談?wù)勅绾翁岣邔W(xué)生的高層次數(shù)學(xué)思維

1改進教學(xué)設(shè)計,提高學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)思維能力鮑建生華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系jsbao@一、問題的提出一些研究認(rèn)為：中國學(xué)生善于解決問題，但不善于提出問題；中國學(xué)生善于解常規(guī)問題，不善于解非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題；中國學(xué)生缺少批評性思維和創(chuàng)新意識；中國學(xué)生既不會獨立思考，又缺乏合作精神？你同意上述觀點嗎？（相關(guān)研究：Brenner,Herman,Ho,&Zimmer,1999;Cai,1995,1997,1998,2000;Gu,1997;Miuraetal.,1988;Stevenson,Lee,Chen,&Lummis,1990;Stigler&Perry,1988;Wang,JandLin,E.,2005）存在的問題數(shù)學(xué)認(rèn)知水平測試17年前后比較（青浦實驗“新世紀(jì)行動”研究小組，2008）研究聚焦如何提高學(xué)生的高層次數(shù)學(xué)認(rèn)知能力？4二、研究思路分析框架基本假設(shè)現(xiàn)狀調(diào)查聚焦課堂實驗設(shè)計51、分析框架

概念界定水平模型分類模型因素模型指標(biāo)體系過程模型布盧姆認(rèn)知領(lǐng)域教育目標(biāo)分類7動詞層面新版（Anderson,etal,2001）事實知識（FactualKnowledge）概念知識（ConceptualKnowledge）程序知識（ProcedualKnowledge）元認(rèn)知知識（MetacognitiveKnowledge）知識維度(KnowledgeDimension）舊版（Bloom,1956）名詞層面評價（Evaluation）綜合（Synthesis）分析（Analysis）應(yīng)用（Application）了解（Comprehension）知識（Knowlodge）創(chuàng)造（Create）評價（Evaluate）分析（Analyze）應(yīng)用（Apply）理解（Understand）記憶（Remember）認(rèn)知過程維度（CognitiveprocessDimension）威爾遜的目標(biāo)分類（1989）8水平類別指標(biāo)A計算A1：具體事實的知識；A2：術(shù)語的知識；A3：實施算法的能力．B領(lǐng)會B1：概念的知識；B2：原理、規(guī)則、通則的知識；B3：數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的知識；B4：把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的能力；B5：延續(xù)推理思路的能力；B6：閱讀和解釋問題的能力．C運用C1：解決常規(guī)問題的能力；C2：做出比較的能力；C3：分析已知條件的能力；C4：識別格局、同型性和對稱性的能力．D分析D1：解決非常規(guī)問題的能力；D2：發(fā)現(xiàn)關(guān)系的能力；D3：構(gòu)造證明的能力；D4：批評證明的能力；D5：形成和證實通則的能力．QUASAR的目標(biāo)分類（

