2021-2021高考全國(guó)卷Ⅰ文科數(shù)學(xué)立體幾何匯編

2021—2021高全國(guó)卷Ⅰ文科數(shù)學(xué)立體幾何匯編幾何一、選擇題【2021】如圖，在下列四個(gè)正方體中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，N為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直接與平面MNQ不平行的是（）【2021】如圖所示，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑、若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）ABCD【2021，11】平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面，則所成角的正弦值為（）A第1頁(yè)共17頁(yè)

BCD【2021】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8，米堆的高為尺，米堆的體積和堆放的米各位多少？”已知1米的體積約為1、62立方尺，圓周率約為，估算出堆放的米有(A、14斛B、22斛C、36斛D、66斛【2021，11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為π，則r=()BABC第2頁(yè)共17頁(yè)

D【2021，11】【2021】【2021，11】【2021】【2021】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是()A三棱錐B三棱柱C四棱錐D四棱柱【2021，11】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()AπB、8＋8πC＋16D、8＋16π【2021】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為第3頁(yè)共17頁(yè)

ABCD【2021】平面截球球面所得圓的半徑為，球心平面的距離為，則此球的體積為（）ABCD【2021】在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（）二、填空題【2021，16】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑、若平面，，，三棱錐的體積為，則球的表面積為______【2021，15】已知球直徑上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O得截面的面積為π，則球表面積為第4頁(yè)共17頁(yè)

【2021，16】已知兩個(gè)圓錐由公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上、若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為、三、解答題【2021，18】如圖，在四棱錐中，∥，且、）證明：平面平面；）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積、【2021，18】如圖所示，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)、連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)、）求證：是的中點(diǎn)；）在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影（說(shuō)明作法及理由），并求四面體的體積、【2021，18】如圖四邊形為菱形，AC與BD交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，(Ⅰ)證明：平面AEC⊥平面BED；(Ⅱ)若∠ABC=120，AE⊥EC，三棱錐E-ACD體積為，求該三棱錐的側(cè)面積、】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面、證明：）若求三棱柱的高、【2021，19】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，＝CB，AB，∠BAA1＝第5頁(yè)共17頁(yè)

60證明：AB⊥A1C若AB＝CB，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積、【2021，19】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，，AC=BC=AA1是棱的中點(diǎn)、（1證明：平面BDC1⊥平面BDC）平面分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比、【2021，18】如圖所示，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，底面、）證明：；）若，求棱錐的高、解析一、選擇題【2021】如圖，在下列四個(gè)正方體中，為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，，N為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直接與平面MNQ不平行的是（）【解法】選A，AB∥MQ，則直線∥平面；由，AB∥MQ，則直線∥平面由D，AB∥NQ，則直線∥平MNQ、故滿足，選A【2021】第6頁(yè)共17頁(yè)

如圖所示，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑、若該幾何體的體積是，則它的表面積是（）、ABCD析：選A三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球截去球的，設(shè)球的半徑為，則，解得、該幾何體的表面積等于球的表面積的，加上個(gè)截面的面積，每個(gè)截面是圓面的，所以該幾何體的表面積為、故選A【2021，11】平面過(guò)正方體的頂點(diǎn)，平面，平面，平面，則所成角的正弦值為（）ABCD解析：選A法一：將圖形延伸出去，構(gòu)造一個(gè)正方體，如圖所示、通過(guò)尋找線線平行構(gòu)造出平面，即平面，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為、故選第7頁(yè)共17頁(yè)

A解法二（原理同解法一）：過(guò)平面外一點(diǎn)作平面，并使平面，不妨將點(diǎn)變換成，作使之滿足同等條件，在這樣的情況下容易得到，即為平面，如圖所示，即研究與所成角的正弦值，易知，所以其正弦值為、故選A【2021】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)”積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8，米堆的高為尺，米堆的體積和堆放的米各位多少？”已知1米的體積約為1、62立方尺，圓周率約為，估算出堆放的米有(BA、14斛B、22斛C、36斛D、66斛解：設(shè)圓錐底面半徑為，依題，所以米堆的體積為，故堆放的米約為1≈22故選B【2021，11】第8頁(yè)共17頁(yè)

圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則)BABCD解：該幾何體是半球與半個(gè)圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為，圓柱的高為2r，其表面積為2πr2+πr2r+πr2+2r2r=5πr2+4r2=16+20π，解得r=2，故選B【2021】如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實(shí)線畫出的一個(gè)幾何體的三視圖，則這個(gè)幾何體是()BA三棱錐B三棱柱C四棱錐D四棱柱解：幾何體是一個(gè)橫放著的三棱柱、故選B【2021，11】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為()Aπ第9頁(yè)共17頁(yè)

B、8＋8πC＋16D、8＋16π解析：選A該幾何體為一個(gè)半圓柱與一個(gè)長(zhǎng)方體組成的一個(gè)組合體、V半圓柱＝π224＝8π長(zhǎng)方體＝422＝16、所以所求體積為16＋8π、故選A【2021】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（）ABCD【解析】由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，底面△BCD底邊為6，高為等腰三角形，側(cè)面ABD⊥面BCD，AO⊥底面BCD因此此幾何體的體積為，故選擇B【2021】8平面截球O球面所得圓的半徑為，球心O平面的距離為，則此球的體積為（）第10頁(yè)共17頁(yè)

ABCD【解析】如圖所示，由已知，，在中，球的半徑，所以此球的體積，故選擇B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考察球面的性質(zhì)及球的體積的計(jì)算、【2021】在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為（）【解析】由幾何體的正視圖和側(cè)視圖可知，該幾何體的底面為半圓和等腰三角形，其側(cè)視圖可以是一個(gè)由等腰三角形及底邊上的高構(gòu)成的平面圖形、故選D二、填空題【2021，16】已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是球的直徑、若平面，，，三棱錐的體積為，則球的表面積為______第11頁(yè)共17頁(yè)

