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整數(shù)指數(shù)冪糖水問題在幼兒園的時(shí)候我們就知道,給糖水加糖能使糖水變甜,給菜湯添鹽能使菜湯變咸。我們可以把這一生活常識(shí)用數(shù)學(xué)式表達(dá)出來。設(shè)b克糖水里有a克糖,則原來糖水中糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為P1=;若加入的糖為m克,則糖水中糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)變?yōu)镻2=由上述生活現(xiàn)象我們可以得到不等式:
對(duì)這個(gè)不等式,你能用分式的加減法進(jìn)行驗(yàn)證嗎?<<<>(0ab,m0)溫故知新復(fù)習(xí)回顧我們知道,當(dāng)n是正整數(shù)時(shí),n個(gè)正整數(shù)指數(shù)冪還有哪些運(yùn)算性質(zhì)呢?回憶正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì):同底數(shù)冪的乘法:(2)冪的乘方:(3)積的乘方:(4)同底數(shù)冪的除法:(5)分式的乘方:
am·an=am+n(m,n是正整數(shù))(am)n=amn(m,n是正整數(shù))(ab)n=anbn(n是正整數(shù))am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整數(shù),m>n)(n是正整數(shù))我們還規(guī)定零指數(shù)冪
:
a0=1(a≠0).
這就是說:任何不等于零的數(shù)的零次冪都等于1.整數(shù)指數(shù)冪有以下運(yùn)算性質(zhì):(1)am·an=am+n(a≠0)(2)(am)n=amn(a≠0)(3)(ab)n=anbn(a,b≠0)(4)am÷an=am-n(a≠0)(5)(b≠0)當(dāng)a≠0時(shí),a0=1。(6)a-3·a-9=(a-3)2=(ab)-3=a-3÷a-5=當(dāng)m=n時(shí),當(dāng)m<n時(shí),一般地,am中指數(shù)m可以是負(fù)整數(shù)嗎?如果可以,那么負(fù)整數(shù)指數(shù)冪am表示什么?思考仿照同底數(shù)冪除法公式計(jì)算:(1)52÷55=(2)103÷107=52-5=103-7=利用約分算出這兩個(gè)式子的結(jié)果:52÷55=
(2)103÷107=5-310-4我們已經(jīng)引進(jìn)了零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)冪,指數(shù)的范圍已經(jīng)擴(kuò)大到了全體整數(shù)。討論交流,判斷下列式子是否成立。(1)a2·a-3=a2+(-3)(2)(a-3)2=a-3×2(3)(ab)-3=a-3·b-3(4)a2÷a-3=a2-(-3)(5)指數(shù)的范圍擴(kuò)大到了全體整數(shù)后,冪的所有運(yùn)算法則仍然成立。觀察am·an=am+n對(duì)于m,n是任意整數(shù)情形都適用歸納想一想我們規(guī)定(a≠0,n是正整數(shù))這就是說,任何不等于零的數(shù)的-n
(n為正整數(shù))次冪,等于這個(gè)數(shù)的n
次冪的倒數(shù).概括:練習(xí)(1)32=___,30=__,3-2=____;(2)(-3)2=___,(-3)0=__,(-3)-2=_____;(3)b2=___,b0=__,b-2=____(b≠0).1、填空:91911b22、計(jì)算:解:(1)20=1引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后,運(yùn)算性質(zhì)am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整數(shù),m>n)可以擴(kuò)大到m,n是全體整數(shù)。引入負(fù)整數(shù)指數(shù)和0指數(shù)后,運(yùn)算性質(zhì)am·an=am+n(m,n是正整數(shù))能否擴(kuò)大到m,n是任意整數(shù)的情形?觀察歸納
am·an=am+n這條性質(zhì)對(duì)于m,n是任意整數(shù)的情形仍然適用.
