頻率比的概念。③用L(w)簡記對數(shù)幅頻特性；用(w)簡記對數(shù)相頻特性。關(guān)于Bode圖的說明Bode圖的優(yōu)點：

①幅頻特性的乘除運算轉(zhuǎn)變?yōu)榧訙p運算。②對數(shù)坐標拓寬了圖形所能表示的頻率范圍；突出了低頻特性。

③便于用實驗方法估計被測系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。④對系統(tǒng)作近似分析時，只需畫出對數(shù)幅頻特性曲線的漸進線，大大簡化了圖形的繪制。⑤兩個系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)時，其對數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于零分貝線對稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對稱。272、各種典型環(huán)節(jié)的伯德圖當改變傳遞函數(shù)的K值時，會導致傳遞函數(shù)的對數(shù)幅頻曲線升高或降低一個相應(yīng)的常值，但不影響相位角。

（1）比例環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性：對數(shù)幅頻特性：相頻特性：幅頻特性：頻率特性：

傳遞函數(shù)：28（2）積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻圖為通過（1,0）、斜率為–20dB/dec的一條直線；對數(shù)相頻圖為等于-90o的一條直線。

對數(shù)相頻特性對數(shù)幅頻特性相頻特性幅頻特性頻率特性傳遞函數(shù)29(3）微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻圖通過（1,0）、斜率為20dB/dec的一條直線；對數(shù)相頻圖為等于90o的一條直線。

對數(shù)相頻特性對數(shù)幅頻特性相頻特性幅頻特性傳遞函數(shù)頻率特性30注意：積分環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)，其對數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于零分貝線對稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對稱。31(4）一階慣性環(huán)節(jié)幅頻特性傳遞函數(shù)頻率特性相頻特性對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性32對數(shù)幅頻特性

轉(zhuǎn)角頻率稱為低頻漸近線，低頻段近似為0dB的水平線。稱為高頻漸近線，其斜率近似為-20dB/dec

的直線。低頻線與高頻線的交點（1/T，0）33對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性34波德圖誤差分析（實際頻率特性和漸近線之間的誤差）：當時，誤差為：當時，誤差為：最大誤差發(fā)生在處，為wT12510L(w),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04漸近線,dB0000-6-14-20誤差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.0435相頻特性：

作圖時先用計算器計算幾個特殊點：由圖不難看出相頻特性曲線在半對數(shù)坐標系中對于(wT,-45°)點是斜對稱的，這是對數(shù)相頻特性的一個特點。當時間常數(shù)T變化時，對數(shù)幅頻特性和對數(shù)相頻特性的形狀都不變，僅僅是根據(jù)轉(zhuǎn)折頻率1/T的大小整條曲線向左或向右平移即可。而當增益改變時，相頻特性不變，幅頻特性上下平移。wT0.010.020.0j(w)-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45wT2.03.04.05.07.0102050100j(w)-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.436（5）一階微分環(huán)節(jié)低頻段(w<<1/T)高頻段(w>>1/T)幅頻特性傳遞函數(shù)頻率特性相頻特性對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性37一階微分環(huán)節(jié)與一階慣性環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)，根據(jù)對數(shù)頻率特性圖的特點，一階微分環(huán)節(jié)與一階慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線關(guān)于0dB

線對稱，相頻特性曲線關(guān)于零度線對稱。顯然，一階微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線也可由漸近線近似描述。38（6）振蕩環(huán)節(jié)頻率特性幅頻特性：相頻特性：39高頻段(w>>wn)對數(shù)幅頻特性：低頻段(w<<wn)40振蕩環(huán)節(jié)波德Bode圖

對數(shù)相頻特性對數(shù)幅頻特性41對數(shù)幅頻特性的實際Bode圖42振蕩環(huán)節(jié)-180-135-90-4500.1110/n()/(deg)

