高中數(shù)學(xué)人教A版第二章數(shù)列等比數(shù)列的前n項(xiàng)和 第二章

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及公式證明思路.2.會(huì)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決有關(guān)等比數(shù)列的一些簡(jiǎn)單問題．知識(shí)點(diǎn)一等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)思考對(duì)于S64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的兩邊可得2S64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，對(duì)這兩個(gè)式子作怎樣的運(yùn)算能解出S64?答案比較兩式易知，兩式相減能消去同類項(xiàng)，解出S64，即S64＝eq\f(1－264,1－2)＝264－1.梳理設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公比是q，前n項(xiàng)和Sn可用下面的“錯(cuò)位相減法”求得．Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1. ①則qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn. ②由①－②得(1－q)Sn＝a1－a1qn.當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝eq\f(a11－qn,1－q).當(dāng)q＝1時(shí)，由于a1＝a2＝…＝an，所以Sn＝na1.結(jié)合通項(xiàng)公式可得：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1，,na1q＝1.))知識(shí)點(diǎn)二等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用思考要求等比數(shù)列前8項(xiàng)的和：(1)若已知其前三項(xiàng)，用哪個(gè)公式比較合適？(2)若已知a1，a9，q的值．用哪個(gè)公式比較合適？答案(1)用Sn＝eq\f(a11－qn,1－q).(2)用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q).梳理一般地，使用等比數(shù)列求和公式時(shí)需注意：(1)一定不要忽略q＝1的情況；(2)知道首項(xiàng)a1、公比q和項(xiàng)數(shù)n，可以用eq\f(a11－qn,1－q)；知道首尾兩項(xiàng)a1，an和q，可以用eq\f(a1－anq,1－q)；(3)在通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中共出現(xiàn)了五個(gè)量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三個(gè)，可求其余兩個(gè)．類型一等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用命題角度1前n項(xiàng)和公式的直接應(yīng)用例1求下列等比數(shù)列前8項(xiàng)的和：(1)eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，eq\f(1,8)，…；(2)a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，q<0.解(1)因?yàn)閍1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，所以S8＝eq\f(\f(1,2)[1－\f(1,2)8],1－\f(1,2))＝eq\f(255,256).(2)由a1＝27，a9＝eq\f(1,243)，可得eq\f(1,243)＝27·q8.又由q<0，可得q＝－eq\f(1,3).所以S8＝eq\f(27[1－－\f(1,3)8],1－－\f(1,3))＝eq\f(1640,81).反思與感悟求等比數(shù)列前n項(xiàng)和，要確定首項(xiàng)、公比或首項(xiàng)、末項(xiàng)、公比，應(yīng)特別注意q＝1是否成立．跟蹤訓(xùn)練1若等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，則公比q＝________；前n項(xiàng)和Sn＝________.答案22n＋1－2解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q，∵a2＋a4＝20，a3＋a5＝40，∴20q＝40，且a1q＋a1q3＝20，解得q＝2，且a1＝2.因此Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)＝2n＋1－2.命題角度2通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式的綜合應(yīng)用例2在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.解由題意，得若q＝1，則S3＝3a1＝6，符合題意．此時(shí)，q＝1，a3＝a1＝2.若q≠1，則由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，得S3＝eq\f(a11－q3,1－q)＝eq\f(21－q3,1－q)＝6，解得q＝－2.此時(shí)，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.綜上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.反思與感悟(1)應(yīng)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，首先要對(duì)公比q＝1或q≠1進(jìn)行判斷，若兩種情況都有可能，則要分類討論．(2)當(dāng)q＝1時(shí)，等比數(shù)列是常數(shù)列，所以Sn＝na1；當(dāng)q≠1時(shí)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn有兩個(gè)公式．當(dāng)已知a1，q與n時(shí)，用Sn＝eq\f(a11－qn,1－q)比較方便；當(dāng)已知a1，q與an時(shí)，用Sn＝eq\f(a1－anq,1－q)比較方便．跟蹤訓(xùn)練2在等比數(shù)列{an}中，S2＝30，S3＝155，求Sn.解方法一由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a11＋q＝30，,a11＋q＋q2＝155，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6).))