高中數(shù)學(xué)人教A版第三章函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)與方程 公開(kāi)課獎(jiǎng)

第四課時(shí)，函數(shù)模型的綜合應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備1．課時(shí)目標(biāo)（1）掌握函數(shù)的思想方法，即通過(guò)求出或構(gòu)造出函數(shù)來(lái)解決問(wèn)題；（2）學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題；（3）梳理社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型，并進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。2．基礎(chǔ)預(yù)探（1）．一次函數(shù)求最值主要是利用它的；（2）.二次函數(shù)求最值也是要利用它的單調(diào)性，一般我們都先.（3）.無(wú)論什么函數(shù)求最值都要注意.例如等.二、基本知識(shí)習(xí)題化1.向高為H的圓錐形漏斗內(nèi)注入化學(xué)溶液（漏斗下口暫且關(guān)閉），注入溶液量V與溶液深度h的大概圖象是（）.2.某種生物增長(zhǎng)的數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系如下表：123．．．138．．．下面函數(shù)關(guān)系式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是（）.A．B．C．D．3.某企業(yè)近幾年的年產(chǎn)值如下圖：則年增長(zhǎng)率（增長(zhǎng)率=增長(zhǎng)值/原產(chǎn)值）最高的是（）.A.97年B.98年C.99年D.00年4.某商店已按每件80元的成本購(gòu)進(jìn)某種上裝1000件，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，當(dāng)每件售價(jià)100元時(shí)可全部售完，若定價(jià)每提高1元時(shí)銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤(rùn)，則銷售價(jià)應(yīng)定為（）A、110元B、130元C、150元D、190元5.某新型電子產(chǎn)品2023年投產(chǎn)，計(jì)劃2023年使其成本降低36℅.則平均每年應(yīng)降低成本%.三、學(xué)習(xí)引領(lǐng)1．?dāng)?shù)學(xué)模型所謂數(shù)學(xué)模型是指對(duì)客觀實(shí)際的特征或數(shù)量關(guān)系進(jìn)行抽象概括，用形式化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型剔除了事物中一切與研究目標(biāo)無(wú)本質(zhì)聯(lián)系的各種屬性，在純粹狀態(tài)下研究數(shù)量關(guān)系和空間形式，函數(shù)就是最重要的數(shù)學(xué)模型，用函數(shù)解決方程問(wèn)題，使求解變得容易進(jìn)行，這是數(shù)學(xué)模型間的相互轉(zhuǎn)換在發(fā)揮作用.而用函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)模型是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁.2．關(guān)于數(shù)學(xué)建模中的假設(shè)就一般的數(shù)學(xué)建模來(lái)說(shuō)，是離不開(kāi)假設(shè)的，如果在問(wèn)題的原始狀態(tài)下不作任何假設(shè)，將所有的變化因素全部考慮進(jìn)去，對(duì)于稍復(fù)雜一點(diǎn)的問(wèn)題就無(wú)法下手。假設(shè)的作用主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）進(jìn)一步明確模型中需要考慮的因素和它們?cè)趩?wèn)題中的作用。初步接觸一個(gè)問(wèn)題，會(huì)覺(jué)得圍繞它的因素非常多，經(jīng)仔細(xì)分析篩查，發(fā)現(xiàn)有的因素并無(wú)實(shí)質(zhì)聯(lián)系，有的因素是無(wú)關(guān)緊要的，排除這些因素，問(wèn)題則越發(fā)清晰明朗.在假設(shè)時(shí)就可以設(shè)這些因素不需考慮.（2）由于每一個(gè)解題者的能力不同，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)就可以有能力建立數(shù)學(xué)模型，并且得到相應(yīng)的解.四、典例導(dǎo)析1、一次、二次函數(shù)模型：例1、南京的某報(bào)刊零售點(diǎn)，從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)某報(bào)紙的價(jià)格是每份元，賣(mài)出的價(jià)格是每份元，賣(mài)不掉的報(bào)紙可以以每份元的價(jià)格退回報(bào)社．在一個(gè)月（以天計(jì)算）里，有天每天可賣(mài)出份，其余每天只能賣(mài)出份，但每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)的份數(shù)必須相同，這個(gè)攤主每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)多少份，才能使每月所獲利潤(rùn)最大？并計(jì)算他一個(gè)月最多可賺得多少元？思路導(dǎo)析：此問(wèn)題是關(guān)于利潤(rùn)和份數(shù)的關(guān)系,根據(jù)經(jīng)驗(yàn)我們知道:利潤(rùn)每份報(bào)紙賺的錢(qián)份數(shù)賣(mài)不掉的報(bào)紙份數(shù)每份報(bào)紙?zhí)澋腻X(qián),的取值范圍是.