正弦定理(公開課)

5.9.1正弦定理資中一中黃勇問題:兩個(gè)工程人員在野外作業(yè),在一條不知道寬度的湍急的大河邊休息.工程人員甲說:河對(duì)岸有棵椰子樹.如果你能用測(cè)角儀和卷尺測(cè)出那棵椰子樹到我們這里的距離,回家以后我請(qǐng)你喝冰鎮(zhèn)椰子汁.乙說,那太好了,我喝定了.

分析:如圖假設(shè)對(duì)岸的椰子樹是C點(diǎn).直線AB就是河岸的兩點(diǎn).我們現(xiàn)在的位置是A點(diǎn).沿這條河從A點(diǎn)走30米到B點(diǎn).測(cè)得∠A=300,∠B

=450,現(xiàn)在可以算出AC的長(zhǎng)了.已知在△ABC中，∠A=30o，∠B=45o，AB=30米求AC的長(zhǎng)？思考:如果你是乙你能喝到冰鎮(zhèn)椰子汁嗎?你該怎么測(cè)?夾角的范圍是：0≤≤180

判斷向量夾角時(shí)兩向量必須移至同一起點(diǎn)1、向量的數(shù)量積(1)、向量的夾角：(2)、向量的數(shù)量積：(3)、數(shù)量積的運(yùn)算律：ABCcba(2)、邊的關(guān)系：(3)、邊角關(guān)系：2

、直角三角形中的邊角關(guān)系:(1)、角的關(guān)系：在等邊三角形中,這個(gè)等式成立嗎?即ABCC=1a=1b=1在等腰三角形中,這個(gè)等式成立嗎?ABCC=1b=1此等式能推廣到任意的銳角三角形、鈍角三角形嗎?即怎么證明呢？

作銳角三角形ABC的外接圓,O為圓心.

設(shè)圓O的半徑為R.abcD連接CO并延長(zhǎng)，與圓交于點(diǎn)D,

再連接BD.

所以，a=CD·sinD=2R·sinA.證法一幾何法同理可證在鈍角三角形中上式也成立1、當(dāng)ABC為銳角三角形時(shí)，如圖則的夾角為________,

的夾角為________,

的夾角為________.ACBabc即即過A作單位向量垂直,j證法二:向量法鈍角三角形中又應(yīng)如何證明呢?如果我們過C作單位向量j

垂直于

又能得到什么結(jié)果呢?

jABCACB則的夾角為________,

的夾角為________,

的夾角為________,2、當(dāng)ABC為鈍角三角形時(shí)不妨設(shè)

，如圖

此式對(duì)于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立.過A作單位向量垂直,j正弦定理公式變形:在一個(gè)三角形中,各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等

即2

（1）已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角

（4）作用:（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角求另一邊的對(duì)角，從而進(jìn)一步求其它的邊和角。

例1在中，已知

求b.

解：∵

且例題評(píng)析【分析】此題屬于“已知兩角和其中一邊，求其它兩邊和一角”的問題，先通過三角形內(nèi)角和為180°求出角B，再利用正弦定理可求出邊。如果要求保留兩個(gè)有效數(shù)字即為例1

1、已知△ABC三邊a、b、c所對(duì)角分別是A、B、C且

ΔABC是（）

A、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、不能確定

2、在ΔABC中,已知

，

則角Ｃ=3、在△ABC中，已知

求c,b

反饋練習(xí)：c1、正弦定理的內(nèi)容:小結(jié):2、正弦定理的證明方法:(1)幾何法

(2)向量法課堂練習(xí)：P144、第1題作業(yè)

1、P144習(xí)題5.91