數(shù)學文化1-2(勾股定理)

在數(shù)學的天地里，重要的不是我們知道了什么，而是我們是怎么知道的。

——畢達哥拉斯

第24屆“國際數(shù)學家大會”（ICM）

被譽為國際數(shù)學界的“奧林匹克”

InternationalCongressofMathematicians

數(shù)學文化第24屆“國際數(shù)學家大會”會標第二十四屆：2002年8月20日至28日中國北京。來自１００多個國家和地區(qū)的約４０００名數(shù)學家出席了大會。大會期間，有２０位數(shù)學家做大會一小時報告，１７４人做４５分鐘報告。大會主席吳文俊、諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者納什等做了以數(shù)學史和博弈論為題的公眾報告。為2002北京“國際數(shù)學家大會”發(fā)行的

紀念郵資明信片JP108主講：徐夢博復習專題：《勾股定理》“勾股定理”是我們最熟悉的平面幾何中的一個最著名、最精彩、最有用的一條定理，是數(shù)學大廈的一塊基石，被天文學家開普勒譽為幾何學的一大寶藏。溫故而知新專題一：《勾股定理》引言：

“勾股定理”的探索和證明蘊含豐富的數(shù)學思想和研究方法，是培養(yǎng)學生思維品質(zhì)的載體。它對數(shù)學的發(fā)展具有重要的作用。

勾股定理是一壇陳年佳釀，品之芬芳，余味無窮，以簡潔優(yōu)美的形式，豐富深刻的內(nèi)涵刻畫了自然界和諧統(tǒng)一的關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的優(yōu)美典范。.通過本章對勾股定理的學習，深入了解勾股定理的歷史文化背景。1．從“探索勾股定理”中溫故知新．2．從“驗證勾股定理”中提高說理能力3.從“應用勾股定理”中提高解決問題能力。復習目標探索勾股定理一、《周髀算經(jīng)》與“勾股定理”《周髀算經(jīng)》是中國現(xiàn)存最早的一部數(shù)學典籍，成書時間大約在兩漢之間?！吨荀滤憬?jīng)》是一部天文著作，為討論天文歷法，而敘述一些有關(guān)的數(shù)學知識，其中重要的題材有勾股定理、比例測量與計算天體方位所不能避免的分數(shù)四則運算。

《周髀算經(jīng)》(西漢,約公元前200年)《周髀算經(jīng)》卷上記載西周開國時期（約公元前1100年）周公與大夫商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾三，股四，經(jīng)五”，這是勾股定理的特例。卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的普遍形式：“……以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日?！?/p>

中國數(shù)學史上最先完成勾股定理證明的是三國時期的趙爽（公元3世紀）。趙爽在《周髀算經(jīng)注》中，采用證明幾何問題的割補原理，利用“弦圖”，證明了勾股定理。

方田《九章算術(shù)》

粟米

衰分

少廣

商功

均輸

盈不足

方程

勾股《九章算術(shù)》是一部問題集形式的算書，共246個問題，采用“問、答、術(shù)”的形式進行編排，共202術(shù)，按不同算法的類型，分為九章。成書于公元前100年左右，作者不詳。中國最著名、最優(yōu)秀的數(shù)學經(jīng)典中國傳統(tǒng)數(shù)學的代表作中國古代數(shù)學文獻的典范

二、勾股定理在西方畢達哥拉斯定理（尼加拉瓜，1971）

在西方，“勾股定理”被稱為“畢達哥拉斯定理”，于公元前500年左右由古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯（學派）發(fā)現(xiàn)。相傳因這一發(fā)現(xiàn)，曾宰牛百頭慶賀，此定理也稱為“百牛定理”該學派最大的特點是宣稱宇宙萬物的主宰者(上帝)用數(shù)來統(tǒng)御宇宙,認為萬物包含數(shù),即:“萬物皆數(shù)”(這里的數(shù)是指整數(shù)與整數(shù)之比).ABC

如果直角三角形兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.a2+b2=c2勾股定理A的面積+B的面積=C的面積abc驗證勾股定理三、勾股定理的證明

由于勾股定理的重要性，盡管該定理早已被證明，許多人仍然愿意探索該定理的新證明。據(jù)初略統(tǒng)計，世界上已有400余種證明勾股定理的方法。僅我國清末數(shù)學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法。這一定理證明方法之多是任何其他定理無法比擬的。

重點介紹幾種特殊而優(yōu)美的證法（一）趙爽證法（二）劉徽證法（三）畢達哥拉斯證法（四）歐幾里得證法（五）總統(tǒng)證法，化簡得：

（一）趙爽證法公元3世紀我國漢代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時給出的“弦圖”：

（二）劉徽證法

我國數(shù)學家劉徽在為《九章算術(shù)》注作中，提出以「出入相補」的原理來證明「勾股定理」中給出的“青朱出入圖”：ba

(a+b)2 = c2+4(?ab)

a2+2ab+b2 = c2+2ab

a2+b2 = c2c（三）畢達哥拉斯證法（割補法）歐幾里得的《幾何原本》是古希臘數(shù)學成果、思想、方法和精神的結(jié)晶。是整個科學史上發(fā)行最廣使用時間最長的書，成為數(shù)學的“圣經(jīng)”。全書共分13卷，包括5條公理、5個公設、119個定義和465條命題，構(gòu)成了世界上第一個數(shù)學公理體系。（四）歐幾里得證法證法四：（歐幾里得證法公元前3世紀）“新娘的轎椅”或“修士的頭巾”