從而Sn＝eq\f(51－5n,1－5)＝eq\f(5,4)(5n－1)或Sn＝eq\f(180[1－－\f(5,6)n],1－－\f(5,6))＝eq\f(1080[1－－\f(5,6)n],11)，n∈N*.方法二若q＝1，則S3∶S2＝3∶2，而事實(shí)上，S3∶S2＝31∶6，故q≠1.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a11－q2,1－q)＝30，①,\f(a11－q3,1－q)＝155，②))兩式作比，得eq\f(1＋q,1＋q＋q2)＝eq\f(6,31)，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,q＝5))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝180，,q＝－\f(5,6)，))從而Sn＝eq\f(51－5n,1－5)＝eq\f(5,4)(5n－1)或Sn＝eq\f(180[1－－\f(5,6)n],1－－\f(5,6))＝eq\f(1080[1－－\f(5,6)n],11)，n∈N*.類型二等比數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用例3借貸10000元，月利率為1%，每月以復(fù)利計(jì)息，王老師從借貸后第二個(gè)月開始等額還貸，分6個(gè)月付清，試問每月應(yīng)支付多少元？≈,≈，精確到整數(shù))解方法一設(shè)每個(gè)月還貸a元，第1個(gè)月后欠款為a0元，以后第n個(gè)月還貸a元后，還剩下欠款an元(1≤n≤6，n∈N*)，則a0＝10000，a1＝－a，a2＝－a＝－(1＋a，…a6＝－a＝…＝－[1＋＋…＋]a.由題意，可知a6＝0，即－[1＋＋…＋]a＝0，a＝eq\f×102,－1).因?yàn)椤?，所以a≈eq\f×102,－1)≈1739(元)．故每月應(yīng)支付1739元．方法二一方面，借款10000元，將此借款以相同的條件存儲(chǔ)6個(gè)月，則它的本利和為S1＝104(1＋6＝104×6(元)，另一方面，設(shè)每個(gè)月還貸a元，分6個(gè)月還清，到貸款還清時(shí)，其本利和為S2＝a(1＋5＋a(1＋4＋…＋a＝eq\f(a[1＋6－1],－1)＝a[－1]×102(元)．由S1＝S2，得a＝eq\f×102,－1)≈1739(元)．故每月應(yīng)支付1739元．反思與感悟解決此類問題的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型及弄清數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，所謂復(fù)利計(jì)息，即把上期的本利和作為下一期本金，在計(jì)算時(shí)每一期本金的數(shù)額是不同的，復(fù)利的計(jì)算公式為S＝P(1＋r)n，其中P代表本金，n代表存期，r代表利率，S代表本利和．跟蹤訓(xùn)練3一個(gè)熱氣球在第一分鐘上升了25m的高度，在以后的每一分鐘里，它上升的高度都是它在前一分鐘里上升高度的80%.這個(gè)熱氣球上升的高度能超過125m嗎？解用an表示熱氣球在第n分鐘上升的高度，由題意，得an＋1＝eq\f(4,5)an，因此，數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝25，公比q＝eq\f(4,5)的等比數(shù)列．熱氣球在前n分鐘內(nèi)上升的總高度為Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(a11－qn,1－q)＝eq\f(25×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n)),1－\f(4,5))＝125×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))n))<125.故這個(gè)熱氣球上升的高度不可能超過125m.1．等比數(shù)列1，x，x2，x3，…的前n項(xiàng)和Sn等于()\f(1－xn,1－x) \f(1－xn－1,1－x)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn,1－x)，x≠1，,n，x＝1)) \b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1－xn－1,1－x)，x≠1，,n，x＝1))答案C解析當(dāng)x＝1時(shí)，Sn＝n；當(dāng)x≠1時(shí)，Sn＝eq\f(1－xn,1－x).2．設(shè)等比數(shù)列{an}的公比q＝2，前n項(xiàng)和為Sn，則eq\f(S4,a2)等于()A．2B．4\f(15,2)\f(17,2)答案C解析方法一由等比數(shù)列的定義，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝eq\f(a2,q)＋a2＋a2q＋a2q2，得eq\f(S4,a2)＝eq\f(1,q)＋1＋q＋q2＝eq\f(15,2).方法二S4＝eq\f(a11－q4,1－q)，a2＝a1q，∴eq\f(S4,a2)＝eq\f(1－q4,1－qq)＝eq\f(15,2).3．等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，若a1＝81，a5＝16，則它的前5項(xiàng)的和是()A．179 B．211C．243 D．275答案B解析∵q4＝eq\f(a5,a1)＝eq\f(16,81)＝(eq\f(2,3))4，且q>0，∴q＝eq\f(2,3)，∴S5＝eq\f(a1－a5q,1－q)＝eq\f(81－16×\f(2,3),1－\f(2,3))＝211.4．某廠去年產(chǎn)值為a，計(jì)劃在5年內(nèi)每年比上一年產(chǎn)值增長10%，從今年起5年內(nèi)，該廠的總產(chǎn)值為________．答案11a－1)解析去年產(chǎn)值為a，今年起5年內(nèi)各年的產(chǎn)值分別為，,,,.∴＋＋＋＋＝11a－1)．1．在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中，共涉及五個(gè)量：a1，an，n，q，Sn，其中首項(xiàng)a1和公比q為基本量，且“知三求二”．2．前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用中，注意前n項(xiàng)和公式要分類討論，即當(dāng)q≠1和q＝1時(shí)是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情況．3．一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列且公比為q，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減的方法求和．