解析:設(shè)每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)份報(bào)紙，每月獲得總利潤(rùn)元，則由題意，，，∵函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴時(shí)，元，所以，該攤主每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)份時(shí)，每月所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為元．規(guī)律總結(jié):建立目標(biāo)函數(shù)后一定要注意實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中變量的取值范圍變式練習(xí)：1、某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元.銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表所示：銷售單價(jià)/元6789日均銷售量/桶480440400360銷售單價(jià)/元101112日均銷售量/桶320280240請(qǐng)據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個(gè)經(jīng)營(yíng)部怎樣定價(jià)才能獲得最大利潤(rùn)？2、擬合函數(shù)模型例2、某皮鞋廠從今年1月份開(kāi)始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬(wàn)雙，萬(wàn)雙，萬(wàn)雙，萬(wàn)雙.由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式新穎，前幾個(gè)月的銷售情況良好.為了推銷員在推銷產(chǎn)品時(shí)，接受定單不至于過(guò)多或過(guò)少，需要估計(jì)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量.廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程.廠里也暫時(shí)不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人.假如你是廠長(zhǎng)，就月份x，產(chǎn)量y給出四種函數(shù)模型：y=ax+b，y=ax2+bx+c，,y=abx+c，你將利用哪一種模型去估算以后幾個(gè)月的產(chǎn)量？思路導(dǎo)析：本題是通過(guò)數(shù)據(jù)驗(yàn)證，確定系數(shù)，然后分析確定函數(shù)的變化情況，最終找出與實(shí)際最接近的函數(shù)模型.解析：由題知A(1，1)，B(2，，C

(3，，D(4，.（1）設(shè)模擬函數(shù)為y=ax+b，將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式，有，所以得y=+1.（2）設(shè)y=ax2+bx+c，將A，B，C三點(diǎn)代入，有所以y=–++.（3）設(shè)，將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，有所以（4）設(shè)y=abx+c，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得綜上所述：所以y=–×+=規(guī)律總結(jié)：本題是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)模擬，選擇最符合的模擬函數(shù).一般思路要畫(huà)出散點(diǎn)圖，然后作出模擬函數(shù)的圖象，選擇適合的幾種函數(shù)類型后，再加以驗(yàn)證.函數(shù)模型的建立是最大的難點(diǎn)，另外運(yùn)算量較大，必須借助計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，函數(shù)模型的可靠性與合理性既需要數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，又必須與具體實(shí)際結(jié)合起來(lái).變式練習(xí)2、某地區(qū)今年1月，2月，3月患某種傳染病的人數(shù)分別為52，61，68.為了預(yù)測(cè)以后各月的患病人數(shù)，甲選擇了模型y=ax2+bx+c，乙選擇了模型y=pqx+r，其中y為患病人數(shù)，x為月份數(shù)，a,b,c,p,q,r都是常數(shù).結(jié)果4月，5月，6月份的患病人分別為74,78，83，你認(rèn)為誰(shuí)選擇的模型較好？五、隨堂練習(xí)2．某種電熱水器的水箱盛滿水是升，加熱到一定程度可浴用.浴用時(shí)，已知每分鐘放水升，在放水的同時(shí)注水，分鐘注水升，當(dāng)水箱內(nèi)水量達(dá)到最小值時(shí)，放水自動(dòng)停止.現(xiàn)假定每人洗浴用水升，則該熱水器一次至多可供（）洗澡.人人人人3．某不法商人將彩電先按原價(jià)提高，然后在廣告中寫(xiě)上“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結(jié)果是每臺(tái)彩電比原價(jià)多賺了元，那么每臺(tái)彩電原價(jià)是元．4、有一批材料可以圍成長(zhǎng)的圍墻，現(xiàn)用此材料圍成一塊矩形場(chǎng)地，且內(nèi)部用此材料隔成兩塊矩形（如圖），則圍成的矩形場(chǎng)地面積的最大值為_(kāi)_____________.5、如圖，河流航線長(zhǎng)，工廠位于碼頭正北處，原來(lái)工廠所需原料需由碼頭裝船沿水路到碼頭后，再改陸運(yùn)到工廠，由于水運(yùn)太長(zhǎng)，運(yùn)費(fèi)頗高，工廠與航運(yùn)局協(xié)商在段上建一碼頭，并由碼頭到工廠修一條新公路，原料改為按由到再到的路線運(yùn)輸，設(shè)，每噸的貨物總運(yùn)費(fèi)為元，已知每噸貨物每千米運(yùn)費(fèi)水路為元，陸路為元.