材料力學(II)第六章

第6章動荷載·交變應力§6-5鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件及其連接的疲勞計算§6-1概述§6-2構(gòu)件作等加速直線運動或等速轉(zhuǎn)動時的動應力計算§6-3構(gòu)件受沖擊荷載作用時的動應力計算§6-4交變應力下材料的疲勞破壞·疲勞極限1§6-1概述

動荷載：荷載隨時間作急劇的變化，或加載過程中構(gòu)件內(nèi)各質(zhì)點有較大的加速度。本章研究以下幾種動荷載問題：前面各章中研究了在靜荷載作用下，構(gòu)件的強度，剛度和穩(wěn)定性問題。本章研究動荷載問題。Ⅰ.構(gòu)件作等加速直線運動或等速轉(zhuǎn)動時的動應力問題；Ⅱ.構(gòu)件受沖擊荷載作用時的動應力；Ⅲ.構(gòu)件在交變應力作用下的疲勞破壞。2§6-2構(gòu)件作等加速直線運動或等速轉(zhuǎn)動時的動應力計算Ⅰ.構(gòu)件作加速運動時，構(gòu)件內(nèi)各質(zhì)點將產(chǎn)生慣性力，慣性力的大小等于質(zhì)量與加速度的乘積，方向與加速度的方向相反。Ⅱ.動靜法：在任一瞬時，作用在構(gòu)件上的荷載，慣性力和約束力，構(gòu)成平衡力系。當構(gòu)件的加速度已知時，可用動靜法求解其動應力。動靜法的應用3一鋼索起吊重物M（圖a），以等加速度a提升。重物M的重量為P，鋼索的橫截面面積為A，不計鋼索的重量。試求鋼索橫截面上的動應力sd。例題6-14設(shè)鋼索的動軸力為FNd，重物M的慣性力為（↓）（圖b），由重物M的平衡方程可得(1)令（動荷因數(shù)）(2)則(3)解:1.求鋼索的動軸力例題6-15鋼索橫截面上的動應力為(4)式中，為靜應力。由(3)，(4)式可見，動荷載等于動荷載因數(shù)與靜荷載的乘積；動應力等于動荷載因數(shù)與靜應力的乘積。即用動荷因數(shù)反映動荷載的效應。2.求鋼索橫截面上的動應力例題6-1616號工字鋼梁，以等加速度a=10m/s2上升，吊索橫截面面積A＝108mm2，，不計鋼索質(zhì)量。求：(1)吊索的動應力sd

;(2)梁的最大動應力sd,max。例題6-27

解:1.

求吊索的sdqst=20.5×9.81=201.1N/m吊索的靜軸力為16號工字鋼單位長度的重量為例題6-28吊索的靜應力動荷因數(shù)為吊索的動應力為例題6-292.求梁的sd,maxC截面上的靜彎矩為例題6-210查表16號工字鋼的彎曲截面系數(shù)為梁的最大靜應力為梁的最大動應力為例題6-211均質(zhì)等截面桿AB，橫截面面積為A，單位體積的質(zhì)量為r，彈性模量為E。以等角速度w繞y軸旋轉(zhuǎn)。求AB桿的最大動應力及桿的動伸長（不計AB桿由自重產(chǎn)生的彎曲）。例題6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B12慣性力的集度為AB桿的軸力為x=0時，解:1.求AB桿的動軸力例題6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B13AB桿的最大動應力為（與A無關(guān)）AB桿的伸長量為（與A無關(guān)）2.求AB桿的最大動軸力和動伸長例題6-3lhFNd(x)qd(x)xxlwAyqd(x)B14薄壁圓環(huán)以等角速度w轉(zhuǎn)動，其橫截面面積為A，材料的密度為r。求圓環(huán)橫截面上的正應力。例題6-415沿圓環(huán)軸線均勻分布的慣性力的集度（圖b）為解:1.加慣性力例題6-416橫截面上的正應力為由圓環(huán)上半部分（圖c）的平衡方程得2.求sa例題6-417直徑d=100mm的圓軸，右端有重量