=0.1

=0.2

=0.3

=0.7

=1.0-40-30-20-1001020L()/(dB)-40dB/dec

=0.1

=0.2

=0.3

=0.7

=1.0漸近線BodeDiagram轉(zhuǎn)折頻率

=0.5

=0.543振蕩環(huán)節(jié)在不同ξ值時的修正曲線

-8-40481216200.1110

=0.05

=0.10

=0.15

=0.20

=0.25

=0.30

=0.35

=0.40

=0.80

=0.90

=1.00

=0.50

=0.60

=0.707/nError(dB)由圖可見，當

較小時，由于在

=n

附近存在諧振，幅頻特性漸近線與實際特性存在較大的誤差，

越小，誤差越大。當0.38<<0.7時，誤差不超過3dB。因此，在此范圍內(nèi)，可直接使用漸近對數(shù)幅頻特性，而在此范圍之外，應(yīng)使用準確的對數(shù)幅頻曲線。準確對數(shù)幅頻曲線可在漸近線的基礎(chǔ)上通過誤差曲線修正獲得或直接計算。4445低頻段(w<<1/T)高頻段(w>>1/T)（7）二階微分環(huán)節(jié)幅頻特性傳遞函數(shù)頻率特性相頻特性對數(shù)幅頻特性對數(shù)相頻特性4647（8）延遲環(huán)節(jié)幅頻特性：傳遞函數(shù)：頻率特性：相頻特性：對數(shù)幅頻特性：48

比例環(huán)節(jié)和積分環(huán)節(jié)的頻率特性；

慣性環(huán)節(jié)的頻率特性—低頻、高頻漸進線，斜率-20，轉(zhuǎn)折頻率；振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性—波德圖：低頻、高頻漸進線，斜率-40，轉(zhuǎn)折頻率；微分環(huán)節(jié)的頻率特性—有三種形式：純微分、一階微分和二階微分。分別對應(yīng)積分、一階慣性和振蕩環(huán)節(jié)；延遲環(huán)節(jié)的頻率特性。典型環(huán)節(jié)的伯德圖49由于總傳遞函數(shù)對數(shù)幅值等于組成的各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)幅值之和；相位等于各典型環(huán)節(jié)的相位之和。因此，總傳遞函數(shù)對數(shù)幅值曲線及相位曲線分別由各串聯(lián)典型環(huán)節(jié)對數(shù)幅值曲線和相位曲線疊加而成。典型環(huán)節(jié)的對數(shù)漸近幅頻對數(shù)曲線為不同斜率的直線或折線，故疊加后的漸近幅頻特性曲線仍為不同斜率的線段組成的折線。因此，需要首先確定低頻起始段的斜率和位置，然后確定線段轉(zhuǎn)折頻率（交接頻率）以及轉(zhuǎn)折后線段斜率的變化，那么，就可繪制出由低頻到高頻的對數(shù)漸近幅頻特性曲線。3.繪制系統(tǒng)的伯德圖50

繪制系統(tǒng)伯德圖的一般步驟：

1）將傳遞函數(shù)寫成標準的典型環(huán)節(jié)的串聯(lián)形式，即將常數(shù)項都化為1。

2）選定Bode圖坐標系所需頻率范圍，一般最低頻率為系統(tǒng)最低轉(zhuǎn)折頻率的1/10左右，而最高頻率為最高轉(zhuǎn)折頻率的10倍左右；確定坐標比例尺；確定各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并將轉(zhuǎn)折頻率由低到高依次標注到對數(shù)坐標紙上。51

3）計算20lgK，在w＝1rad/s處找到縱坐標等于20lgK的點，過該點作斜率等于

-20ldB/dec的直線（積分環(huán)節(jié)），向左延長此線至所有環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率之左，得到最低頻段的漸近線。

4)向右延長最低頻段漸近線，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率改變一次漸近線斜率?！鶓T性環(huán)節(jié)，斜率下降20dB/dec;

振蕩環(huán)節(jié)，斜率下降40dB/dec;

一階微分環(huán)節(jié)，斜率上升20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，斜率上升40dB/dec。

※在低頻段對數(shù)幅頻特性52

6)在對數(shù)相頻特性圖上，分別畫出各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，將各典型環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線沿縱軸方向疊加，便可得到系統(tǒng)的對數(shù)相頻特性曲線。也可求出j(w)的表達式，逐點描繪。

5)對漸近線進行修正以獲得準確的幅頻特性；注意：對數(shù)幅頻特性曲線上要標明斜率！53例：繪制開環(huán)傳遞函數(shù)為的零型系統(tǒng)的伯德圖。

解：系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為

54零型系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性的低頻段為20lgK的水平線,隨著w的增加,每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率,對數(shù)幅頻特性就改變一次斜率。55例:設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為試繪制系統(tǒng)的伯德圖。