如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，四邊形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CN⊥DE，連接BK、CD。AK=ACAB=AD∠KAB=∠CAD△KAB≌△CADS

正方形KACH=

S

四邊形ADNM同理：S

正方形BCGF=

S

四邊形BENMS

正方形KACH+

S

正方形BCGF=

S

四邊形ADNM+

S

四邊形BENMS

△KAB=

S

△CAD∴S

正方形KACH+

S

正方形BCGF=

S

四邊形ADEB（五）總統(tǒng)證法：（伽菲爾德證法1876年）ABCDE梯形ABCD的面積＝梯形ABCD的面積＝∴∴1881年成為美國第20任總統(tǒng)1876年提出有關(guān)證明四、勾股定理的重要性勾股定理的證明是論證數(shù)學的發(fā)端，它是歷史上第一個把形與數(shù)聯(lián)系起來的定理，即第一個把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理。勾股定理導致無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了第一次數(shù)學危機，加深了人們對數(shù)的認識，促進了數(shù)學的進步發(fā)展。勾股定理是歷史上第一個給出不定方程的解答，從而促使費馬大定理的提出。（這是一只下金蛋的鵝，數(shù)學家經(jīng)過350年的歷程才獲得解決，這期間給整個數(shù)學界帶來了巨大的財富。）第一次數(shù)學危機起因:無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)(希帕蘇斯悖論)

解決:

歐多克斯,創(chuàng)立了比例論,暫時消除了由無理數(shù)引起的第一次數(shù)學危機;

直至1872年，現(xiàn)代實數(shù)理論的奠基人之一的狄德金（德國）提出了狄德金分割，給出了無理數(shù)與連續(xù)性的純算術(shù)的定義。意義：直覺和經(jīng)驗不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始從“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學體系。這是數(shù)學思想上的一次革命，是第一次數(shù)學危機的自然產(chǎn)物。

應用勾股定理一、分類討論思想1.直角三角形中，已知兩條邊,不知道是直角邊還是斜邊時，應分類討論。規(guī)律2.當已知條件中沒有給出圖形時，應認真讀句畫圖，避免遺漏另一種情況。2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC邊上的高線AD=8,求BC的長度。∟DABC1.已知:直角三角形的三邊長分別是3,4,X,則X2=25或717108ABC1017∟D8BC=BD+CDBC=CD-BC二、方程思想

規(guī)律：直角三角形中，當無法已知兩邊求第三邊時，應采用間接求法：靈活地尋找題中的等量關(guān)系，利用勾股定理列方程。例１、小強想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出來嗎？ABC5米(X+1)米x米三、折疊問題例1.長方形ABCD如圖折疊，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的長。ABCDFE810810106xx8-x4?四、展開思想例1.小明家住在18層的高樓，一天，他與媽媽去買竹竿。買最長的吧！快點回家，好用它涼衣服。糟糕，太長了，放不進去。如果電梯的長、寬、高分別是1.5米、1.5米、2.2米，那么，能放入電梯內(nèi)的竹竿的最大長度大約是多少米？你能估計出小明買的竹竿至少是多少米嗎？1.5米1.5米2.2米1.5米1.5米xx2.2米ABCX2=1.52+1.52=4.5AB2=2.22+X2=9.34AB≈3米例2.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長寬和高分別為20dm、3dm、2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點最短路程是多少？2032AB２０２32323ＡＢＣ

例3如圖,一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路程(取3）是()A.20cmB.10cmC.14cmD.無法確定BB8OA2蛋糕ACB８周長的一半６例1、我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》中的一個問題，原文是：今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，水深、葭長各幾何？請用學過的數(shù)學知識回答這個問題。5X+1XCBA應用舉例：作業(yè)思考題：1.最早記載“勾股定理”內(nèi)容的我國古代數(shù)學著作是哪一本？2.我國最早證明勾股定理的是哪個朝代的哪位數(shù)學家？他是怎樣證明的？3.在西方國家“勾股定理”一般被稱為什么定理？4.學習勾股定理的文化意義？五、勾股定理的文化意義人類認識世界、改造世界最初級的重要工具之一。戰(zhàn)國時期一部古籍《路史后記十二注》中就有這樣的記載：“禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也?！边@段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使江河不決流，根據(jù)地勢高低，決定水流走向，因勢利導，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災害，是應用勾股定理的結(jié)果。

勾股定理產(chǎn)生于生活，并應用于實踐Let’ssaytogether在本節(jié)課中,我們……1.本節(jié)主線問題情境分析探究得出猜想總結(jié)應用證明歸納2.學習內(nèi)容及方法

學習了著名的勾股定理，還知道從特殊到一般的探索方法.3.本節(jié)的數(shù)學思想

借助于圖形的面積來探索、驗證數(shù)學結(jié)論的數(shù)形結(jié)合思想。4.學了本節(jié)課后我們有什么感想？

很多的數(shù)學結(jié)論存在于平常的生活中，需要我們用數(shù)學的眼光去觀察、思考、發(fā)現(xiàn).這節(jié)課我們還認識了幾位偉大的數(shù)學家,受到了數(shù)學文化輝煌歷史的教育。教師寄語親愛的同學：牛頓---從蘋果落地最終確立了萬有引力定律。畢達哥拉斯-從朋友家地磚圖案中發(fā)