P=0.6kN,直徑D=400mm的飛輪，以均勻轉(zhuǎn)速n=1000r/min旋轉(zhuǎn)（圖a）。在軸的左端施加制動力偶Md（圖b），使其在t＝0.01s內(nèi)停車。不計軸的質(zhì)量。求軸內(nèi)的最大切應力tdmax。例題6-518由于軸在制動時產(chǎn)生角加速度a，使飛輪產(chǎn)生慣性力矩Md（圖b）。設(shè)飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為I0，則Md=I0a，其轉(zhuǎn)向與a相反。軸的扭矩Td=Md。解:1.分析例題6-519軸的角速度為角加速度為其轉(zhuǎn)向與n的轉(zhuǎn)向相反。2.求tdmax例題6-520飛輪的慣性力矩為飛輪的轉(zhuǎn)動慣量為軸的最大動切應力為例題6-521§6-3構(gòu)件受沖擊荷載作用時的動應力計算圖a表示重量為P的重物，從高度h處自由落下，當重物與桿的B端接觸的瞬間速度減少至零，同時產(chǎn)生很大的加速度，對AB桿施加很大的慣性力Fd，使AB桿受到?jīng)_擊作用。重物稱為沖擊物，AB桿稱為被沖擊物，F(xiàn)d稱為沖擊荷載。22Ⅱ.不計被沖擊物的質(zhì)量，被沖擊物的變形在線彈性范圍內(nèi)；Ⅰ.不計沖擊物的變形，且沖擊物和被沖擊物接觸后不回彈；Ⅲ.不計沖擊過程中的能量損失。由于沖擊時間極短，加速度很難確定，不能用動靜法進行分析。通常在以下假設(shè)的基礎(chǔ)上用能量法作近似計算。23由機械能守恒定理可知：沖擊過程中，沖擊物所減少的動能Ek和勢能Ep等于被沖擊物所增加的應變能，即(a)重物減少的勢能為(b)Dd為重物的速度降為零時，B端的最大位移，稱為動位移。重物的動能無變化(c)AB桿增加的應變能為(d)24由，得(e)將(e)式代入(d)式，得(f)由于(圖c)（B端的靜位移），(g)式化為(h)將(b)、(c)和(f)式代入(a)式，得(g)25解得(i)其中(6-1)Kd為動位移和靜位移的比值，稱為動荷載因數(shù)。(6-1)式為自由落體沖擊時的沖擊動荷載因數(shù)。將(i)式代入(e)式，得(j)AB桿的動應力為(k)26小結(jié)：凡是自由落體沖擊問題，均可以用以上公式進行計算。Kd公式中，h為自由落體的高度，Dst為把沖擊物作為靜荷載置于被沖擊物的沖擊點處，被沖擊物的沖擊點沿沖擊方向的靜位移。h=0時，Kd=2（驟加荷載）由于不考慮沖擊過程中的能量損失，Kd值偏大，以上計算偏于安全。其它沖擊問題的Kd表達式，將根據(jù)具體情況由機械能守恒定律求出。27圖a、b所示簡支梁均由20b號工字鋼制成。E=210×109Pa，P=2kN，h=20mm。圖b中B支座彈簧的剛度系數(shù)k=300kN/m。試分別求圖a、b所示梁的最大正應力。（不計梁和彈簧的自重）hP1.5m1.5mzACBzhP1.5m1.5mACB(a)(b)例題6-628解:1.求圖a梁的最大靜應力由型鋼表查得20b號工字鋼的Wz和Iz分別為Wz=250×103mm3，Iz=2500×104mm4梁的最大靜應力為AzhP1.5m1.5mCB例題6-629C截面的靜位移為動荷因數(shù)為梁的最大動應力為2.求圖a梁的最大動應力例題6-6303.求圖b梁的動荷因數(shù)C截面的靜位移為動荷因數(shù)為hP1.5m1.5mzACB例題6-631梁的最大動應力為4.求圖b梁的最大動應力由于圖b梁的B支座改用了彈簧，從而使梁的C截面的靜位移增加，所以降低了動荷因數(shù)。例題6-6hP1.5m1.5mzACB32重物G的重量為P，以水平速度v沖擊AB的C截面。設(shè)AB梁的彎曲剛度為EI，彎曲截面系數(shù)為W。試求梁的最大動應力sd,max。例題6-733這是水平?jīng)_擊問題。沖擊過程中，沖擊物（重物G）的速度由v減小到零，沖擊物減小的動能為解:1.分析沖擊物的勢能沒有改變，即當沖擊物沖擊到AB梁時，梁受到?jīng)_擊荷載Fd，梁的C截面產(chǎn)生動位移Dd，梁增加的應變能為例題6-734由于從而有故例題6-735由機械能守恒定律，即解得2.求水平?jīng)_擊時的動荷因數(shù)Kd，并求sd,max例題6-736水平?jīng)_擊時的沖擊動荷因數(shù)為（把P作為靜荷載置于C截面時，C處的靜位移）。式中梁的最大動應力為例題6-737軸的直徑d=100mm，長度l=2m，切變模量G=80×109Pa，飛輪的重量P=0.6kN，直徑D=400mm，軸的轉(zhuǎn)速n=1000r/min，AB軸的A端被突然剎車卡緊。求軸的

td,max（不計軸的質(zhì)量）。例題6-838由于突然剎車的時間極短，飛輪產(chǎn)生很大的角加速度，具有很大的慣性力矩，使軸受到扭轉(zhuǎn)沖擊。根據(jù)機械能守恒定律，飛輪的動能轉(zhuǎn)變?yōu)檩S的應變能。由得解:1.分析例題6-8392.求td,max