解系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性和相頻特性分別為

565702040-20-400.1110Lω0.52.084-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec-60dB/dec例：580°90°-90°-180°0.1110Angleω0.52.084-270°59例：試繪制以下傳遞函數(shù)的對數(shù)幅頻曲線解：轉(zhuǎn)折頻率由小到大分別為:增益K=1，含1個積分環(huán)節(jié),低頻段漸近線是過(1,0)點，斜率為-20的直線-20-20-40202010.10604、傳遞函數(shù)的實驗確定法（一）基本思路

根據(jù)Bode圖的漸近線確定轉(zhuǎn)折頻率及各典型環(huán)節(jié)，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。待測系統(tǒng)在感興趣的頻率范圍內(nèi)取不同的頻率。顯示器記錄儀繪圖儀幅頻相頻幅值比相位差繪圖§4.3

系統(tǒng)開環(huán)頻率特性圖61（二）由Bode圖求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的步驟確定對數(shù)幅頻特性的漸近線。用斜率為0dB/dec、20dB/dec、40dB/dec的直線逼近實驗曲線。

622.根據(jù)低頻段漸近線的斜率，確定系統(tǒng)包含的積分環(huán)節(jié)的個數(shù)。63注意到系統(tǒng)低頻段漸近線可近似為：3.

確定系統(tǒng)增益理解：不管是一階環(huán)節(jié)或者是二階環(huán)節(jié)，其低頻漸近線都為0分貝，故：低頻漸近線的斜率完全由積分環(huán)節(jié)來確定，而其位置（在幅頻特性圖的上下位置）則由增益決定。64（1）0型系統(tǒng)65（2）I型系統(tǒng)66（3）II型系統(tǒng)675.獲得系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)或傳遞函數(shù)。6.根據(jù)實驗測得的相頻特性曲線校驗獲得的傳遞函數(shù)。4.根據(jù)漸近線轉(zhuǎn)折頻率處斜率的變化，確定對應(yīng)的環(huán)節(jié)。若

=1時，斜率變化20dB/dec，則對應(yīng)環(huán)節(jié)為：若

=2時，斜率變化40dB/dec，則對應(yīng)環(huán)節(jié)為：若為最小相位系統(tǒng)，兩相頻特性應(yīng)大致相符，并且在很低和很高頻段上嚴格相符。

二階環(huán)節(jié)的阻尼比

根據(jù)實驗曲線在轉(zhuǎn)折頻率處的峰值與的關(guān)系確定。68例：已知最小相位系統(tǒng)的近似對數(shù)幅頻特性曲線如圖所示。求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。-200-20-40200.1120

(rad/s)L()解：系統(tǒng)低頻段斜率為－20dB/dec，I型系統(tǒng)。注意到積分環(huán)節(jié)的延長線必交(1，0)點，故k=1。

在ω1=0.1處，漸近線變?yōu)樗骄€，故ω1對應(yīng)的應(yīng)是一階微分環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。69

此外，系統(tǒng)存在另二個轉(zhuǎn)折頻率：1和20rad/s。對應(yīng)的典型環(huán)節(jié)分別為：綜上所述，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：-200-20-40200.1120

(rad/s)L()70例：根據(jù)對數(shù)幅頻特性，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。71例：根據(jù)對數(shù)幅頻特性，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。7273例：某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖所示，求此系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。74試繪制以下傳遞函數(shù)的對數(shù)幅頻曲線解：轉(zhuǎn)折頻率由小到大分別為:最低頻段的對數(shù)幅頻特性可近似為：例475-60-20-80-6076思考題：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)分別為試分別繪出開環(huán)對數(shù)漸近幅頻曲線。ω20-20L(dB)10L(dB)50-20-40100ωL(dB)ω-40-40-20ω1ωcω2774、系統(tǒng)類型和對數(shù)幅頻曲線之間的關(guān)系在上章的誤差分析中，討論了系統(tǒng)類型與系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)的關(guān)系。而根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線也可確定系統(tǒng)的靜態(tài)誤差系數(shù)及系統(tǒng)對給定輸入信號引起的誤差值。開環(huán)傳遞函為開環(huán)傳遞函的頻率特性為78顯然，低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數(shù)l、增益K有關(guān)。在低頻段對數(shù)幅頻特性輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差791、靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp

對于0型系統(tǒng)，根據(jù)低頻段漸近線確定靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp

