《機(jī)械控制工程基礎(chǔ)》-2物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)

控制工程基礎(chǔ)2.物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)2.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.2傳遞函數(shù)2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.4系統(tǒng)的方框圖及其化簡*2.5物理系統(tǒng)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)控制工程基礎(chǔ)2.物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)

基本要求

1.了解數(shù)學(xué)模型的基本概念。能夠運(yùn)用動(dòng)力學(xué)、電學(xué)及相關(guān)專業(yè)知識(shí)，列寫機(jī)械系統(tǒng)、電網(wǎng)絡(luò)的微分方程。

2.掌握傳遞函數(shù)的概念、特點(diǎn)，會(huì)求傳遞函數(shù)的零點(diǎn)、極點(diǎn)及放大系數(shù)。3.能夠用分析法求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。4.掌握各個(gè)典型環(huán)節(jié)的特點(diǎn)，傳遞函數(shù)的基本形式及相關(guān)參數(shù)的物理意義?？刂乒こ袒A(chǔ)2.物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)

基本要求

5.了解傳遞函數(shù)框圖的組成及意義；能夠根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，繪制系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖，并實(shí)現(xiàn)簡化，從而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。6.掌握閉環(huán)系統(tǒng)中向前通道傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的定義及求法。掌握干擾作用下，系統(tǒng)的輸出及傳遞函數(shù)的求法和特點(diǎn)。7.了解相似原理的概念。控制工程基礎(chǔ)2.物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及傳遞函數(shù)本章重點(diǎn)1.系統(tǒng)微分方程的列寫。2.傳遞函數(shù)的概念，特點(diǎn)及求法；典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。3.系統(tǒng)的方框圖及其化簡。本章難點(diǎn)1.系統(tǒng)微分方程的列寫。2.系統(tǒng)的方框圖及其化簡。控制工程基礎(chǔ)2.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1.1數(shù)學(xué)模型微分方程是基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)的基礎(chǔ).

數(shù)學(xué)模型就是描述系統(tǒng)的輸出、輸入與系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)與參數(shù)之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式，或圖形表達(dá)式或數(shù)字表達(dá)式。描述系統(tǒng)特性，揭示變量間的關(guān)系?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型按系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性分為：靜態(tài)數(shù)學(xué)模型和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。（靜態(tài)模型是t→∞時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型。）建立數(shù)學(xué)模型的意義(1)可定性地了解系統(tǒng)的工作原理及其特性;(2)更能定量地描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能;(3)揭示系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)、參數(shù)與動(dòng)態(tài)性能之間的關(guān)系?？刂乒こ袒A(chǔ)2.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1.2建立數(shù)學(xué)模型的方法兩種方法是相輔相成的。控制工程基礎(chǔ)2.1系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1.3非線性系統(tǒng)的線性化（1）線性系統(tǒng)如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性的，這種系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)兩個(gè)重要性質(zhì)。齊次性(均勻性)

如果系統(tǒng)在輸入x(t)作用下的輸出為Y(t)，并記為：x(t)→y(t)

則

kx(t)→ky(t)

式中k為常數(shù)，稱為齊次性?？刂乒こ袒A(chǔ)

線性系統(tǒng)兩個(gè)重要性質(zhì)疊加性若系統(tǒng)在輸入x1(t)作用下的輸出為y1(t),而在另一個(gè)輸入x2(t)作用下的輸出為y2(t)，并記為

x1(t)→y1(t)x2(t)→y2(t)

則以下關(guān)系

x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)稱為疊加性或疊加原理?？刂乒こ袒A(chǔ)2.1.3非線性系統(tǒng)的線性化（2）非線性系統(tǒng)如果系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性的，這種系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。工程上常見的非線性特性如下：飽和非線性死區(qū)非線性間隙非線性摩擦非線性……控制工程基礎(chǔ)2.1.3非線性系統(tǒng)的線性化（3）舉例下列微分方程描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)：下列微分方程描述的系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)：控制工程基礎(chǔ)2.1.3非線性系統(tǒng)的線性化（4）系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程的建立

電氣系統(tǒng)

電阻、電感和電容器是電路中的三個(gè)基本元件。通常利用基爾霍夫定律來建立電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?；鶢柣舴螂娏鞫桑夯鶢柣舴螂妷憾桑? 歐姆定律：

電感定律：

電容定律：

(Km為轉(zhuǎn)矩常數(shù))(ed為感應(yīng)反電勢(shì),Kd為反電勢(shì)常數(shù))(ia為電樞電流)控制工程基礎(chǔ)2.1.3非線性系統(tǒng)的線性化（5）非線性系統(tǒng)的線性化方法具有本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng)：