類似于上面的觀察,可以進(jìn)一步用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪或0指數(shù)冪,對(duì)于前面提到的其他正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行試驗(yàn),看這些性質(zhì)在整數(shù)指數(shù)冪范圍內(nèi)是否還適用。事實(shí)上,隨著指數(shù)的取值范圍由正整數(shù)推廣到全體整數(shù),前面提到的運(yùn)算性質(zhì)也推廣到整數(shù)指數(shù)冪。(2)a-2b2●(a2b-2)-3=a-3b6=a-8b8(1)(a-1b2)3例題計(jì)算:(4)(2ab2c-3)-2÷(a-2b)3(3)x2y-3(x-1y)3解:(1)(a-1b2)3(2)a-2b2●(a2b-2)-3(4)(2ab2c-3)-2÷(a-2b)3=x-1y0=2-2a4b-7c6=2-2a-2b-4c6÷a-6b3(3)x2y-3(x-1y)3下列等式是否正確?為什么?(1)am÷an=am·a-n(1)∵am÷an=am-n=am+(-n)=am·a-n解:∴am÷an=am·a-n兩個(gè)等式都正確。計(jì)算:(1)a-2÷a5(2)(a-1b2)3(3)a-2b2·(a2b-2)-3(4)(5)(2mn2)-3?(m-2n)-5科學(xué)記數(shù)法我們已經(jīng)知道,一些較大的數(shù)適合用科學(xué)記數(shù)法表示。例如,光速約為3×108米/秒,太陽半徑約為6.96×105千米。有了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后,小于1的正數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法表示。例如,0.001=10-3,0.000257=2.57×10-4.即小于1的正數(shù)可以用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10-n的形式,其中a是整數(shù)數(shù)位只要一位的正數(shù),n是正整數(shù)。這種形式更便于比較數(shù)的大小。例如2.57×10-5顯然大于2.57×10-8,前者是后者的103倍。9m+1對(duì)于一個(gè)小于1的正小數(shù),如果小數(shù)點(diǎn)后至第一個(gè)非0數(shù)字前有8個(gè)0,用科學(xué)記數(shù)法表示這個(gè)數(shù)時(shí),10的指數(shù)是多少?如果有m個(gè)0呢?例題
納米是非常小的長(zhǎng)度單位,1納米=10-9米。把1納米的物體放在乒乓球上就如同把乒乓球放在地球上。1立方毫米的空間可以放多少個(gè)1立方納米的物體?解:1毫米=10-3米,1納米=10-9米1立方毫米的空間可以放1018個(gè)1立方納米的物體。練習(xí)1、用科學(xué)記數(shù)法表示下列各數(shù):0.0000000010.0000003450.0012-0.000030.00000001081×10-91.2×10-33.45×10-7-3×10-51.08×10-82、計(jì)算:本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?重點(diǎn)掌握整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則,注意運(yùn)算順序及符號(hào)小結(jié)(1)810÷810;(2)10-2;(4)
作業(yè)(5)20080×(-2)-2(1)(23)-2=23×(-2)=(2)(2×3)-3=2-3×3-3========例題計(jì)算:(1)(a-1b2)3(2)a-2b2·(a2b-2)-3例1下列等式是否正確?為什么?(1)am÷an=am·a-n(2)例21.下面的計(jì)算對(duì)不對(duì),如果不對(duì),應(yīng)怎樣改正?(1)(-7)0=-1(2)(-1)-1=1(3)ap·a-p=1(a≠0,p是正整數(shù))(4)(x0)-3=1(6)x3y-3·(x2y0)-3=2.(a6b-4)(a-3b2)=()A、a-18b-8B、a-2b-2C、a2b2D、a3b-23.化簡(jiǎn)ab-1(c+d)-1得()A、
B、
C、D、火眼金睛5.把下列結(jié)果化為只含有正整數(shù)指數(shù)的形式(1)a2b3·(2a-1b2)3
(2)6a-1b-3÷(-3a2b-4c)
——————。計(jì)算:(1)4-2+40+()-2
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