lesson 17 IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

DesignofIIRDigitalFiltersLesson17復(fù)習(xí)提問網(wǎng)絡(luò)轉(zhuǎn)置定理是？為什么系統(tǒng)函數(shù)不變？為什么FIR可以采用快速卷積的方法？嚴(yán)格線性相位是？有什么優(yōu)點(diǎn)？如何實(shí)現(xiàn)？線性相位的FIR需要多少次乘法？實(shí)際中的數(shù)字濾波器的一般的設(shè)計(jì)步驟包括：根據(jù)需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)，例如濾波器頻率響應(yīng)的幅度特性和截止頻率等。用一個(gè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)逼近這些指標(biāo)，具體來說，就是由這些指標(biāo)計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)用有限精度的運(yùn)算實(shí)現(xiàn)，包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)，進(jìn)行誤差分析和選擇存儲(chǔ)單元的字長(zhǎng)。本小節(jié)我們只討論第二步的問題。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

設(shè)計(jì)濾波器之前，要對(duì)濾波器的性能提出一個(gè)要求，這就是技術(shù)指標(biāo)，包括以下這些：通帶截止頻率阻帶截止頻率通帶波紋阻帶衰減通帶與阻帶之間的頻帶稱為過渡帶，如圖所示。性能要求(技術(shù)指標(biāo))

性能要求(技術(shù)指標(biāo))通帶波紋是指濾波器的幅頻響應(yīng)在通帶內(nèi)滿足條件阻帶衰減是指濾波器的幅頻響應(yīng)在阻帶內(nèi)滿足條件確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)后，尋找一個(gè)頻率響應(yīng)符合允許指標(biāo)的離散時(shí)間線性系統(tǒng)。所以濾波器實(shí)際是一個(gè)數(shù)學(xué)逼近問題。對(duì)于IIR系統(tǒng)用有理函數(shù)去逼近，對(duì)于FIR系統(tǒng)用多項(xiàng)式去逼近所希望的頻率響應(yīng)。性能要求(技術(shù)指標(biāo))利用模擬濾波器的理論來設(shè)計(jì)。計(jì)算機(jī)輔助的最優(yōu)技術(shù)設(shè)計(jì)方法。本課程只討論第一種方法，實(shí)際上我們也將利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行輔助設(shè)計(jì)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法首先根據(jù)實(shí)際要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器，然后再將這個(gè)模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。轉(zhuǎn)換方法主要有兩種：沖激響應(yīng)不變法；雙線性變換法。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法

沖激響應(yīng)不變法實(shí)現(xiàn)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換雙線性變換法實(shí)現(xiàn)模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換利用上述兩種方法設(shè)計(jì)數(shù)字巴特沃斯低通濾波器和數(shù)字切比雪夫?yàn)V波器沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法沖激不變法的準(zhǔn)則是：使數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)與所參照的模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)的取樣值一樣，即實(shí)際上，由模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，就是要建立模擬系統(tǒng)函數(shù)與數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系T

為取樣周期已知：沖激響應(yīng)不變法具體來說，是反映的周期延拓與的關(guān)系，而不是本身與的關(guān)系。這正是沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)產(chǎn)生混疊失真的根本原因。沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法是要從s平面映射到z平面，如圖所示。這種映射不是簡(jiǎn)單的代數(shù)映射，而是s平面上每一條寬為的水平帶重復(fù)地映射成整個(gè)z平面。沖激響應(yīng)不變法現(xiàn)在討論用沖激響應(yīng)不變法得到的數(shù)字濾波器與所參照的模擬濾波器的頻率響應(yīng)之間的關(guān)系。令和，得該式表明，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。重復(fù)周期為沖激響應(yīng)不變法如果模擬濾波器頻率響應(yīng)的帶寬限制在上述重復(fù)周期的一半以內(nèi)，即那么，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)能夠重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，即然而，任何實(shí)際的模擬濾波器都不是帶限的，因此數(shù)字濾波器的頻譜必然產(chǎn)生混疊，如圖所示。沖激響應(yīng)不變法如果模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上衰減很大，那么混疊失真將會(huì)很小，采用沖激響應(yīng)不變法就能得到良好的效果。沖激響應(yīng)不變法這時(shí)有上面討論用沖激不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器時(shí)，涉及到參數(shù)T。但是，如果用數(shù)字域頻率來規(guī)定數(shù)字濾波器的指標(biāo)，那么在沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)種T