例題6-840可見剎車時的td,max將增加很多。對于軸的強度非常不利，應盡量避免突然剎車。當軸在0.01s內(nèi)停車時，由例題6-5知例題6-841鋼吊索AC的A端懸掛一重量為P=20kN的重物，并以等速v=1m/s下降。當?shù)跛鏖L度l=20m時，滑輪D被卡住。試求吊索受到的沖擊荷載Fd及沖擊應力sd。吊索的橫截面面積A=414mm

2，材料的彈性模量E=170GPa，不計滑輪的重量。若在上例題6-9述情況下，在吊索與重物之間安置一個剛度系數(shù)k=300kN/m的彈簧，吊索受到的沖擊荷載又為多少？42由于滑輪突然被卡住，使重物的速度在極短的時間內(nèi)降為零，重物產(chǎn)生很大的慣性力Fd，使吊索受到?jīng)_擊。該題和以上各題不同的是，在滑輪被卡住前的瞬時，吊索在P力作用下已產(chǎn)生靜位移和應變能解:1.分析例題6-943重物減少的勢能為重物減少的動能為其中，為沖擊過程中重物下降的距離。吊索增加的應變能為利用機械能守恒定律可以求出動荷載因數(shù)2.求動荷載因數(shù)Kd例題6-944在吊索和重物之間安置一彈簧時，

，Dst增加，Kd減小。沖擊荷載為Fd=KdP。沖擊應力為將已知數(shù)據(jù)代入相關(guān)公式，可求出最后結(jié)果，建議由讀者完成。例題6-945§6-4交變應力下材料的疲勞破壞·疲勞極限I.交變應力的概念交變應力——隨時間作交替變化的應力。火車輪軸的受力圖和彎矩分別如圖a、b所示。(a)FFwdaaFFFaMxO(b)46可見sk隨時間t是按正弦規(guī)律變化的(圖c)。力F和彎矩不隨時間變化，但因軸以速度w旋轉(zhuǎn)，使其橫截面上任一點k到z軸的距離為t的函數(shù)，k點的正應力為1234zydk47

s-t曲線稱為應力譜。應力重復變化一次的過程，稱為一個應力循環(huán)。應力重復變化的次數(shù)，稱為應力循環(huán)次數(shù)。1234zydk48圖a中，P為電動機的重量，電動機以等角速度w旋轉(zhuǎn)，F(xiàn)0為因電動機的偏心而產(chǎn)生的慣性力。作用在梁上的鉛垂荷載為，F(xiàn)稱為交變荷載。最小位移（wt=p/2）最大位移（wt=3p/2）靜位移（wt=0）zyk(a)49最小位移（wt=p/2）最大位移（wt=3p/2）靜位移（wt=0）zyk(a)

C截面的彎矩為。C截面上k點的正應力為即50sk隨時間t的變化規(guī)律如圖b所示。512.應力幅（有時稱為應力幅，為應力范圍）注意：最大應力和最小應力均帶正負號。(1)為了表示交變應力中應力變化的情況，引入幾個基本參量。（拉,壓,彎曲）或（扭轉(zhuǎn)）1.循環(huán)特征（應力比）52smax=smin

(b)