40分鐘課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．設(shè)數(shù)列{(－1)n}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn等于()\f(n[－1n－1],2) \f(－1n＋1＋1,2)\f(－1n＋1,2) \f(－1n－1,2)答案D解析Sn＝eq\f(－1[1－－1n],1－－1)＝eq\f(－1n－1,2).2．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，前3項(xiàng)和為21，則a3＋a4＋a5等于()A．33 B．72C．84 D．189答案C解析由S3＝a1(1＋q＋q2)＝21且a1＝3，得q2＋q－6＝0.∵q>0，∴q＝2，∴a3＋a4＋a5＝q2(a1＋a2＋a3)＝q2·S3＝22·21＝84.3．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則eq\f(S5,S2)等于()A．11 B．5C．－8 D．－11答案D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，則eq\f(S5,S2)＝eq\f(a11＋25,a11－22)＝－11.4．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，則a1等于()\f(1,3) B．－eq\f(1,3)\f(1,9) D．－eq\f(1,9)答案C解析設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由S3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝eq\f(1,9).5．一彈球從100米高處自由落下，每次著地后又跳回到原來高度的一半再落下，則第10次著地時(shí)所經(jīng)過的路程和是(結(jié)果保留到個(gè)位)()A．300米 B．299米C．199米 D．166米答案A解析小球10次著地共經(jīng)過的路程為100＋100＋50＋…＋100×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))8＝299eq\f(39,64)≈300(米)．6．已知數(shù)列{an}滿足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq\f(4,3)，則{an}的前10項(xiàng)和等于()A．－6(1－3－10) \f(1,9)(1－3－10)C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)答案C解析由3an＋1＋an＝0，得eq\f(an＋1,an)＝－eq\f(1,3)，故數(shù)列{an}是公比q＝－eq\f(1,3)的等比數(shù)列．又a2＝－eq\f(4,3)，可得a1＝4.所以S10＝eq\f(4\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－－\f(1,3)10)),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))))＝3(1－3－10)．二、填空題7．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，S6＝4S3，則a4＝________.答案3解析∵S6＝4S3?eq\f(a11－q6,1－q)＝eq\f(4·a11－q3,1－q)?q3＝3.∴a4＝a1·q3＝1×3＝3.8．?dāng)?shù)列a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，那么an＝________.答案2n－1解析an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－a1＝2，,a3－a2＝22，,…,an－an－1＝2n－1.))各式相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2＝2n－1.9．等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S1,2S2,3S3成等差數(shù)列，則{an}的公比為________．答案eq\f(1,3)解析由已知4S2＝S1＋3S3，即4(a1＋a2)＝a1＋3(a1＋a2＋a3)．∴a2＝3a3，∴{an}的公比q＝eq\f(a3,a2)＝eq\f(1,3).10．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＋S6＝2S9，則數(shù)列的公比q＝________.答案－eq\f(\r(3,4),2)解析當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1，S3＋S6＝3a1＋6a1＝9a1＝S9≠2S9；當(dāng)q≠1時(shí)，eq\f(a11－q3,1－q)＋eq\f(a11－q6,1－q)＝2×eq\f(a11－q9,1－q)，得2－q3－q6＝2－2q9，∴2q9－q6－q3＝0，解得q3＝－eq\f(1,2)或q3＝1(舍去)或q3＝0(舍去)，∴q＝－eq\f(\r(3,4),2).三、解答題11．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，n∈N*.解設(shè)Sn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，則2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，∴－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝eq\f(21－2n,1－2)－n×2n＋1＝2n＋1－2－n×2n＋1＝(1－n)×2n＋1－2，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.12．為保護(hù)我國的稀土資源，國家限定某礦區(qū)的出口總量不能超過80噸，該礦區(qū)計(jì)劃從2023年開始出口，當(dāng)年出口a噸，以后每年出口量均比上一年減少10%.(1)以2023年為第一年，設(shè)第n年出口量為an噸，試求an的表達(dá)式；(2)因稀土資源不能再生，國家計(jì)劃10年后終止該礦區(qū)的出口，問2023年最多出口多少噸？(保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈解(1)由題意知每年的出口量構(gòu)成等比數(shù)列，且首項(xiàng)a1＝a，公比q＝1－10%＝，∴an＝a·－1(n≥1，n∈N*)．(2)10年的出口總量S10＝eq\f(a