（1）試寫(xiě)出元關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使運(yùn)費(fèi)最省，碼頭應(yīng)建在何處？六、課后作業(yè)1、東方旅社有張普通客床，每床每天收租費(fèi)元，客床可以全部都租出；若每床每天收費(fèi)提高元，出租的床的數(shù)量便減少?gòu)?；再提高元，再減少?gòu)?，依此變化下去，為了投資少而獲利到達(dá)每床每天應(yīng)提高租金（）元.或2、如圖，某工廠年來(lái)某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與時(shí)間（年）的函數(shù)關(guān)系，下面四種說(shuō)法中，正確的是（）①前三年中產(chǎn)量增加的速度越來(lái)越快；②前三年中產(chǎn)量增長(zhǎng)的速度越來(lái)越慢；③第三年后，這種產(chǎn)品停止生產(chǎn)；④第三年后，這種產(chǎn)品產(chǎn)量保持不變．②③②④①③①④3、某種商品，生產(chǎn)噸需投入固定成本元，可變成本為元，而賣(mài)出噸的價(jià)格為每噸元，其中（為常數(shù)），如果生產(chǎn)的噸產(chǎn)品全部賣(mài)掉，可獲利元，則利潤(rùn)與產(chǎn)銷量的函數(shù)關(guān)系式為．4、某水廠的蓄水池中有噸水，水廠每小時(shí)可向蓄水池中注入噸水，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)不斷供水，小時(shí)內(nèi)供水總量為噸.（1）從供水開(kāi)始到第幾小時(shí)，蓄水池中水量最小？最小水量是多少？（2）若蓄水池中水量小于噸，就會(huì)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象，試問(wèn)在一天內(nèi)有幾個(gè)小時(shí)會(huì)出現(xiàn)供水緊張現(xiàn)象？5．南京的某報(bào)刊零售點(diǎn)，從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)某報(bào)紙的價(jià)格是每份元，賣(mài)出的價(jià)格是每份元，賣(mài)不掉的報(bào)紙可以以每份元的價(jià)格退回報(bào)社．在一個(gè)月（以天計(jì)算）里，有天每天可賣(mài)出份，其余每天只能賣(mài)出份，但每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)的份數(shù)必須相同，這個(gè)攤主每天從報(bào)社買(mǎi)進(jìn)多少份，才能使每月所獲利潤(rùn)最大？并計(jì)算他一個(gè)月最多可賺得多少元？6．已知某商品的價(jià)格上漲，銷售的數(shù)量就減少，其中為正的常數(shù)．（2）如果適當(dāng)?shù)貪q價(jià)，能使銷售總金額增加，求的取值范圍．第四課時(shí)，函數(shù)模型的綜合應(yīng)用一、課前準(zhǔn)備2．基礎(chǔ)預(yù)探（1）．單調(diào)性（2）.判定開(kāi)口方向；二、基本知識(shí)習(xí)題化1.B解析：由題意得，上升的速度越來(lái)越慢，故選B2.D解析：根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可驗(yàn)證，函數(shù)最接近實(shí)際，故選D。3.D解析：由題意得，根據(jù)表中的圖象的變化趨勢(shì)得，00年的增長(zhǎng)最快，故選D。4.解：假設(shè)提高售價(jià)x元，獲得總利潤(rùn)y元由題意得，y=（20+x）（1000-5x）-80×5x=-5x2+500x+20000（0≤x≤200，x∈N）∵對(duì)稱軸x=50∴當(dāng)x=50即售價(jià)定為150元時(shí)，利潤(rùn)最大；ymax=-5×2500+500×50+20000=32500，∴售價(jià)定為150元時(shí)，利潤(rùn)最大．故選C5.解：設(shè)平均每年降低x，（1-x）2=1-36%解得x=20%或x=180%（舍去）．故平均每年降低20%．四、典例導(dǎo)析變式練習(xí)：1、解：根據(jù)表，銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售量就減少40桶.設(shè)在進(jìn)價(jià)基礎(chǔ)上增加x元后，日均銷售利潤(rùn)為y元，而在此情況下的日均銷售量就為480–40(x–1)=520–40x(桶)由于x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，于是可得y=(520–40x)x–200=–40x2+520x–200，0＜x＜13易知，當(dāng)x=時(shí)，y有最大值.所以，只需將銷售單價(jià)定為元，就可獲得最大的利潤(rùn).2、解析：老師借助電腦解答問(wèn)題（1）列表（2）畫(huà)散點(diǎn)圖.（3）確定函數(shù)模型.甲：y1=–x2+12x+41，乙：y2=–×+（4）做出函數(shù)圖象進(jìn)行比較.計(jì)算x=6時(shí)，y1=77，y2=.可見(jiàn)，乙選擇的模型較好.五、隨堂練習(xí)1、答案：D2．答案：B解析：設(shè)最多用分鐘，則水箱內(nèi)水量，當(dāng)時(shí)有最小值，此時(shí)共放水升，可供人洗澡.3．答案：4、答案：5、分析：=1\*GB3①.總運(yùn)費(fèi)元水路運(yùn)費(fèi)陸路運(yùn)費(fèi)=2\*GB3②.水路運(yùn)費(fèi)元,陸路長(zhǎng)度可以勾股定理求得:陸路運(yùn)費(fèi)(元).=3\*GB3③.建立此問(wèn)題的函數(shù)模型:.對(duì)于問(wèn)題(2)我們可以利用求函數(shù)值域的方法求得運(yùn)費(fèi)最省時(shí),點(diǎn)的位置.六、課后作業(yè)1、答案：B2、答案：B3、答案：4、答案：（1）小時(shí)，噸；5