stO

r=0脈動循環(huán)(smin=0)(圖a)特例：r=1靜應力(smax=smin)(圖b)(a)對稱循環(huán)：r=?1(例1)（smax=-smin）非對稱循環(huán)：53II.金屬材料的疲勞破壞疲勞破壞——金屬構(gòu)件在長期交變應力作用下所發(fā)生的斷裂破壞。(1)交變應力中的最大應力達到一定值，但最大應力小于靜荷載下材料的強度極限甚至屈服極限，經(jīng)過一定的循環(huán)次數(shù)后突然斷裂;(2)塑性材料在斷裂前也無明顯的塑性變形;(3)斷口分為光滑區(qū)和粗糙區(qū)。疲勞破壞的主要特征：54(1)疲勞裂紋的形成(2)疲勞裂紋的擴展疲勞破壞的過程:(3)脆性斷裂構(gòu)件中的最大工作應力達到一定值時，經(jīng)過一定的循環(huán)次數(shù)后，在高應力區(qū)形成微觀裂紋——裂紋源。由于裂紋的尖端有高度的應力集中，在交變應力作用下，微觀裂紋逐漸發(fā)展成宏觀裂紋，并不斷擴展。裂紋兩側(cè)的材料時而張開,時而壓緊，形成光滑區(qū)。裂紋源光滑區(qū)粗糙區(qū)55III.材料的疲勞極限試驗表明：在同一循環(huán)特征下，交變應力中的smax越大,發(fā)生疲勞破壞所經(jīng)歷的循環(huán)次數(shù)N越小，即疲勞壽命越短。反之smax越小，N越大，疲勞壽命越長。經(jīng)過無限次循環(huán)不發(fā)生疲勞破壞時的最大應力稱為材料的疲勞極限。用sr表示，r代表循環(huán)特征。

sr與材料變形形式，循環(huán)特征有關(guān)，用疲勞試驗測定。(1)材料的疲勞極限疲勞裂紋不斷擴展，有效面積逐漸減小，當裂紋長度達到臨界尺寸時，由于裂紋尖端處于三向拉伸應力狀態(tài)，裂紋以極快的速度擴展從而發(fā)生突然的脆性斷裂，形成粗糙區(qū)。56彎曲疲勞試驗機一臺，標準（規(guī)定的尺寸和加工質(zhì)量）試樣一組。記錄每根試樣發(fā)生疲勞破壞的最大應力smax和循環(huán)次數(shù)N。繪出smax-N曲線（疲勞壽(2)彎曲對稱循環(huán)時，s-1的測定命曲線），又稱為S-N曲線（S代表正應力s

或切應力t）。40cr鋼的smax-N曲線如圖所示?？梢妔max降至某值后，

smax-N曲線趨于水平。該應力即為s-1。圖中s-1=590MPa。57低碳鋼：sb=400－500MPa(3)條件疲勞極限N0=5×106~107

sNO

彎曲（s-1）b

=170－220MPa拉壓（s-1）t

=120－160MPa鋁合金等有色金屬，其s-N曲線如圖所示，它沒有明顯的水平部分，規(guī)定疲勞壽命N0＝5×106~107時的最大應力值為條件疲勞極限，用表示。58(4)構(gòu)件的疲勞強度校核材料的疲勞極限是由標準試樣測定的。構(gòu)件的外形,尺寸,表面質(zhì)量均可能與標準試樣不同。一般采用有效應力集中系數(shù)Ks,尺寸系數(shù)es和表面加工系數(shù)b（均由圖表可查）,對材料的疲勞極限進行修正得到構(gòu)件的疲勞極限。即再把構(gòu)件的疲勞極限除以安全因數(shù)得到疲勞許用應力。交變應力的強度條件為最大工作應力≤疲勞許用應力59§6-5鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件及其連接的疲勞計算由于鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件的焊縫附近存在殘余應力，交變應力中的最大工作應力（名義應力）和殘余應力疊加后，得到的實際應力往往達到材料的屈服極限ss，不能再按交變應力中的最大工作應力建立疲勞強度條件。試驗結(jié)果表明，焊接鋼結(jié)構(gòu)構(gòu)件及其連接的疲勞壽命由應力幅控制。60I.常幅疲勞（應力幅為常量）在常溫,無腐蝕環(huán)境下常幅疲勞破壞試驗表明：發(fā)生疲勞破壞時的應力幅Ds

與循環(huán)次數(shù)N（疲勞壽命）在雙對數(shù)坐標中的關(guān)系是斜率為?1/b，在lgDs軸上的截距為lg(a/b)的直線，如圖所示。其表達式為(6-5a)或?qū)懗?6-5b)式中，b、a為有關(guān)的參數(shù)。lg

Δs

lg

Δs1

lg

Δs2

lg

N1

lg

N2

lg

N

1

b61引入安全因數(shù)后，得許用應力幅為(6-6)式中，C,b是與材料、構(gòu)件和連接的種類及受力情況有關(guān)的參數(shù)。鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范中，將不同的受力情況的構(gòu)件與連接分為8類(見書P155表6-2)。表6-1中給出了Q235鋼8個類別的C，b

值。疲勞強度條件為(6-7)62一焊接箱形鋼梁，在跨中截面受到Fmin=10kN和Fmax=100kN的常幅交變荷載作用，跨中截面對其水平形心軸z的慣性矩