是一個(gè)無關(guān)緊要的參數(shù)，因此，為了方便常取T等于1。沖激不變法最適合于可以部分分式表示的系統(tǒng)函數(shù)，這從下面設(shè)計(jì)步驟可以看出。沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)步驟如下：1)假設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)具有一階極點(diǎn)，且分母的階數(shù)高于分子的階數(shù)。將展開成部分分式式中，為極點(diǎn)。對(duì)求反拉普拉斯變換，得沖激響應(yīng)不變法2)使用沖激不變法求數(shù)字濾波器的單位取樣響應(yīng)令，代入上式得沖激響應(yīng)不變法3)求的Z變換，得沖激響應(yīng)不變法，比較上面兩式，經(jīng)沖激響應(yīng)不變法變換之后，s平面的極點(diǎn)變換成z平面的極點(diǎn)，而和系數(shù)相等，都為。沖激響應(yīng)不變法如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，那么由沖激響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。這是因?yàn)?，如果極點(diǎn)都在s平面的左半平面，那么即變換后得到的的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)。沖激響應(yīng)不變法當(dāng)取樣率很高，即T很小時(shí)，數(shù)字濾波器有很高的增益。但是人們常常不希望增益太高，為此，在取樣率高時(shí)一般不直接用上面的變換式，而改為采用下面式子。沖激響應(yīng)不變法例4.1

已知一模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為使用沖激響應(yīng)不變法求數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。解：將展開成部分方式得沖激響應(yīng)不變法例4.1解(續(xù))：所以模擬濾波器的兩個(gè)極點(diǎn)為直接利用公式得如果取T=0.1667s，得下圖畫出對(duì)應(yīng)的模擬濾波器和數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)即沖激響應(yīng)不變法數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)在高頻段有較大失真，而在低頻段很接近模擬濾波器的幅頻響應(yīng)。沖激響應(yīng)不變法在沖激響應(yīng)不變法中，由于映射不是簡(jiǎn)單的代數(shù)映射，從而使設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)產(chǎn)生失真。但是由于模擬頻率和數(shù)字頻率之間有線性關(guān)系，即，因此頻率之間不存在失真。需要指出，沖激響應(yīng)不變法僅適合于基本上是帶限的低通濾波器，對(duì)于高通或帶阻濾波器應(yīng)該附加限帶要求，以避免嚴(yán)重的混疊失真。沖激響應(yīng)不變法MATLAB提供的函數(shù)是impinvar，它的用法是[BZ,AZ]=IMPINVAR(B,A,Fs)其中B,A是模擬濾波器分子分母多項(xiàng)式系數(shù)，它們按照從高到低的冪次排列。BZ，AZ是數(shù)字濾波器分子分母多項(xiàng)式系數(shù)，它們按照下面規(guī)律排列系數(shù)例4.1用MATLAB函數(shù)做就是：

[bz,az]=impinvar(2,[143],1/0.1667);雙線性變換法雙線性變換法雙線性變換也是一種由s平面到z平面的映射過程，定義為因此其中T

是取樣周期，常數(shù)因子不是主要參數(shù)，因此常取T=1。雙線性變換法與沖激響應(yīng)不變法不同，它是一種從s平面到z平面的簡(jiǎn)單映射。雙線性變換法將和代入雙線性變換式，得因此由此看出，數(shù)字域頻率與模擬頻率之間呈非線性關(guān)系雙線性變換法由上圖看出，當(dāng)從變到時(shí)，從變到。這意味著模擬濾波器的全部頻率特性，被壓縮成數(shù)字濾波器在頻率范圍內(nèi)的特性。這種頻率標(biāo)度之間的非線性在高頻段較為嚴(yán)重，而在低頻段接近于線性，因此數(shù)字濾波器的頻率特性能夠逼近模擬濾波器的頻率特性。雙線性變換法雙線性變換的頻率標(biāo)度的非線性失真可以用預(yù)畸變方法來補(bǔ)償:設(shè)所求的數(shù)字濾波器的通帶和阻帶的截止頻率分別為和。按以下公式求出模擬濾波器的截止頻率和若模擬濾波器按這兩個(gè)預(yù)畸變的頻率和來設(shè)計(jì)，那么用雙線性變換所得到的數(shù)字濾波器變具有所希望的截止頻率特性。雙線性變換法由前面的雙線性變換式得將代入上式得雙線性變換法這說明s平面的軸映射成z平面的單位圓周，左半平面映射成單位圓內(nèi)部，右半平面映射成單位圓外部。如下圖所示雙線性變換法雙線性映射是一種簡(jiǎn)單的代數(shù)映射，因此變換后的數(shù)字濾波器的幅度響應(yīng)沒有混疊失真。如果模擬濾波器是穩(wěn)定的，即的所有極點(diǎn)都在s平面的左半平面內(nèi)，那么經(jīng)雙線性變換映射后的極點(diǎn)都在z平面的單位圓內(nèi)，因此對(duì)應(yīng)的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。雙線性變換法雙線性變換中數(shù)字域頻率和模擬頻率之間的非線性關(guān)系限制了它的應(yīng)用范圍，只有當(dāng)非線性失真是允許的或能補(bǔ)償時(shí)，才能采用雙線性變換。通常，低通、高通、帶通和帶阻濾波器具有分段恒定的頻率特性，可以采用預(yù)