高中數(shù)學(xué)人教A版1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試 高質(zhì)作品

選修1-1第三章3.一、選擇題1．函數(shù)y＝2x3－3x2－12x＋5在[－2,1]上的最大值、最小值分別是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600712)()A．12；－8 B．1；－8C．12；－15 D．5；－16[答案]A[解析]y′＝6x2－6x－12，由y′＝0?x＝－1或x＝2(舍去)．x＝－2時(shí)y＝1，x＝－1時(shí)y＝12，x＝1時(shí)y＝－8.∴ymax＝12，ymin＝－8.故選A．2．函數(shù)f(x)＝x3－3x(|x|<1)eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600713)()A．有最大值，但無(wú)最小值 B．有最大值，也有最小值C．無(wú)最大值，但有最小值 D．既無(wú)最大值，也無(wú)最小值[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∵x∈(－1,1)，∴f′(x)<0，即函數(shù)在(－1,1)上是減少的，∴既無(wú)最大值，也無(wú)最小值．3．函數(shù)f(x)＝3x－x3(－eq\r(3)≤x≤3)的最大值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600714)()A．18 B．2C．0 D．－18[答案]B[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1，－eq\r(3)≤x<－1時(shí)，f′(x)<0，－1<x<1時(shí)，f′(x)>0,1<x≤3時(shí)，f′(x)<0，故函數(shù)在x＝－1處取極小值，在x＝1處取極大值．∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，又f(－eq\r(3))＝0，f(3)＝－18，∴[f(x)]max＝2，[f(x)]min＝－18.4．若函數(shù)f(x)＝x3－3x－a在區(qū)間[0,3]上的最大值、最小值分別為M、N，則M－N的值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600715)()A．2 B．4C．18 D．20[答案]D[解析]f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.f(0)＝－a,f(1)＝－2－a,f(3)＝18－a，∴f(x)max＝18－a，f(x)min＝－2－a，∴18－a－(－2－a)＝20.5．下列說(shuō)法正確的是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600716)()A．函數(shù)的極大值就是函數(shù)的最大值B．函數(shù)的極小值就是函數(shù)的最小值C．函數(shù)的最值一定是極值D．在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最值[答案]D[解析]根據(jù)最大值、最小值的概念可知選項(xiàng)D正確．6．函數(shù)f(x)＝lnx－x在區(qū)間[0，e]上的最大值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600717)()A．－1 B．1－eC．－e D．0[答案]A[解析]f′(x)＝eq\f(1,x)－1＝eq\f(1－x,x)，令f′(x)>0，得0<x<1，令f′(x)<0，得1<x<e，∴f(x)在(0,1)上遞增，在(1，e)上遞減，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取極大值，這個(gè)極大值也是最大值．∴f(x)max＝f(1)＝－1.二、填空題7．當(dāng)x∈[－1,1]時(shí)，函數(shù)f(x)＝eq\f(x2,ex)的值域是\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600718)[答案][0，e][解析]f′(x)＝eq\f(2x·ex－x2·ex,ex2)＝eq\f(2x－x2,ex)，令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.f(－1)＝e,f(0)＝0,f(1)＝eq\f(1,e)，∴f(x)max＝e,f(x)min＝0，故函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，e]．8．若函數(shù)f(x)＝3x－x3＋a，－eq\r(3)≤x≤3的最小值為8，則a的值是________.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600719)[答案]26[解析]f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0，得x＝±1.f(1)＝2＋a，f(－1)＝－2＋a.又f(－eq\r(3))＝a，f(3)＝－18＋a.∴f(x)min＝－18＋a.由－18＋a＝8.得a＝26.三、解答題9．(2023·福建寧德市高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)＝x3－2ax2＋3ax在x＝1時(shí)取得極值.eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600720)(1)求a的值；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)－k≤0在區(qū)間[0,4]上恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．[解析](1)f′(x)＝3x2－4ax＋3a由題意得f′(1)＝3－4a＋3a＝0，∴經(jīng)檢驗(yàn)可知，當(dāng)a＝3時(shí)f(x)在x＝1時(shí)取得極值．(2)由(1)知，f(x)＝x3－6x2＋9x，∵f(x)－k≤0在區(qū)間[0,4]上恒成立，∴k≥f(x)max即可．f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x2－4x＋3)＝3(x－1)(x－3)，令f′(x)>0，得3<x<4或0<x<1，令f′(x)<0，得1<x<3.∴f(x)在(0,1)上遞增，(1,3)上遞減，(3,4)上遞增，∴當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取極大值f(1)＝4，當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)取極小值f(3)＝0.又f(0)＝0，f(4)＝4，∴f(x)max＝4，∴k≥4.一、選擇題1．函數(shù)f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600721)()A．eq\f(2\r(3),9) B．eq\f(2\r(2),9)C．eq\f(3\r(2),9) D．eq\f(3,8)[答案]A[解析]f′(x)＝1－3x2＝0，得x＝eq\f(\r(3),3)∈[0,1]，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))＝eq\f(2\r(3),9)，f(0)＝f(1)＝0.