2021-2022學(xué)年福建省龍巖市第十中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析

2021-2022學(xué)年福建省龍巖市第十中學(xué)高三數(shù)學(xué)文模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從8名女生4名男生中，選出6名學(xué)生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為

參考答案：C略2.已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=x2﹣2（a+2）x+a2，g（x）=﹣x2+2（a﹣2）x﹣a2+8．設(shè)H1（x）=max{f（x），g（x）}，H2（x）=min{f（x），g（x）}（max（p，q）表示p，q中的較大值，min（p，q）表示p，q中的較小值），記H1（x）的最小值為A，H2（x）的最大值為B，則A﹣B=(

) A．a(chǎn)2﹣2a﹣16 B．a(chǎn)2+2a﹣16 C．﹣16 D．16參考答案：C考點(diǎn)：函數(shù)最值的應(yīng)用．專題：壓軸題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：本選擇題宜采用特殊值法．取a=﹣2，則f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．畫出它們的圖象，如圖所示．從而得出H1（x）的最小值為兩圖象右邊交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，H2（x）的最大值為兩圖象左邊交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，再將兩函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的方程組成方程組，求解即得．解答： 解：取a=﹣2，則f（x）=x2+4，g（x）=﹣x2﹣8x+4．畫出它們的圖象，如圖所示．則H1（x）的最小值為兩圖象右邊交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，H2（x）的最大值為兩圖象左邊交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由解得或，∴A=4，B=20，A﹣B=﹣16．故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)最值的應(yīng)用等，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．3.如圖是一個(gè)組合幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是

.A

B C

D參考答案：A略4.設(shè)函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間內(nèi)均有零點(diǎn)B．在區(qū)間內(nèi)均無零點(diǎn)C．在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)D．在區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)，在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)參考答案：D略5.已知變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=3x﹣y的最大值為（）A．2 B．11 C．16 D．18參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（8，8），化目標(biāo)函數(shù)z=3x﹣y為y=3x﹣z，由圖可知，當(dāng)直線y=3x﹣z過點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最大值為3×8﹣8=16．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．6.甲袋中裝有3個(gè)白球和5個(gè)黑球，乙袋中裝有4個(gè)白球和6個(gè)黑球，現(xiàn)從甲袋中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙袋中，充分混合后，再從乙袋中隨機(jī)取出一個(gè)球放回甲袋中，則甲袋中白球沒有減少的概率為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】白球沒有減少的情況有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是，再把這2個(gè)概率相加，即得所求．【解答】解：白球沒有減少的情況有：①抓出黑球，抓入任意球，概率是：．抓出白球，抓入白球，概率是=，故所求事件的概率為=，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型及其概率計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7.若命題，則對(duì)命題p的否定是(

)A．?x∈[﹣3，3]，x2+2x+1＞0B．?x∈（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），x2+2x+1＞0C．D．參考答案：A【考點(diǎn)】命題的否定．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得到結(jié)論．解：命題為特稱命題，則命題的否定是全稱命題，故命題的否定為：?x∈[﹣3，3]，x2+2x+1＞0，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查含有量詞的命題的否定，比較基礎(chǔ)．8.已知、為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，，則（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：C

雙曲線的方程為，所以，因?yàn)閨PF1|=|2PF2|，所以點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則有|PF1|-|PF2|=2a=,所以解得|PF2|=，|PF1|=，所以根據(jù)余弦定理得,選C.9.函數(shù)在上的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，且最小值。10.已知集合，則等于A、

B、

C、

D、參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在極坐標(biāo)系中，圓的直角坐標(biāo)方程為______．參考答案：

12.等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_______.參考答案：10由得，即（舍去）或又，所以解得?！敬鸢浮俊窘馕觥?3..命題1）若是偶函數(shù)，其定義域是，則在區(qū)間是減函數(shù)。2）如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和則此數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件是3）曲線過點(diǎn)（1,3）處的切線方程為：。4）已知集合只有一個(gè)子集。則以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是__________參考答案：①②14.若對(duì)任意，，（、）有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，稱為關(guān)于、的二元函數(shù).現(xiàn)定義滿足下列性質(zhì)的二元函數(shù)為關(guān)于實(shí)數(shù)、的廣義“距離”:（1）非負(fù)性:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2）對(duì)稱性:；（3）三角形不等式:對(duì)任意的實(shí)數(shù)z均成立.今給出四個(gè)二元函數(shù):①；②③；④.則能夠成為關(guān)于的、的廣義“距離”的函數(shù)的所有序號(hào)是

