第十章+影響線及其應用

第十章影響線及其應用教學內(nèi)容：影響線的概念，靜力法和機動法繪制梁、剛架、的影響線，結(jié)點荷載作用下梁的影響線，利用影響線計算影響量，簡支梁的絕對最大彎矩，內(nèi)力包絡圖教學要求：1、了解用機動法繪制連續(xù)梁的影響線，連續(xù)梁的內(nèi)力包絡圖繪制；2、理解影響線的概念，結(jié)點荷載作用下梁的影響線繪制，簡支梁的絕對最大彎矩的概念；3、掌握靜力法和機動法作靜定梁、剛架的影響線，利用影響線求量值；確定簡支梁的最不利荷載位置，計算其絕對最大彎矩值。重點：靜力法作靜定梁的響線。難點：內(nèi)力包絡圖。§10-1影響線的概念§10-2靜力法作靜定梁的影響線§10-3結(jié)點荷載作用下梁的影響線第十章影響線及其應用§10-5機動法作靜定梁的影響線§10-6利用影響線計算影響量§10-8最不利荷載位置的確定§10-10簡支梁的絕對最大彎矩移動荷載：大小，方向不變，但作用位置可以隨時間改變的荷載。目的：解決移動荷載作用下結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計算問題。內(nèi)容：1）在移動荷載作用下結(jié)構(gòu)內(nèi)力變化規(guī)律和范圍；2）確定內(nèi)力的最大值及相應的荷載位置——最不利荷載位置。方法：在各種荷載中抽象出單位荷載（P=1）?！?0-1影響線的概念P=1P=1P=1P=1P=1P=1l0.250.50.751.0x利用平衡條件建立影響線方程:的影響線方程P1P2影響線的應用舉例：l定義：當單位荷載（P=1）在結(jié)構(gòu)上移動時，表示結(jié)構(gòu)某一指定截面中某項內(nèi)力變化規(guī)律的曲線，稱為該項內(nèi)力的影響線。（influenceline縮寫為I.L.）特點：1）影響線是個函數(shù)圖象。，y是影響量值，x代表單位活載P=1的作用位置。

2）影響線的形狀不改變，與實際的荷載的大小、方向無關，只取決于單位荷載。

3）所描述的量值——反力、內(nèi)力位置是固定的。P=1l0.250.50.751.0x

首先利用靜力平衡條件方程建立影響線方程，然后由函數(shù)作圖的方法作出影響線----靜力法?！?0-2靜力法作靜定梁的影響線步驟：

1.將單位荷載P=1放在結(jié)構(gòu)上任意位置，適當選擇坐標原點，用橫坐標x表示單位荷載的位置；

2.利用平衡方程將某量值表達為x的函數(shù)，即列該量值的影響線方程；

3.將所列的影響線方程用圖形表示出來，即得所求的影響線。P=1一、簡支梁的反力影響線：（1）反力取向上為正。（2）選擇坐標如圖：RBRA1+I.L.RB1+I.L.RA（3）反力影響線無單位。（4）I.L.R

表示某支座反力因單位力移動而受影響變化的規(guī)律。（6）作簡支梁反力影響線的規(guī)律：把某支座拆除,令該端向上發(fā)生單位線位移,此時梁的位移圖即為該支座反力影響線。（5）繪制影響線時通常規(guī)定將正的縱標繪在基線上側(cè)，負的繪在下側(cè)，并注明正負號。P=1RBRA1+I.L.RB1+I.L.RA二、簡支梁的彎矩、剪力影響線(1).當P=1在C截面左側(cè)移動,研究截面右邊(2).當P=1在C截面右側(cè)移動。研究截面左邊I.L.MCab/l+I.L.VC+a/l-b/l（2）簡支梁彎矩影響線作法：左定a,右定b,作兩相交線，其相交部分即為彎矩影響線。（P254）ab/l-1a/lb/l（4）彎矩影響線有長度單位。剪力影響線無單位。（3）簡支梁剪力影響線作法：左定+1,右定-1，作兩平行線分別交于遠端零點，再過所求量值的截面作基線的垂線，相交部分即為剪力應影響線。（P255）