∴f(x)max＝eq\f(2\r(3),9).2．已知函數(shù)f(x)，g(x)均為[a，b]上的可導(dǎo)函數(shù)，在[a，b]上圖象連續(xù)不斷且f′(x)<g′(x)，則f(x)－g(x)的最大值為eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600722)()A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)[答案]A[解析]令u(x)＝f(x)－g(x)，則u′(x)＝f′(x)－g′(x)<0，∴u(x)在[a，b]上為單調(diào)減少的，∴u(x)的最大值為u(a)＝f(a)－g(a)．3．設(shè)在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且在區(qū)間[a，b]上存在導(dǎo)數(shù)，有下列三個(gè)命題：①若f(x)在[a，b]上有最大值，則這個(gè)最大值必是[a，b]上的極大值；②若f(x)在[a，b]上有最小值，則這個(gè)最小值必是[a，b]上的極小值；③若f(x)在[a，b]上有最值，則最值必在x＝a或x＝b處取得．其中正確的命題個(gè)數(shù)是eq\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600723)()A．0 B．1C．2 D．3[答案]A[解析]由于函數(shù)的最值可能在區(qū)間[a，b]的端點(diǎn)處取得，也可能在區(qū)間[a，b]內(nèi)取得，而當(dāng)最值在區(qū)間端點(diǎn)處取得時(shí)，其最值必不是極值，因此3個(gè)命題都是假命題．4．當(dāng)x∈[0,5]時(shí)，函數(shù)f(x)＝3x2－4x＋c的值域?yàn)閑q\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600724)()A．[f(0)，f(5)] B．[f(0)，f(eq\f(2,3))]C．[f(eq\f(2,3))，f(5)] D．[c，f(5)][答案]C[解析]f′(x)＝6x－4，令f′(x)＝0，則x＝eq\f(2,3)，0<x<eq\f(2,3)時(shí)，f′(x)<0，x>eq\f(2,3)時(shí)，f′(x)>0，得f(eq\f(2,3))為極小值，再比較f(0)和f(5)與f(eq\f(2,3))的大小即可．二、填空題5．函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值的和是\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600725)[答案]－10[解析]f′(x)＝6x2－6x－12，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝2.但x∈[0,3]，∴x＝－1舍去，∴x＝2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x0(0,2)2(2,3)3f′(x)－12－0＋24f(x)5↘－15↗－4由上表，知f(x)max＝5，f(x)min＝－15，所以f(x)max＋f(x)min＝－10.6．函數(shù)f(x)＝ax4－4ax3＋b(a>0)，x∈[1,4]，f(x)的最大值為3，最小值為－6，則a＋b＝\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600726)[答案]eq\f(10,3)[解析]f′(x)＝4ax3－12ax2.令f′(x)＝0，得x＝0(舍去)，或x＝3.1<x<3時(shí)，f′(x)<0,3<x<4時(shí)，f′(x)>0，故x＝3為極小值點(diǎn)．∵f(3)＝b－27a，f(1)＝b－3a，f(4)＝∴f(x)的最小值為f(3)＝b－27a，最大值為f(4)＝b∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝3，,b－27a＝－6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,3)，,b＝3，))∴a＋b＝eq\f(10,3).三、解答題7．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5，曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(1，f(1))處的切線方程為y＝3x＋\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600727)(1)求a、b的值；(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值．[解析](1)依題意可知點(diǎn)P(1，f(1))為切點(diǎn)，代入切線方程y＝3x＋1可得，f(1)＝3×1＋1＝4，∴f(1)＝1＋a＋b＋5＝4，即a＋b＝－2，又由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋5得，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，而由切線方程y＝3x＋1的斜率可知f′(1)＝3，∴3＋2a＋b＝3，即2a＋由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝－2,2a＋b＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－4)).∴a＝2，b＝－4.(2)由(1)知f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(2,3)或x＝－2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)、f′(x)的變化情況如下表：x－3(－3，－2)－2(－2，eq\f(2,3))eq\f(2,3)(eq\f(2,3)，1)1f′(x)＋0－0＋f(x)8↗極大值↘極小值↗4∴f(x)的極大值為f(－2)＝13，極小值為f(eq\f(2,3))＝eq\f(95,27)，又f(－3)＝8，f(1)＝4，∴f(x)在[－3,1]上的最大值為13.8．設(shè)f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋\x(導(dǎo)學(xué)號(hào)92600728)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；(2)當(dāng)x∈[－1,2]時(shí)，f(x)<m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解析](1)f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0?x＝1或x＝－eq\f(2,3).所以當(dāng)x∈(－∞，－eq\f(2,3))時(shí)f′(x)>0,f(x)為增函數(shù)；當(dāng)x∈(－eq\f(2,3)，1)時(shí)，f′(x)<0,f(x)為減函數(shù)．當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)>0,f(x)