忽略非線性因素或用非線性理論去處理。非本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng)

切線法，或稱微小偏差法處理?？刂乒こ袒A(chǔ)2.1.3非線性系統(tǒng)的線性化（5）非線性系統(tǒng)的線性化方法控制工程基礎(chǔ)2.2傳遞函數(shù)2.2.1傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：當(dāng)全部初始條件為零時(shí)，輸出量y(t)的拉氏變換Y(s)與輸入量x(t)的拉氏變換X(s)之比叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。表示為：

三要素：線性定常系統(tǒng)零初始條件輸出與輸入的拉氏變換之比

控制工程基礎(chǔ)零初始條件：輸入及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時(shí)刻均為0；輸出及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時(shí)刻均為0。形式上記為：控制工程基礎(chǔ)2.2.2傳遞函數(shù)的求法（1）解析法（根據(jù)定義求?。┰O(shè)線性定常系統(tǒng)輸入為x(t)，輸出為y(t)，描述系統(tǒng)的微分方程的一般形式為:

式中，n≥m;an，bm均為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的定常數(shù)。（n，m=0、1、2、3…）控制工程基礎(chǔ)2.2.2傳遞函數(shù)的求法如果變量及其各階導(dǎo)數(shù)初值為零（初始條件為零），取等式兩邊拉氏變換后得

根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，即得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為傳遞函數(shù)列寫大致步驟：方法一：列寫系統(tǒng)的微分方程消去中間變量在零初始條件下取拉氏變換求輸出與輸入拉氏變換之比方法二：列寫系統(tǒng)中各元件的微分方程在零初始條件下求拉氏變換整理拉氏變換后的方程組，消去中間變量整理成傳遞函數(shù)的形式控制工程基礎(chǔ)2.2.2傳遞函數(shù)的求法（2）實(shí)驗(yàn)法（3）例試寫出具有下述微分方程式的傳遞函數(shù)。

1）2）解：取拉氏變換并求商得1）2）控制工程基礎(chǔ)2.2.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)1）傳遞函數(shù)是通過輸入和輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)本身特性的，而系統(tǒng)本身特性與輸入量無關(guān)；2）傳遞函數(shù)不表明所描述系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，不同的物理系統(tǒng)，只要它們動(dòng)態(tài)特性相同，就可用同一傳遞函數(shù)來描述。這樣的系統(tǒng)稱為相似系統(tǒng)。

控制工程基礎(chǔ)2.2.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)3）傳遞函數(shù)可以是有量綱的，也可以是無量綱的；4）傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式。對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)有m≤n。傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式中s的最高冪數(shù)代表了系統(tǒng)的階數(shù)，如s的最高冪數(shù)為n則該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)?？刂乒こ袒A(chǔ)2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)環(huán)節(jié)與典型環(huán)節(jié)熟悉掌握典型環(huán)節(jié)有助于對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的分析和研究2.3.1比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)的微分方程式為則傳遞函數(shù)為式中k—比例系數(shù)控制工程基礎(chǔ)常見的比例環(huán)節(jié)

3.微分環(huán)節(jié)

微分方程：傳遞函數(shù)：式中T為微分時(shí)間常數(shù)。特點(diǎn)：（1）一般不能單獨(dú)存在（2）反映輸入的變化趨勢(shì)（3）增強(qiáng)系統(tǒng)的阻尼（4）強(qiáng)化噪聲

4.積分環(huán)節(jié)微分方程：傳遞函數(shù)：式中T為積分時(shí)間常數(shù)。特點(diǎn)：（1）輸出疊加（2）輸出的滯后作用（3）記憶功能例如：其傳遞函數(shù)為：寫成標(biāo)準(zhǔn)形式其中：其運(yùn)動(dòng)方程為： 取拉氏變換得：

質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)例如：實(shí)際上，任何線性系統(tǒng)都可由8種（或其中若干種）典型環(huán)節(jié)構(gòu)成，這8種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)如下：1、放大環(huán)節(jié)（或比例環(huán)節(jié)）2、理想微分環(huán)節(jié)3、一階微分環(huán)節(jié)4、二階微分環(huán)節(jié)5、積分環(huán)節(jié)6、慣性環(huán)節(jié)7、振蕩環(huán)節(jié)8、延遲環(huán)節(jié)控制工程基礎(chǔ)2.4系統(tǒng)的方框圖及其化簡結(jié)構(gòu)框圖是將系統(tǒng)中各元件的名稱或功用寫在框圖單元中，并標(biāo)明它們之間的連接順序和信號(hào)流向，主要用來說明系統(tǒng)構(gòu)成和工作原理?？刂乒こ袒A(chǔ)2.4系統(tǒng)的方框圖及其化簡函數(shù)框圖是把元件或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)寫在框圖單元內(nèi)，并用表明信號(hào)傳遞方向的箭頭將這些框圖單元連接起來，主要用來說明環(huán)節(jié)特性、信號(hào)流向及變量關(guān)系，便于分析系統(tǒng)。本節(jié)主要講述函數(shù)框圖的繪制。(1)框圖單元控制工程基礎(chǔ)2.4系統(tǒng)的方框圖及其化簡(2)相加點(diǎn)（比較點(diǎn)）