0例10-1：作外伸梁的(1)I.L.MBc-I.L.MBx1c/lI.L.VB左1--例10-1：作外伸梁的(1)I.L.VB左0x例10-1：作外伸梁的(1)I.L.VB右小結(jié)：1）作伸臂梁的反力及跨中截面內(nèi)力的影響線時，可先作出無伸臂簡支梁的相應影響線，然后向伸臂部分延伸即可。2）伸臂上截面的內(nèi)力影響線，只在截面以外的伸臂部分有值，而在截面以內(nèi)部分影響線均為‘零線’。例10-2：作圖示吊車支座B的反力影響線。支座B既是簡支梁AB的右支座，又是BC的左支座當P=1在支座A以左和支座C以右移動時，支座B不受力，RB影響線為零。當P=1作用在支座B上時，RB=1當P=1在支座B左右相鄰兩跨間移動時，按直線規(guī)律變化。P=1P=1P=1相鄰兩簡支梁AB的右支座反力影響線和BC梁的左支座反力影響線的組合。例10-3：作多跨梁的I.L.ＭK分析：分清基本部分和附屬部分P=1當P=1在基本部分AC上移動時,附屬部分不受力,基本梁部分的MK影響線為零線。P=1RC當P=1在附屬部梁CD上移動時,基本梁為其支座,附屬部分CD為一簡支梁,影響線按簡支梁繪出

l/2l/2I.L.MK0l/2l/2+l/4P=1當P=1在基本部分AC上移動時,當P=1在附屬部梁CD上移動時,j111/20I.L.Vj2/31/3-+-繪制多跨靜定梁影響線的規(guī)律：1.位于附屬部分的支座反力或截面內(nèi)力的影響線：當P=1在附屬部分，其影響線與相應簡支梁或懸臂梁的影響線相同；當P=1在基本部分，該影響線豎標為零；

2.位于基本部分的支座反力或截面內(nèi)力的影響線：當P=1在基本部分，其影響線與相應簡支梁或懸臂梁的影響線相同；當P=1在附屬部分，該影響線為折線，在鉸接處為折點，在豎向支座處為零。

I.L.MK0l/2l/2+l/4111/20I.L.Vj2/31/3解：(1)建立坐標系。以C為原點，向右為正。(2)MC的影響線：P=1P=1練習：利用靜力法作截面C的彎矩、剪力影響線。豎向單位移動荷載只在BD梁上移動。I.L.MC06m-I.L.VC0+1(3)VC的影響線：思考一:哪些是內(nèi)力圖?是什么內(nèi)力圖?

哪些是影響線?是什么影響線?1、概念不同。內(nèi)力圖所反應的是荷載固定不動時，結(jié)構(gòu)上不同截面內(nèi)力值的大小影響線是指某固定截面的內(nèi)力值由于單位荷載位置變化而受影響的規(guī)律。內(nèi)力圖與影響線的區(qū)別？

課后思考二:2、縱坐標含義不同：１）影響線的縱坐標表示活載移到該處時某固定截面上的內(nèi)力量值。而內(nèi)力圖的縱坐標表示固定荷載作用下，該截面的內(nèi)力值。２）剪力影響線豎標值無單位，剪力圖豎標值為力的單位；彎矩影響線豎標值為長度單位，彎矩圖豎標值為力長度單位3

）彎矩影響線正號畫在基線上邊，彎矩圖畫在受拉一側(cè)。思考三：伸臂梁的支座反力，截面C的彎矩、剪力的影響線。與簡支梁的影響線有和異同？練習：伸臂梁RA、RB、MC、VC的影響線（1）反力影響線DABE由平衡條件求得DABE（2）剪力影響線分段考慮：P=1在C以左，取C以右P=1在C以右，取C以左ba11（3）彎矩影響線練習：伸臂梁RA、RB、MC、VC的影響線練習:作MA,RA,MK,VK影響線.解:l/2l/2l/2KP=1AMA影響線lRA影響線1x<l/2MK=0VK=0X>l/2VKMKP=1VK=1MK=-(x-l/2)VK影響線1MK影響線l/2Bx