（開環(huán)增益K=Kp

）。顯然，低頻段的頻率特性與系統(tǒng)型數(shù)l、增益K有關(guān)。在低頻段對數(shù)幅頻特性0型系統(tǒng)低頻段漸近線是20lgKp分貝的水平線。0型系統(tǒng)低頻段漸近線為80對于0型系統(tǒng)-40系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性在低頻段是一水平線，其高度為：20lgK＝20lgKp系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段是水平線時，系統(tǒng)是0型系統(tǒng)，跟隨階躍輸入信號時有穩(wěn)態(tài)誤差，誤差大小與開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻段高度有關(guān)。812.靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

對于Ⅰ型系統(tǒng)，根據(jù)低頻段漸近線或其延長線確定靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv

（開環(huán)增益K=Kv

）。當w=1時若低頻段漸近線或其延長線與零分貝線的交點為w1，則即靜態(tài)速度誤差系數(shù)82I型系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性起始段的斜率為－20dB/dec；-40-20-20-60Ⅰ型系統(tǒng)當系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性起始段的斜率為－20dB/dec時，系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，系統(tǒng)跟隨斜坡輸入時有固定穩(wěn)態(tài)誤差，誤差大小與低頻漸近線在w＝1時的高度有關(guān)。開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線與0dB水平線的交點頻率1＝Kv。833.靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka對于Ⅱ型型系統(tǒng)，根據(jù)低頻段漸近線或其延長線確定靜態(tài)速度誤差系數(shù)Ka

（開環(huán)增益K=Ka

）。當w=1時若低頻段漸近線或其延長線與零分貝線的交點為wa，則即靜態(tài)加速度誤差系數(shù)84-40-20Ⅱ型系統(tǒng)II型系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性起始段的斜率為－40dB/dec；開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線與0dB水平線的交點頻率a2＝Ka。-40-60當w＝1時，開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線的高度為20lgKa；當系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性起始段的斜率為－40dB/dec時，系統(tǒng)為II型系統(tǒng)。系統(tǒng)在跟隨階躍和速度輸入時無穩(wěn)態(tài)誤差，跟隨加速度輸入信號時有固定穩(wěn)態(tài)誤差，誤差大小與低頻漸近線在開w＝1時的高度有關(guān)。8586也稱乃奎斯特圖或幅相頻率特性圖，是當w從零變化至無窮大時，在極坐標上表示頻率特性的幅值與相位角的關(guān)系圖。因此，極坐標圖是在復(fù)平面內(nèi)用不同頻率（0～）的向量G(j)端點的變化曲線（軌跡）表示系統(tǒng)的頻率特性。（相位角以從正實軸開始，逆時針為正，順時針為負）。易知，向量G(jw)的長度等于A(w)（|G(jw)|）；由正實軸方向沿逆時針方向繞原點轉(zhuǎn)至向量G(jw)方向的角度等于j(w)（∠G(jw)）。5-3頻率特性的極坐標圖（Nyquist圖）

1、極坐標圖87奈奎斯特(Nyquist)圖（極坐標圖）U():實頻特性ReImG(jω)IG(jω)IU(ω)V(ω))()()(wwwjUVarctg=[][])()()(22wwwVUA+=V():虛頻特性88傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：

2.典型環(huán)節(jié)的極坐標圖1）比例環(huán)節(jié)Re(w)Im(w)K89傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：2）積分環(huán)節(jié)Re(w)Im(w)90傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：3）微分環(huán)節(jié)Re(w)Im(w)91傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：4）慣性環(huán)節(jié)當時：當時，當時，實頻特性：虛頻特性：注意到：92慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖為圓心在(1/2,0)處，半徑為1/2的一個半圓..010.5推廣：當慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)是，其頻率特性是圓心為，半徑為的實軸下方半個圓周。93推廣：傳遞函數(shù)是，其頻率特性是圓心為，半徑為的實軸下方半個圓周。94傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：5）一階微分環(huán)節(jié)Re(w)Im(w)95傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：幅頻特性：6）振蕩環(huán)節(jié)兩種情況：z較大、較小96

當z較大時，曲線的幅值隨w的增大單調(diào)減小。當z較小時，曲線的幅值隨w的增大而增大，出現(xiàn)一個最大值，然后逐漸減小至0，這個最大的幅值稱為諧振峰值Mr。97由由于

當0<z<1時，在w=wn附近，A(w)出現(xiàn)峰值，即發(fā)生諧振。諧振峰值Mr對應(yīng)的頻率wr稱為諧振頻率諧振現(xiàn)象98即：顯然wr應(yīng)大于0，由此得振蕩環(huán)節(jié)出現(xiàn)諧振峰值的條件為令wr稱為諧振頻率Mr稱為諧振峰值99傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：7）二階微分環(huán)節(jié)01Im(w)Re(w)0=wT1=wz2￥=w100傳遞函數(shù)：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：8）延遲環(huán)節(jié)Im(w)Re(w)1101(1)寫出幅頻特性、相頻特性的表達式：即

