2021-2022學(xué)年浙江省溫州市永嘉縣第十二中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年浙江省溫州市永嘉縣第十二中學(xué)高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知a，b為實數(shù)，則“a＞b”是“l(fā)na＞lnb”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】根據(jù)a，b的范圍結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定充分條件，還是必要條件即可．【解答】解：當(dāng)a＜0或b＜0時，不能得到Ina＞Inb，反之由Ina＞Inb即：a＞b＞0可得a＞b成立，所以“a＞b”是“Ina＞Inb”的必要不充分條件，故選：B．2.設(shè)集合A={（x，y）|x2+y2≤|x|+|y|，x，y∈R}，則集合A所表示圖形的面積為（）A．1+π B．2 C．2+π D．π參考答案：C【考點】圓方程的綜合應(yīng)用；Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算．【專題】綜合題；數(shù)形結(jié)合；分類討論；直線與圓．【分析】根據(jù)不等式，分別討論x，y的取值，轉(zhuǎn)化為二元二次不等式組，結(jié)合圓的性質(zhì)進行求解即可．【解答】解：若x≥0，y≥0，則不等式等價為x2+y2≤x+y，即（x﹣）x2+（y﹣）2≤，若x≥0，y＜0，則不等式等價為x2+y2≤x﹣y，即（x﹣）x2+（y+）2≤，若x≤0，y≤0，則不等式等價為x2+y2≤﹣x﹣y，即（x+）x2+（y+）2≤，若x＜0，y≥0，則不等式等價為x2+y2≤﹣x+y，即（x+）x2+（y﹣）2≤，則對應(yīng)的區(qū)域如圖：在第一象限內(nèi)圓心坐標(biāo)為C（，），半徑=，則三角形OAC的面積S==，圓的面積為×=π，則一個弓弧的面積S=π﹣，則在第一象限的面積S=π×（）2﹣2×（π﹣）=﹣+=+，則整個區(qū)域的面積S=4×（+）=2+π，故選：C【點評】本題主要考查區(qū)域面積的計算，根據(jù)條件利用分類討論的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)化簡條件，利用圓的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，比較復(fù)雜．3.與表示同一函數(shù)的是（

）A.，

B.，C.，

D.，參考答案：D4.使不等式－2sinx≥0成立的x的取值集合是(

)A.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}B.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}C.{x|2kπ－≤x≤2kπ+,k∈Z}D.{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z}參考答案：C【分析】首先對三角不等式進行恒等變換，變換成sinx，進一步利用單位圓求解．【詳解】2sinx≥0解得：sinx進一步利用單位圓解得：（k∈Z）故選：C．【點睛】本題考查的知識要點：利用單位元解三角不等式，特殊角的三角函數(shù)值．5.下列函數(shù)中，在區(qū)間上不是增函數(shù)的是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B6.等差數(shù)列共有項，其中奇數(shù)項之和為，偶數(shù)項之和為，則其中間項為（

）.

A.

28

B.29

C.30

D.31參考答案：B7.（4分）設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且當(dāng)x∈時，﹣1，則函數(shù)y=f（x）﹣log2（x+2）的零點個數(shù)為（） A． 7 B． 6 C． 5 D． 4參考答案：D考點： 函數(shù)零點的判定定理．專題： 計算題；作圖題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： 函數(shù)y=f（x）﹣log2（x+2）的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log2（x+2）的圖象的交點的個數(shù)，作圖求解．解答： 由題意作函數(shù)f（x）與函數(shù)y=log2（x+2）的圖象如下，兩個函數(shù)有4個交點，故函數(shù)y=f（x）﹣log2（x+2）的零點個數(shù)為4；故選D．點評： 本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8.要得到函數(shù)y=sin（2x﹣）的圖象，只需將曲線y=sin2x上所有的點（）A．向左平移單位長度 B．向右平移單位長度C．向左平移單位長度 D．向右平移單位長度參考答案：B【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律即可求得答案．【解答】解：∵y=sin2xy=sin（2（x﹣））=sin（2x﹣）．故選B．【點評】本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，掌握圖象變換規(guī)律是關(guān)鍵，屬于中檔題．9.如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一個元素，則a的值是（

）A．0

B．0或1

C．1

D．不能確定參考答案：B10.已知f(x)=ax,g(x)=logax(a>0且a≠1)，若f(3)g(3)<0,則f(x)與g(x)在同一坐標(biāo)系里的圖像是（