內(nèi)力圖與影響線的區(qū)別無圖名內(nèi)力圖影響線量值MVI.L.MKI.L.VK固活固定荷載不同截面固定截面移動荷載橫坐標橫截面的位置單位活載所到之處縱坐標各截面的K截面彎矩彎矩值剪力值彎矩影響量剪力影響量量綱畫圖規(guī)定正號畫在基線下面正號畫在基線上面§10-3結(jié)點荷載作用下梁的影響線P=1l=4dAB主梁只承受結(jié)點荷載:（1）RA和RB與以前一樣；C（2）I.L.MC

與以前一樣；C點的縱標：KD（3）I.L.MK，先假設為非結(jié)點荷載，K點的縱標值由比例可得：在C、D兩點間連一直線，即得MK影響線。I.LMDP=1l=4dABCKDI.LVK（4）I.LVK小結(jié)

1、先按直接荷載作用畫出內(nèi)力影響線；

2、投影各結(jié)點與影響線相交，各交點間連以直線。I.LMK11１、優(yōu)點：

1）不用計算豎標就能畫出影響線的輪廓2）用靜力法所做出的影響線形狀也可用機動法快速校核。２、理論依據(jù)：以虛位移原理為理論基礎一、靜定梁

§10-5機動法作靜定梁的影響線3、機動法步驟（P267）

1）一去一加：約束反力影響量——去支承鏈桿，并代以正向的約束力Z。剪力影響量——去掉限制發(fā)生錯動的約束，將剛結(jié)點改為滑動端，并代以一對正向的約束力Z。彎矩影響量——去掉限制兩部分相對轉(zhuǎn)動的約束，在連續(xù)桿上加鉸，并代以正向的約束力矩Z。去掉與量值相應的約束,

帶以正向的約束力2）使體系沿Z的正方向發(fā)生相應虛位移，作出荷載作用的虛位移圖（圖），該虛位移圖即為影響線輪廓；

3）再令變形量為δz=1

，可進一步確定影響線的豎標的數(shù)值；

4）基線以上的影響線豎標為正號，基線以下的影響線取負號。4、約束反力影響線機動法繪制約束反力影響線原理令:δZ=1

P=1剛體體系的虛功原理P=15、彎矩影響線令機動法繪制彎矩影響線原理P=1α+

βαβ6、剪力影響線P=1C1CC2VCVC機動法繪制剪力影響線原理例：利用機動法作下圖所示梁上B截面的彎矩、B左右剪力影響線。VB左VB左VB右VB右例：利用機動法作下圖所示梁上B截面的彎矩、B左右剪力影響線。靜定結(jié)構(gòu)在拆除相應的‘一個約束’后，具有一個自由度，結(jié)構(gòu)變?yōu)闄C構(gòu)；拆除相應約束后，仍未靜定的部分無虛位移。練習：習題10-1例：利用機動法作下圖所示梁上Ma、Mb、Vb

、Mc

、Vc影響線。利用機動法作下圖所示梁上Ma影響線003m1I.L.Mb

輪廓3.2m2m1m0.6m004m16Vb

I.L.輪廓000.20.80.150.250.12516m4m其余數(shù)據(jù)由三角形相似求解I.L.MC影輪廓11.64.8002m8mVd.I.L.100總結(jié)：1、繪制影響線必須以單位移動荷載移動區(qū)域為基線；2、機動法繪制影響線的步驟一去一加虛位移圖單位變形量3、機動法作影響線的實質(zhì)是什么？

將平衡問題化為幾何問題來解決。4、結(jié)論“虛位移圖即影響線”是否恒正確？只適用于垂直桿軸單位移動荷載情況練習：利用機動法求解習題10-4、18？abC計算時，應考慮影響線豎標的正負一、集中荷載的影響