3.系統(tǒng)Nyquist圖的一般畫法102(3)求乃氏圖與實軸的交點；(2)分別求解頻率等于零和無窮大時的頻率特性；(6)根據(jù)A(w)的變化趨勢，畫出Nyquist圖的大致形狀。(4)求乃氏圖與虛軸的交點；(5)必要時畫出乃氏圖中間幾點；103解：例：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下：試繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist圖。1040ReIm

=0＝1050ReIm＝106注意ReIm＝0＝0＝0當系統(tǒng)加了零點（一階微分環(huán)節(jié)）則使系統(tǒng)相角超前，奈氏曲線彎曲。107例:試繪制的Nyquist圖。

頻率特性為將G(jw)分為實部P和虛部Q，即G(jw)=P(ω)+jQ(w),則108Nyquist軌跡是一個半圓.圓心為,半徑為109例:試繪制的Nyquist圖。

頻率特性為將G(jω)分為實部P和虛部Q，即G(jω)=P(ω)+jQ(ω),則110Nyquist軌跡是一個半圓.圓心為,半徑為111112

若系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)的所有零點和極點均在[s]平面的左半平面,則稱為“最小相位傳遞函數(shù)”，具有此傳遞函數(shù)的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。例：判別下列兩系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)解

系統(tǒng)G1(s)為最小相位系統(tǒng)。系統(tǒng)G2(s)為非最小相位系統(tǒng)。jj(a)(b)5-4最小相位系統(tǒng)的概念113分析這三個系統(tǒng)的頻率特性。其伯德圖為：

由圖可知，三個系統(tǒng)具有相同的幅頻特性，但相頻特性不同，最小相位系統(tǒng)的相位變化范圍最小。其相位角為：-(n-m)×90o,而非最小相位系統(tǒng)存在著過大的相位滯后，這不僅影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性，也影響系統(tǒng)的快速性。

例：114

對于最小相位系統(tǒng)，幅值特性和相位特性之間具有唯一對應(yīng)關(guān)系。這意味著，如果系統(tǒng)的幅值曲線在從零到無窮大的全部頻率范圍上給定，則相角曲線被唯一確定，反之亦然；但是這個結(jié)論對于非最小相位系統(tǒng)不成立。非最小相位系統(tǒng)情況可能發(fā)生在兩種不同的條件下。一是當系統(tǒng)中包含一個或多個非最小相位環(huán)節(jié)；另一種情況可能發(fā)生在系統(tǒng)存在不穩(wěn)定的內(nèi)部小回路。一般來說，右半平面有零點時，其相位滯后更大，閉環(huán)系統(tǒng)更難穩(wěn)定。因此，在實際系統(tǒng)中，應(yīng)盡量避免出現(xiàn)非最小相位環(huán)節(jié)。對數(shù)幅頻特性的高頻漸進線的斜率都是-20(n-m)dB/Dec，相頻都趨于-(n-m)×90o1155-5閉環(huán)頻率特性與頻域性能指標對于反饋系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)頻率特性

1、閉環(huán)頻率特性2、頻域性能指標諧振峰值Mr及諧振頻率wr；截止頻率wb與頻寬；相位余量和幅值余量。116(1)諧振頻率wr及諧振峰值Mr

當w=0的幅值為M(0)=1時，M的最大值Mr稱作諧振峰值。若w=0時，M(0)不為1，則

Mr=Mmax(wr)/M(0)，在諧振峰值處的頻率wr稱為相對諧振頻率。將閉環(huán)頻率特性的幅值用M(w)表示。若取分貝值，則得：117其幅頻特性為由

得諧振頻率wr為

(0≤z≤0.707)則諧振峰值Mr為

(0≤z≤0.707)對于二階系統(tǒng),閉環(huán)頻率特性118則二階系統(tǒng)的諧振頻率及諧振峰值諧振頻率阻尼自然頻率無阻尼自然頻率系統(tǒng)產(chǎn)生共振系統(tǒng)不存在諧振頻率，即不產(chǎn)生諧振119