Stein&Smith,1998）9低水平任務(wù)高水平任務(wù)記憶型任務(wù)包括對已學(xué)過的事實、法則、公式以及定義的記憶重現(xiàn)或者把事實、法則、公式和定義納入記憶系統(tǒng)．使用程序不能解決，因為不存在某種現(xiàn)成的程序或因為完成任務(wù)的限定時間太短而無法使用程序．模糊——這種任務(wù)包括對先前見過的材料的準(zhǔn)確再現(xiàn)以及再現(xiàn)的內(nèi)容可以明白而直接地陳述．與隱含于已學(xué)過的或再現(xiàn)的事實、法則、公式和定義之中的意義或概念無任何聯(lián)系．無聯(lián)系的程序型算法化．程序的使用要么是特別需要，要么明顯基于先前的教學(xué)、經(jīng)驗或?qū)θ蝿?wù)的安排．成功完成任務(wù)需要的認(rèn)知要求有限．對于應(yīng)做些什么和如何做幾乎是一目了然．與隱含于程序之中的意義或概念無任何聯(lián)系．更強調(diào)得出正確答案而不是發(fā)展數(shù)學(xué)的理解．不需要解釋或需要的解釋僅僅是對解題程序的描述．有聯(lián)系的程序型為了發(fā)展對數(shù)學(xué)概念和思想的更深層次理解，學(xué)生的注意力應(yīng)集中在程序的使用上．暗示有一條路徑可以遵循（顯性地或隱性地），這種路徑即是與隱含的觀念有密切聯(lián)系的、明晰的、一般性程序．常用的呈現(xiàn)方式有多種（如可視圖表、學(xué)具、符號、問題情景）．在多種表現(xiàn)形式之間建立起有助于發(fā)展意義理解的聯(lián)系．需要某種程度的認(rèn)知努力．盡管有一般的程序可資遵循，但卻不能不加考慮地應(yīng)用．為了成功完成任務(wù)和發(fā)展數(shù)學(xué)的理解，學(xué)生需要參與存在于這些程序中的觀念．做數(shù)學(xué)需要復(fù)雜的、非算法化的思維．（即任務(wù)、任務(wù)講解、或已完成的例子沒有明顯建議一個可預(yù)料的、預(yù)演好的方法或路徑借鑒）．探索和理解數(shù)學(xué)觀念、過程和關(guān)系的本質(zhì)．對自己的認(rèn)知過程自我調(diào)控．啟用相關(guān)知識經(jīng)驗，并在任務(wù)完成過程中恰當(dāng)使用．要求學(xué)生分析任務(wù)并積極檢查對可能的問題解決策略和解法起限制作用的因素．需要相當(dāng)大的認(rèn)知努力，也許由于解決策略不可預(yù)期的性質(zhì)，學(xué)生還會有某種程度的焦慮．青浦實驗的目標(biāo)分類10110F2F1分析運用領(lǐng)會概念計算數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)分類四層次架構(gòu)11較低認(rèn)知水平較高認(rèn)知水平①計算——操作性記憶水平

②概念——概念性記憶水平

③領(lǐng)會——說明性理解水平

④分析——探究性理解水平高層次數(shù)學(xué)認(rèn)知能力的評價指標(biāo)12發(fā)現(xiàn)并形成合適的數(shù)學(xué)問題：從各種情境中發(fā)現(xiàn)所包含的數(shù)學(xué)要素、關(guān)系或結(jié)構(gòu)，提出合適的數(shù)學(xué)問題；特殊化與一般化：全面結(jié)合已分解的各要素及其關(guān)系，按照模型需要對已有的數(shù)學(xué)概念、程序、性質(zhì)和命題進行推廣或特殊化；解決非常規(guī)的和開放性的數(shù)學(xué)問題；數(shù)學(xué)建模：分析出條件和結(jié)論間主要關(guān)系或重點步驟；形成假設(shè)或初步的數(shù)學(xué)模型；嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推理與證明。

2、基本假設(shè)13從目前國內(nèi)外已有的研究結(jié)果來看，影響學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的教學(xué)因素主要有兩個：學(xué)生所從事的數(shù)學(xué)任務(wù)，不同的數(shù)學(xué)任務(wù)需要不同的數(shù)學(xué)認(rèn)知活動（如Huntley,Rasmussen,Villarubi,Sangtong,&Fey,2000;Stein,Smith,Henningsen,&Silver,2000;Thompson&Senk,2001;Reys,Reys,Lappan,&Holliday,2003）；針對高認(rèn)知層次數(shù)學(xué)任務(wù)的教學(xué)策略（Golkar,2003;Hiebert,etal.,1997;Meyer,2003;NCTM,2000,1991;Silver&Smith,1997;VandeWalle,2004）。3、現(xiàn)狀調(diào)查14存在的問題：課程因素15教材題目認(rèn)知水平歸類統(tǒng)計圖（華師版的八年級）中英期望課程的探究水平（鮑建生，2002）中美初中數(shù)學(xué)課程在數(shù)學(xué)認(rèn)知水平上的差異數(shù)學(xué)認(rèn)知水平19存在的問題：課堂教學(xué)小步子：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的機會趕進度：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的空間套題型：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的意識重技巧：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的策略看分?jǐn)?shù)：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的動力牽著走：學(xué)生缺少數(shù)學(xué)探究的氛圍20存在的問題：解題教學(xué)教師只管自己講，學(xué)生：不理解；不動腦筋；缺乏興趣過分強調(diào)對題型的死記硬背；過分強調(diào)解題的技巧，不重視通性通法；簡單問題復(fù)雜化；題量太大，教師蜻蜓點水，學(xué)生一知半解；對解題過程缺乏回顧和總結(jié)；沒有做到舉一反三。4、聚焦課堂21課堂教學(xué)教學(xué)設(shè)計教學(xué)行為典型事件教學(xué)機智認(rèn)知過程教學(xué)設(shè)計22教學(xué)設(shè)計目標(biāo)分析學(xué)情分析任務(wù)分析背景分析導(dǎo)入設(shè)計問題設(shè)計情境設(shè)計活動設(shè)計5、實驗設(shè)計實驗周期：3年，每年一輪。實驗的基本假設(shè)是：高認(rèn)知水平的數(shù)學(xué)任務(wù)針對高水平任務(wù)的有效的教與學(xué)方式改進學(xué)生在高認(rèn)知水平數(shù)學(xué)任務(wù)上的表現(xiàn)實驗設(shè)計：