控制工程基礎(chǔ)2.4系統(tǒng)的方框圖及其化簡(3)分支點(diǎn)（引出點(diǎn)）

控制工程基礎(chǔ)2.4.1環(huán)節(jié)的基本連接方式

（1）串聯(lián)上式說明，由串聯(lián)環(huán)節(jié)所構(gòu)成的系統(tǒng)，當(dāng)無負(fù)載效應(yīng)影響時(shí)，它的總傳遞函數(shù)等于個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。當(dāng)系統(tǒng)由n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)而成時(shí)，總傳遞函數(shù)為：控制工程基礎(chǔ)（2）并聯(lián)

推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)，其總的傳遞函數(shù)等于各并聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和，即

控制工程基礎(chǔ)（3）反饋聯(lián)接由圖可見：經(jīng)整理后，可得傳遞函數(shù)為：控制工程基礎(chǔ)常用的幾個(gè)術(shù)語前向通路（道）信號(hào)沿箭頭方向從輸入直到輸出，并且每一路徑不要重復(fù)的通道。前向通路（道）傳遞函數(shù)在前向通路中，所有經(jīng)過的環(huán)節(jié)的乘積?？捎上率接?jì)算：反饋回路傳遞函數(shù)

H(s)稱為反饋回路傳遞函數(shù)，它是信號(hào)沿著輸出端進(jìn)入，而回到輸入端時(shí)所有經(jīng)過的環(huán)節(jié)乘積，即：控制工程基礎(chǔ)開環(huán)傳遞函數(shù)

G(s)H(s)稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，可表示為通道。注意：開環(huán)傳遞函數(shù)和開環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)是不一樣的。閉環(huán)傳遞函數(shù)當(dāng)H(s)=1時(shí)，我們將系統(tǒng)稱為單位反饋系統(tǒng)或全反饋系統(tǒng)?？刂乒こ袒A(chǔ)干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng)

系統(tǒng)除了有輸入量外，有時(shí)還要研究存在干擾時(shí)，輸出量對(duì)于干擾也存在傳遞函數(shù)?？刂乒こ袒A(chǔ)干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng)(1)在輸入量X(s)的作用下可把干擾量N(s)看作為零，系統(tǒng)的輸出為YR(s)，則

(2)在干擾量N(s)作用下[可把輸入量X(s)看作為零]，系統(tǒng)的輸出為YN(s)，則控制工程基礎(chǔ)干擾作用下的閉環(huán)系統(tǒng)稱GR(s)為輸出量對(duì)輸入量的傳遞函數(shù)，即稱GN(s)為輸出量對(duì)干擾量的傳遞函數(shù)，即(3)

系統(tǒng)總的輸出量：控制工程基礎(chǔ)2.4.2系統(tǒng)的方框圖的繪制列出描述系統(tǒng)各個(gè)環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程式求出環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，并將它們分別以方塊的形式表示出來將這些方塊單元結(jié)合在一起，以組成系統(tǒng)完整的框圖控制工程基礎(chǔ)例：繪制圖2-21所示的二階RC回路的框圖控制工程基礎(chǔ)解：首先列出系統(tǒng)原始方程（2-21）

（2-22）（2-23）（2-24）

控制工程基礎(chǔ)求出與上述方程式相對(duì)應(yīng)的拉氏變換式

（2-25）

（2-26）

（2-27）

（2-28）

控制工程基礎(chǔ)根據(jù)方程中間變量間的關(guān)系畫出與拉氏變換式（2-25）至（2-28）相對(duì)應(yīng)的框圖。并表示于圖2-22（a）至2-22（d）中。

控制工程基礎(chǔ)2.4.3系統(tǒng)的方框圖的化簡表2-3框圖變換法則控制工程基礎(chǔ)2.4.3系統(tǒng)的方框圖的化簡控制工程基礎(chǔ)2.4.3系統(tǒng)的方框圖的化簡注意：比較點(diǎn)和引出點(diǎn)之間一般不宜交換其位置。由方框圖求系統(tǒng)傳遞函數(shù)的基本思路