先畫出量值的影響線，某豎標表示單位活載移到該處時，量值的大小和方向。所以Pi的作用下，量值擴大到。根據(jù)疊加原理，可以得到梁在

P1、P2、…Pn共同作用下某量的數(shù)值為：§10-6利用影響線計算影響量

—影響線面積代數(shù)和AB二、均布荷載的影響：將均布荷載分解為無窮多個微小的集中荷載若有若干段均布荷載作用時，應逐段計算然后求和：例：利用影響線，求圖示簡支梁在已知荷載作用下截面C的剪力VC值。CDAB解：1）作VC影響線，并算出各有關豎標值；2）根據(jù)疊加原理計算剪力值思考：如何求截面C的彎矩MC值？練習：利用影響線求k截面彎矩、剪力。kl/2l/2l/2l/2解：Vk影響線1/21/21/21/2Mk影響線l/4l/4l/4

如果荷載移到某一個位置，使某一指定內(nèi)力達到最大值（＋、－），則此荷載所在位置稱為最不利位置。利用影響線來確定荷載的最不利位置，對比較簡單的情況可以直觀地判斷最不利位置。一、一個集中荷載對于單個移動的荷載，最不利位置是該荷載作用在影響線最大縱坐標處ymax，此時，§10-8最不利荷載位置的確定二、可動均布荷載：可以任意繼續(xù)布置的均布荷載

當均布荷載滿布影響線正號面積時，

當均布荷載滿布影響線負號面積時，

三、行列荷載1.間距不變的多個（集中）荷載：將荷載密集處的集中力放在影響線最大或最小的位置，再試算，使最大者為最不利荷載位置⑤①P1P2Z影響線Cy2y1P1P2xZO①②②③P1P2y2y1③④P1P2④P1P2⑤一組集中力移動荷載作用下的最不利荷載位置，一定發(fā)生在某一個集中力（臨界荷載）到達影響線頂點時才有可能，至于到底哪個是臨界荷載，還需要去試算。2.對于三角形影響線，行列載荷作用下的臨界載荷判定①將較密集處的荷載中，可能產(chǎn)生Zmax的若干荷載作為臨界荷載，逐個作用在三角形影響線的頂點，驗算是否滿足條件：②若滿足上述不等式，則Pcr

為臨界荷載。③臨界荷載Pcr作用在三角形影響線的頂點時，即豎標最大處,為荷載最不利位置，該截面對應的內(nèi)力獲得的量值最大。實際計算時，一般并不需驗證所有荷載是否為臨界力，只考慮那些數(shù)值較大、排列密集的荷載。例：圖示簡支梁上，作用著可以任意布置的均布活動載荷，荷載集度求：C截面的最大正剪力值和最大負剪力值。解：1）作VC的影響線，如圖（b）所示。2）為了求VC的最大值，荷載應布滿CB段，如圖（d）所示。3）為了求VC的最小值，荷載應布滿AC段，如圖（c）所示。(c)(b)VC

I.L.-+3/74/7(d)4B3C例：兩臺吊車的輪壓及輪距如圖（a）。求:吊車梁AB上C截面的最大剪力、最大彎矩值。(2)確定最不利位置。把荷載密集處的荷載作用在C截面上。最不利位置有兩種情況，如圖（b）、（b’）。解：(1)分別作出的VC、MC影響線，如圖（c）、（d）。方法一：試算法+-+（b）圖荷載位置：(b’)圖荷載位置：（3）故（b）圖所示荷載位置為最不利位置。解：

1）分別作出VC、MC影響線，如圖（c）、（d）。

(b)圖中：

(b‘)圖中：

故，（b）圖所示荷載位置為最不利位置。＜＞＞＞方法二：判定法2）確定最不利位置３）求VＣmax

4)求ＭＣmax

練習：

圖示簡支梁，在圖示吊車荷載作用下，求K截面的最大彎矩。已知：P1＝P2＝P3＝P4＝152kNKAB解：1）作MK的影響線2）確定MK的最不利荷載位置有如下兩種情況：分別計算與荷載對應的MK值，并加以比較確定由比較知，第一種情況所示位置為MK的最不利位置。換算荷載是指集度為K的均布荷載，當它布滿影響線全長時所產(chǎn)生的某一量值，與所給行列荷載產(chǎn)生的該量值的最大值ZMAX相等，即§10-9換算荷載(路、鐵)——量值Z整個影響線的面積——行列荷載的換算荷載表10-1和表10-2為我國現(xiàn)行鐵路“中-活載”和公路“汽車-10級”標準荷載的換算荷載K值，使用時應注意：1）僅適用于三角形影響線；2）加載長度l系指同符號影響線長度；3）a是影響線頂點至邊端的最小距離與加載長度的比值。----a為合力與的距離