諧振峰值反映了系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。一般而言,

Mr值愈大,則系統(tǒng)階躍響應(yīng)的最大超調(diào)量也愈大。通常希望系統(tǒng)的諧振峰值在1.1~1.4之間,相當于二階系統(tǒng)的z為0.4＜z

＜0.7。

諧振頻率在一定程度上反映了系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的速度。wr愈大,瞬態(tài)響應(yīng)愈快。對于弱阻尼系統(tǒng),

wr與wn的值很接近。討論：，對機械系統(tǒng)，一般1〈〈1.4

120(2)截止頻率wb及頻寬

當閉環(huán)頻率響應(yīng)的幅值下降到零頻率值以下3分貝時，對應(yīng)的頻率稱為截止頻率。即M(w)衰減到0.707M(0)

時對應(yīng)的頻率。

而0b的頻率范圍，稱為系統(tǒng)的頻寬BW。頻寬反映了系統(tǒng)對噪聲的濾波特性,同時也反映了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。頻寬愈大,瞬態(tài)響應(yīng)速度愈快，但易引入噪聲干擾；反之,頻寬愈?。ㄖ挥休^低頻率的信號才易通過），瞬態(tài)響應(yīng)速度愈慢，但抑制高頻干擾能力強。

121帶寬指標決定因素（1）對輸入信號的再現(xiàn)能力大的帶寬相應(yīng)于小的上升時間，即相應(yīng)于快速特性。粗略地說，帶寬與響應(yīng)速度成反比。

（2）對高頻噪聲必要的濾波特性

為了使系統(tǒng)能夠精確地跟蹤任意輸入信號，系統(tǒng)必須具有大的帶寬。但是，從噪聲的觀點來看，帶寬不應(yīng)當太大。（門不能太大,不然的話，什么東西都進來了）因此，對帶寬的要求是矛盾的，好的設(shè)計通常需要折衷考慮。具有大帶寬的系統(tǒng)需要高性能的元件，因此，元件的成本通常隨著帶寬的增加而增大。

122一階系統(tǒng)wb與T成反比。123

與的關(guān)系2222)(nnnssswzwwF++=欠阻尼二階系統(tǒng)即，對確定的z，wb與wn成正比。124閉環(huán)頻域指標：閉環(huán)階躍響應(yīng)時域指標：125例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為求該系統(tǒng)的z、wn、wr、Mr和wb。解:閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)GB（s)為126解.

依圖，可以確定是二階欠阻尼系統(tǒng)由例:實驗測得某閉環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性如圖所示，試確定

系統(tǒng)的動態(tài)性能。解出可確定1273、由開環(huán)頻率特性求閉環(huán)特性的方法128（1）等M圓等M圓

—為常數(shù)的軌跡設(shè)

整理得—等圓方程129（2）等N圓圖

等N圓

—為常數(shù)的軌跡設(shè)

整理得—等圓方程1301311325-7系統(tǒng)辨識1、概述辨識：采用實驗的方法獲得系統(tǒng)傳遞函數(shù)。在系統(tǒng)辨識時，通常是給系統(tǒng)施加一種激勵信號，測量系統(tǒng)的輸入和輸出響應(yīng)，然后對輸入和輸出數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理并獲得系統(tǒng)的數(shù)學模型。133由最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性確定其傳遞函數(shù)的步驟：（1）由低頻段斜率確定系統(tǒng)傳函的型別：-20ldB/dec(l為傳函中包含的積分環(huán)節(jié)數(shù))（2）確定傳函增益K

0型：20lgK=L(1)

型：低頻段或其延長線交頻率軸于點0，K=0

型：低頻段或其延長線交頻率軸于點0，K=02由伯德圖估計系統(tǒng)的傳遞函數(shù)134L()L11（3）串聯(lián)環(huán)節(jié)的確定：交接頻率1處，斜率改變-20dB/dec，串斜率改變+20dB/dec，串斜率改變-40dB/dec，串斜率改變+40dB/dec，串135二階環(huán)節(jié)的阻尼比z，根據(jù)實驗曲線在轉(zhuǎn)折頻率wr處的峰值Mr(wr)與z的關(guān)系確定。(5)獲得系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)或傳遞函數(shù)。(6)根據(jù)實驗測得的相頻特性曲線校驗獲得的傳遞函數(shù)。若為最小相位系統(tǒng)，兩相頻特性應(yīng)大致相符，并且在很低和很高頻段上嚴格相符。136例:已知最小相位系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性圖-20-40L()1c0試求系統(tǒng)的