（1）日常教學(xué)的滲透；（2）活動課；（3）課外長作業(yè)。研究方法：（1）提升、保持、下降課堂教學(xué)數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的因素分析；（2）教學(xué)案例分析；（3）數(shù)學(xué)認(rèn)知水平測試；（4）跟蹤訪談；等。實驗班：實驗學(xué)校的全體學(xué)生；

對比班：實驗學(xué)校參與實驗前的同年級學(xué)生。24三、預(yù)研究教師問卷調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的現(xiàn)狀影響學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的因素提高學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的策略學(xué)生認(rèn)知水平的測試(五個方面單獨測試)教學(xué)案例分析任務(wù)設(shè)計;認(rèn)知分析;教學(xué)策略.25預(yù)研究：教學(xué)任務(wù)設(shè)計發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力折紙中的數(shù)學(xué)一次方程組的應(yīng)用一題多解探究勾股數(shù)模式構(gòu)建林福來提供的案例26什么是“好的”數(shù)學(xué)任務(wù)一個好的數(shù)學(xué)任務(wù)必須：是容易接受的（不需要大量的技巧）有多種解題方法（或者至少有多種思路）蘊涵了重要的數(shù)學(xué)思想（好的數(shù)學(xué)）不故設(shè)陷阱(通性通法)可以進一步開展和一般化（導(dǎo)致豐富的數(shù)學(xué)探索活動）——匈菲爾德，1994有些數(shù)學(xué)是具有開創(chuàng)性的，有發(fā)展的，這就是好的數(shù)學(xué)。還有一些數(shù)學(xué)也蠻有意思，但漸漸變成一種游戲了。——陳省身，20041、發(fā)現(xiàn)問題與提出問題27案例1：茅以升教學(xué)法每次上課的前十分鐘，茅以升先指定一名學(xué)生，讓他就前次學(xué)習(xí)課程提出一個疑難問題，從學(xué)生所提問題的深淺，可知他對課程的領(lǐng)會程度，以及自己是否作過深入的鉆研和探討。問題提得好，或教師都不能當(dāng)堂解答的，給提問學(xué)生打滿分。如提不出問題，則由另一學(xué)生提問，前一學(xué)生作答。著名教育家陶行知先生曾親自帶領(lǐng)教育科學(xué)生來聽茅以升的課，對他的教學(xué)方法評價很高，認(rèn)為“這的確是個嶄新的教學(xué)上的革命，是開創(chuàng)了我國教育的一個先例，值得推廣”。29老師我們在課前通過預(yù)習(xí)，基本掌握了一些關(guān)于函數(shù)奇偶性的知識，看看大家有沒有發(fā)現(xiàn)什么問題呢，現(xiàn)在把它提出來，我們一起來討論討論吧。有奇函數(shù)，有偶函數(shù)，那么有沒有既奇又偶的函數(shù)呢？想知道奇偶函數(shù)運算結(jié)果的奇偶性奇偶函數(shù)可不可以是分段函數(shù)呢？對奇偶函數(shù)的定義域有沒有要求呢？怎么判斷一個函數(shù)是奇偶函數(shù)呢？如果只驗證一個只值滿足定義能不能判斷這個函數(shù)的奇偶性呢？正比例函數(shù)是一個奇函數(shù)，我想知道那么一般的一次函數(shù)呢？我們學(xué)過的二次函數(shù)呢？常值函數(shù)是不是奇函數(shù)或者是偶函數(shù)呢？奇偶函數(shù)在結(jié)構(gòu)上有什么特征呢？案例2：函數(shù)的奇偶性學(xué)生提出的問題2、折紙中的數(shù)學(xué)30案例1：正方形折紙如圖１、圖２所示，一張正方形紙片ABCD，將B折至AD的中點E，折痕為FG．將C折至AD的中點E，ML為折痕．你能得到哪些結(jié)論？圖1圖２△AEF的邊長之間的關(guān)系為勾3、股4、弦5．△AEF、△DKE、△HKG相似．DK:DC=2:3．GH:DC=1:8．HK的長度等于△DKE的內(nèi)切圓半徑．FM:AB=1:2．EN:NP=5:3．結(jié)論案例2：TIMSS操作性測試32給你9張白紙，一把剪刀和一個信封。你的任務(wù)是：用剪刀剪出下面給定的圖案，你可以將紙片任意折疊，但只能沿直線剪一刀：要得到下面的圖形，在不實際折疊的情況下，想象一下，該如何折疊？用虛線畫出折痕，用實線畫出最后剪的這一刀：案例3：等腰三角形的三線合一333、一次方程組的應(yīng)用34聰明的牧場主151211牧場主麥克每周輪換使用他的三個相鄰的牧場．為了省錢，他運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識設(shè)計了三個合用的門，如圖，每兩扇門都能恰好關(guān)住一個牧場．一個具有靈氣的基礎(chǔ)案例上海51中學(xué)一畢業(yè)生在和平飯店發(fā)現(xiàn)在地下室通向10層樓三根導(dǎo)線的電阻不同。如何測量？他想到解聯(lián)立方程4、一題多解：等腰三角形的判定證明等腰三角形的判定定理：有兩個內(nèi)角相等的三角形是等腰三角形.ABC第1步：利用情境變式激發(fā)探究興趣A