）參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知數(shù)列的前項和,且的最大值為8,則___.參考答案：略12.以下程序是，任意輸入3個數(shù)，輸出其中最大的數(shù)。請你完整該程序。參考答案：13.寫出函數(shù)的，單調(diào)增區(qū)間______________。參考答案：14.已知f（x）=，則f[f（－2）]＝________________.參考答案：略15.函數(shù)y＝的定義域是____不填____．參考答案：16.已知f(x)＝x2－1(x＜0)，則f－1(3)＝_______.參考答案：-217.已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|－1<x<2}，則A∩B＝____________.參考答案：{x|1<x<2}三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（14分）已知連續(xù)不斷函數(shù)f（x）=cosx﹣x，x∈（0，），g（x）=sinx+x﹣，x∈（0，），h（x）=xsinx+x﹣，x∈（0，）（1）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，）上有且只有一個零點；（2）現(xiàn)已知函數(shù)g（x），h（x）在（0，）上單調(diào)遞增，且都只有一個零點（不必證明），記三個函數(shù)f（x），g（x），h（x）的零點分別為x1，x2，x3．求證：①x1+x2=；②判斷x2與x3的大小，并證明你的結(jié)論．參考答案：考點： 函數(shù)零點的判定定理；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）由零點存在性定理知f（x）在區(qū)間（0，）上有零點，運用單調(diào)性定義證明；f（x）在（0，）上是單調(diào)遞減函數(shù)．（2）將其變形為：cos（﹣x2）﹣（﹣x2）=0，即f（﹣x2）=0，在（0，）上有唯一零點，從而有﹣x2=x1，x1+x2=，Ⅰ）因為x2是g（x）的零點，所以有sinx2+x2=0，Ⅱ）判斷x2＜x3，運用零點存在性定理和定義判斷證明即可．解答： （1）先證明f（x）在區(qū)間（0，）上有零點：由于f（0）=1＞0，f（）=﹣，由零點存在性定理知f（x）在區(qū)間（0，）上有零點，再證明f（x）在（0，）上是單調(diào)遞減函數(shù)：設(shè)0＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=（cosxx﹣x1）﹣（cosx2﹣x2）=（cosx1﹣cosx2）﹣（x1﹣x2）由于y=cosx在（0，）上遞減，所以cosx1﹣cosx2＞0又﹣（x1﹣x2）＞0從而f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，）上是單調(diào)遞減函數(shù)．故函數(shù)f（x）在（0，）有且只有一個零點，（2）Ⅰ）因為x2是g（x）的零點，所以有sinx2+x2=0，將其變形為：cos（﹣x2）﹣（﹣x2）=0，即f（﹣x2）=0，從而有f（﹣x2）=f（x1）=0，又因為﹣x2，x1∈（0，），且由（1）的結(jié)論f（x）在（0，）上有唯一零點，從而有﹣x2=x1，x1+x2=，Ⅱ）判斷x2＜x3，證明如下：由于h（0）=＜0，h（1）=sin1=1﹣＞sin=+1，由零點存在性定理和已知得0＜x3＜1，從而有

0=x3sinx3+x3＜sinx3+x3=g（x3），g（x2）=0所以有g(shù)（x2）＜g（x3），又由已知g（x）在（0，）上單調(diào)遞增，所以x2＜x3．點評： 本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì)，零點問題，分類轉(zhuǎn)化，不等式問題，綜合性較強，難度較大，屬于難題．19.設(shè)數(shù)列的前項和為，對于任意的正整數(shù)都有.

（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和；

（3)若對一切正整數(shù)n都成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：略20.已知中．（Ⅰ）當(dāng)時，解不等式；（Ⅱ）已知時，恒有，求實數(shù)a的取值集合．參考答案：解：（1）當(dāng)時，不等式即為，等價于，由數(shù)軸標(biāo)根法知不等式的解集為．（2）法一：由題，，于是只能，而時，，當(dāng)時，，，恒有，故實數(shù)． 法二：當(dāng)時，恒成立，即恒成立，不妨設(shè)，，則問題轉(zhuǎn)化為時，恒成立，即當(dāng)時，恒有或，不難知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且函數(shù)與的圖象相交于點，結(jié)合圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)時，或恒成立，故實數(shù)． 21.（12分）已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求證：AD⊥面SBC．參考答案：考點： 直線與平面垂直的判定．專題： 證明題．分析： 要證線面垂直，關(guān)鍵要找到兩條相交直線與之都垂直，先由線面垂直得線線垂直，然后利用線面垂直的判定得線面垂直繼而得到線線垂直AD⊥BC，問題從而得證．解答： 證明：∵∠ACB=90°∴BC⊥AC（1分）又SA⊥面ABC∴SA⊥BC（4分）∴BC⊥面SAC（7分）∴BC⊥AD（10分）又SC⊥AD，SC∩BC=C∴AD⊥面SBC（12分）點評： 本題考查了線面垂直的判定和線面垂直的定義的應(yīng)用，考查了學(xué)生靈活進行垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，是個基礎(chǔ)題．22.已