.參考答案：①15.某四棱錐的三視圖如圖所示，則此四棱錐的表面積是

參考答案：

16.觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此規(guī)律，第n個(gè)等式為．參考答案：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【考點(diǎn)】歸納推理．【專題】計(jì)算題．【分析】觀察所給的等式，等號(hào)右邊是12，32，52，72…第n個(gè)應(yīng)該是（2n﹣1）2，左邊的式子的項(xiàng)數(shù)與右邊的底數(shù)一致，每一行都是從這一個(gè)行數(shù)的數(shù)字開始相加的，寫出結(jié)果．【解答】解：觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等號(hào)右邊是12，32，52，72…第n個(gè)應(yīng)該是（2n﹣1）2左邊的式子的項(xiàng)數(shù)與右邊的底數(shù)一致，每一行都是從這一個(gè)行數(shù)的數(shù)字開始相加的，照此規(guī)律，第n個(gè)等式為n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案為：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【點(diǎn)評(píng)】本題考查歸納推理，考查對(duì)于所給的式子的理解，主要看清楚式子中的項(xiàng)與項(xiàng)的數(shù)目與式子的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，本題是一個(gè)易錯(cuò)題．17.已知三棱錐P﹣ABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在某球面上，PC為該球的直徑，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，三棱錐P﹣ABC的體積為，則該三棱錐的外接球的表面積．參考答案：【考點(diǎn)】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)題意作出圖形，欲求球O的表面積，只須求球的半徑r．利用截面圓的性質(zhì)即可求出OO1，進(jìn)而求出底面ABC上的高PD，即可計(jì)算出三棱錐的體積，從而建立關(guān)于r的方程，即可求出r，從而解決問題．【解答】解：根據(jù)題意作出圖形設(shè)球心為O，球的半徑r．過ABC三點(diǎn)的小圓的圓心為O1，則OO1⊥平面ABC，延長(zhǎng)CO1交球于點(diǎn)D，則PD⊥平面ABC．∵CO1=，∴OO1=，∴高PD=2OO1=2，∵△ABC是邊長(zhǎng)為4正三角形，∴S△ABC==4∴V三棱錐P﹣ABC=×4×2=，∴r2=．則球O的表面積為4πr2=．故答案為．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知點(diǎn)P(x,y)是圓上的動(dòng)點(diǎn),(1)求2x+y的取值范圍;(2)若恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：解:(1)設(shè)圓的參數(shù)方程為

為參數(shù)),2x+y=2cossinsin其中tan.∴.（6分）(2)x+y+a=cossin

∴cossinsin.∴.（12分）19.（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）寫出函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的和為，求的解析式；（Ⅲ）將滿足（Ⅱ）的函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，再向下平移，得到函數(shù)，求圖像與軸的正半軸、直線所圍成圖形的面積。參考答案：解（Ⅰ），

（2分）

∴.

由，得.

故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.

（6分）（2）.

當(dāng)時(shí)，原函數(shù)的最大值與最小值的和，.

（8分）（3）由題意知

（10分）

=1

（12分）

20.(本小題滿分13分)已知拋物線的頂點(diǎn)是橢圓的中心，焦點(diǎn)與該橢圓的右焦點(diǎn)重合.（Ⅰ）求拋物線的方程;（Ⅱ）已知?jiǎng)又本€過點(diǎn),交拋物線于、兩點(diǎn).若直線的斜率為1,求的長(zhǎng);是否存在垂直于軸的直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，說明理由.參考答案：解:（Ⅰ）由題意,可設(shè)拋物線方程為.

…………1分由,得.拋物線的焦點(diǎn)為,.拋物線D的方程為.

…………3分（Ⅱ）設(shè),.直線的方程為：,

…………4分聯(lián)立,整理得:

…………5分=.…………7分

(ⅱ)設(shè)存在直線滿足題意,則圓心,過作直線的垂線,垂足為,設(shè)直線與圓的一個(gè)交點(diǎn)為.可得:

…………9分即====

…………11分當(dāng)時(shí),,此時(shí)直線被以為直徑的圓所截得的弦長(zhǎng)恒為定值.

…………12分因此存在直線滿足題意

…………13分21.如圖，三棱錐P—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點(diǎn)，且CD⊥平面PAB．

（1）求證：AB⊥平面PCB；

（2）求異面直線AP與BC所成角的大小；

參考答案：解法一：（1）∵PC⊥平面ABC，AB平面ABC，∴PC⊥AB.

∵CD⊥平面PAB，AB平面PAB，∴OC⊥AB.

又PCCD=C，∴AB平面PCB.

（2）過點(diǎn)A作AF//BC，且AF=BC，連接PF，CF.則∠PAF為異面直線PA與BC所成的角.

由（1）可得AB⊥BC,∴CF⊥AF.由三垂線定理，得PF⊥AF。則AF=CF=在Rt△PFA中，

∴異面直線PA與BC所成的角為.

解法二：（1）同解法一.（2）由（1）AB⊥平面PCB，∵PC=AC=2，又∵AB=BC，可求得BC=以B為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系.則A（0，，0），B（0，0，0），C（，0，0），P（，0，2）.

則∴異面直線AP與BC所成的角為

略22.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4=4S2，a2n=2an