原題已知：∠B=∠C,求證：AB=AC.情境性變式：小強想證明下面的問題：“有兩個角（圖中的∠B和∠C）相等的三角形是等腰三角形”.但他不小心將圖弄臟了，只能看見圖中的∠C和邊BC.請問：他能夠把圖恢復(fù)成原來的樣子嗎？BC第2步:學(xué)生獨立探究問題：你能夠證明這樣畫出的三角形是等腰三角形嗎方法1：量出∠C的大小;作∠B＝∠C;則∠B的一條邊和∠C的一條邊的延長線交于點A.方法2：作邊BC的垂直平分線與∠C的另一邊的延長線交于點A.方法3：如圖，將長方形紙片對折使點B和點C重合，找到∠C與折痕的交點A第3步：證明定理學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的不同證法：：證法2：過A作AD垂直于BC,

證明△ABD≌△ACD證法5：證明

△ABC≌△ACB證法4：（反證法）：

假設(shè)AB>AC,那么

∠C>∠B.證法1：作∠A的平分線，然后證明：△ABT≌△ACT錯誤!證法3：過A作BC邊上的中線，證明：解題三部曲原始問題通過改變條件或結(jié)論得到多種變式問題一題多變用多種方法解決問題一題多解將解法運用于多種情形一法多用5、探究勾股數(shù)42第一步：列出一些簡單的勾股數(shù)組（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（8，15，17），（9，40，41），（10，24，26），-------第二步：尋找規(guī)律整數(shù)乘以勾股數(shù)仍然是勾股數(shù)在互質(zhì)的勾股數(shù)中，如果勾股中小的一個數(shù)a是奇數(shù)，那么弦等于大的一個數(shù)加1，并且a可以從3開始，取遍所有奇數(shù)在互質(zhì)的勾股數(shù)中，如果勾股中小的一個是偶數(shù)，那么弦等于大的一個數(shù)加2在互質(zhì)的勾股數(shù)組中，弦是奇數(shù)在互質(zhì)的勾股數(shù)組中，勾股中的偶數(shù)與弦之和是一個平方數(shù)任意一組互質(zhì)的勾股數(shù)都可以表示為（|m2—n2|，2mn，m2+n2）6、模式構(gòu)建如圖是一個邊長為3的大立方體，它由27個單位立方體組成，將大立方體的六個面都涂上同一種顏色，分別求恰有1面涂色、2面涂色、3面涂色以及沒有被涂色的小立方體的個數(shù)；如果是一個邊長為4的立方體呢？如果是一個邊長為5的立方體呢？如果是一