【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫?，設(shè)，，所以，所以球的表面積為、【2021，15】已知球直徑上一點(diǎn)，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O得截面的面積為π，則球表面積為______、答案：解析：如圖，設(shè)球O半徑為R，則＝＝、又∵πEH2＝π，∴EH＝1∵Rt△OEH，R2＝，∴R2＝、球＝4πR2＝、【2021，16】已知兩個(gè)圓錐由公共底面，且兩圓錐的頂點(diǎn)和底面的圓周都在同一個(gè)球面上、若圓錐底面面積是這個(gè)球面面積的，則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為、【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，球的半徑為，則由，知、根據(jù)球的截面的性質(zhì)可知兩圓錐的高必過(guò)球心，且兩圓錐的頂點(diǎn)以及圓錐與球的交點(diǎn)是球的大圓上的點(diǎn)，因此、設(shè)，，則、又，知、即、由及可得、則這兩個(gè)圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為、故答案為、三、解答題【2021，18】第12頁(yè)共17頁(yè)

如圖，在四棱錐中，∥，且、）證明：平面平面；）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積、【解法】），∥又平面，平面，且平面平面，所以平面平面（）由題意：設(shè)，因?yàn)樗詾榈妊苯侨切渭慈≈悬c(diǎn)，連接，則，、又因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫嬉驗(yàn)槠矫?，∥所以，又以四邊形為矩形所以?021，18】如圖所示，已知正三棱錐的側(cè)面是直角三角形，，頂點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)，在平面內(nèi)的正投影為點(diǎn)、連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)、）求證：是的中點(diǎn)；）在題圖中作出點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影（說(shuō)明作法及理由），并求四面體的體積、解析：）由題意可得為正三角形，故、因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面、又平面，所以、因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為點(diǎn)，故平面、又平面，所以、因?yàn)?，，，平面，所以平面、又平面，所以、因?yàn)椋允堑闹悬c(diǎn)、（2過(guò)作交于，則即為所要尋找的正投影、理由如下，因?yàn)?，，故、同理，又，平面，所以平面，故即為點(diǎn)在平面內(nèi)的正投影、所以、在中，，，，故由等面積法知、由勾股定理知，由為等腰直角三角形知，故、【2021，18】如圖四邊形為菱形，AC與BD交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，(Ⅰ)證明：平面AEC⊥平面BED；(Ⅱ)若∠ABC=120，第13頁(yè)共17頁(yè)

AE⊥EC，三棱錐E-ACD體積為，求該三棱錐的側(cè)面積、解：(Ⅰ)∵BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC∵ABCD菱形，∴BD⊥AC，∴AC⊥平面BED，又平面AEC∴平面AEC⊥平面BED分(Ⅱ)設(shè)AB=x，在菱形中，由∠ABC=120可得，AG=GC=，GB=GD=、RtΔAEC中，可得、∴在ΔEBG為直角三角形，可得、∴，解得x=2BA=BD=BC可得ED=EC=∴ΔAEC的面積為3，ΔEAD的面積與ΔECD面積均為、所以三棱錐E-ACD的側(cè)面積為、…1218、解析（1）因?yàn)槠矫?，所以、又為菱形，所以、又因?yàn)椋?，平面，所以平面、又平面，所以平面平面、）在菱形中，取，又，所以，、在中，，所以，所以在中，，所以，解得、在，，中，可得、所以三棱錐的側(cè)面積、】如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面、證明：）若求三棱柱的高、證明：(Ⅰ)連接，則與BC1的交點(diǎn)，∵AO⊥平面C，…2分為側(cè)面為菱形，∴BC1⊥B1C，…4∴BC1⊥平面，∵AB平面，故B1C⊥A第14頁(yè)共17頁(yè)

B分(Ⅱ)作OD⊥BC，垂足為，連結(jié)，∵AO⊥BC，∴BC⊥平面AOD，又平面，∴平面⊥平AOD，線為AD，作⊥AD，垂足為，∴OH⊥平面C分∵∠CBB1=60，所以為等邊三角形，又BC=1，可得OD=，由于⊥AB1，∴，∴，由OHAD=ODOA可得OH=又B1C的點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面距離為，所以三棱柱的高高為?！?2分另解等體積法：∵∠CBB1=60，所ΔCBB1等邊三角形，又BC=1，可得BO=，由于AC⊥AB1，∴，∴AB=1，AC=分則等腰三角形ABC的面積為，設(shè)點(diǎn)到平面ABC的距離為d，由VB1-ABC=VA-BB1C，所以三棱柱的高高為?！?2分【2021，19】如圖，三棱柱－A1B1C1中，CA＝CB，AB，∠BAA1＝60證明：AB⊥A1C若AB，A1C，求三棱柱ABC－A1B1C1的體積、證明：(1)AB的中點(diǎn)O，連結(jié)OC，A1B因CA＝CB，所以B由AB＝AA1∠BAA1＝60，故△AA1B為等邊三角形，所以⊥AB因OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1第15頁(yè)共17頁(yè)

CA1C平面，AB⊥A1C、(2)解：由題設(shè)知△ABC△AA1B都是邊長(zhǎng)為等邊三角形，所以＝、又＝，則＋，故⊥OC因OC∩AB＝O所以O(shè)A1⊥平面ABC，OA1為三棱柱－A1B1C1高、又△ABC面積S△ABC＝，故三棱柱－A1B1C1體積＝S△ABCOA1＝3【2021，19】如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，，AC=BC=AA1是棱的中點(diǎn)、（1證明：平面BDC1⊥平面BDC）平面分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比、【解析】）在中，，得：，同理：，：、