以左的荷載對K點的力矩之和一般地,使梁的跨中截面產(chǎn)生的臨界荷載,也就是產(chǎn)生絕對最大彎矩的荷載。一、絕對最大彎矩的計算公式§10-11簡支梁的絕對最大彎矩當行列荷載移至與梁上合力對稱于梁中央時，下面截面的彎矩達到最大值。實際做法：1、求出使跨中截面彎矩發(fā)生最大值的臨界荷載Pcr；2、計算梁上合力R及與臨界力距離a；3、移動荷載組，使R與Pcr位于梁中點兩側(cè)a/2處。若沒有荷載移出或移入梁，由上式計算絕對最大彎矩

；若有荷載移出或移入梁，從第2步重新計算。一、絕對最大彎矩的計算公式§10-11簡支梁的絕對最大彎矩二、推導：以左的荷載對K點的力矩之和令:當時，即R與關于跨中對稱PK所在截面的彎矩最大例：圖所示為吊車梁。移動荷載為兩臺吊車，其四個輪壓為試求吊車梁的絕對最大彎矩。解：（1）先設在合力R之右。合力為：（2）研究吊車輪壓,對P2作用點取矩，求得R與PK的距離。P3P2P1Ra0.54m0.54m（3）求絕對最大彎矩把P2和R對稱地放在梁跨中點C的兩邊如圖（b）,這時作用在梁上的荷載沒有變化，仍為和同樣，可以計算出作用點截面上的最大彎矩值也是730

1、包絡圖：將結(jié)構(gòu)上截面的同類內(nèi)力的最大值按一定比例尺用豎標表示出來，再用光滑曲線連接各點，所得的曲線圖形稱為內(nèi)力的包絡圖。

2、總內(nèi)力包絡圖：將固定荷載和移動荷載的影響分別加以考慮，然后將兩者的影響疊加而成?！?0-10

簡支梁的內(nèi)力包絡圖

一、概念例：畫中單個活動集中力作用在簡支梁時彎矩包絡圖、剪力包絡圖。集中力處彎矩最大值P=100kN87.587.5150187.5200187.5150M包絡圖(kN·m)12365807剪力影響線有兩支P=100kN87.51007562.55037.52512.512.587.51002537.55062.575V包絡圖(kN)12365807一、單個活動集中力作用在簡支梁時彎矩包絡圖、剪力包絡圖P=100kN12365807將梁分為六等份，按前面的方法求出各等分點處的最大彎矩值（由于對稱只需要算一半），將各分點截面的最大彎矩值用光滑曲線連接各點，便得一組移動荷載作用下的彎矩包絡圖。例：畫如圖示承受兩臺吊車作用的6m跨吊車梁彎矩包絡圖、剪力包絡圖。（1）先作彎矩包絡圖。P1=P2=P3=P4=324.5kN4.8m1.45m4.8m6×1m=6m(a)1234560P1P2P4P3彎矩包絡圖控制面462.4708.5738.2708.5462.4738.2752.5752.5708.5708.5462.4462.4462.4570.5054.2354.4137.8246.02.1654.2462.4570.5354.4137.80(kN?m)(b)彎矩包絡圖

(kN?m)(c)剪力包絡圖

(kN)(d)或：P3=PKP1=P2=324.5kN4.8m1.45m4.8m6×1m=6m(a)1234560P1P2P4P3P3=P4=324.5kNP2=PK462.3剪力包絡圖控制面462.4708.5738.2708.5462.4738.2752.5752.5708.5708.5462.4462.4462.4570.6054.1354.3137.8246.1246.154.1570.6354.4137.80(kN?m)(b)彎矩包絡圖

(kN?m)(