山西省忻州市前蘆子溝中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析

山西省忻州市前蘆子溝中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知的三邊長為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，若，則點(diǎn)是的（

）

外心

內(nèi)心

重心

垂心參考答案：B解析：∴∴∴

分別是和方向上的單位向量，設(shè)，則平分，又共線，知平分，同理可證：平分，平分，從而是的內(nèi)心2.在等差數(shù)列中，已知?jiǎng)t等于（

）

A、45B、43C、42

D、40

參考答案：C3.設(shè)a＞1＞b＞﹣1，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)＞b2B．a(chǎn)2＞2bC．＜D．|a|＜|b|參考答案：A【考點(diǎn)】絕對值不等式．【分析】A中，用不等式的性質(zhì)證明結(jié)論成立；對于B、C、D，通過舉例說明不等式不成立．【解答】解：對于A，∵a＞1＞b＞﹣1，∴a＞1，|b|＜1，∴b2＜1，∴b2＜a，即a＞b2，∴A式成立；對于B，當(dāng)a=、b=時(shí)，a2==2b=，∴B式不成立；對于C，當(dāng)a=2、b=﹣時(shí)，=＞=﹣2，∴C式不成立；對于D，當(dāng)a=2、b=時(shí)，|a|＞|b|，∴D式不成立；∴以上不等式一定成立的是A．故選：A．4.用數(shù)學(xué)歸納法證明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）時(shí)，從n=k（k∈N*）到n=k+1時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是（）A．2k+1 B．2（2k+1） C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】RG：數(shù)學(xué)歸納法．【分析】分別寫出n=k和n=k+1時(shí)的式子左邊，兩式相比即可得出增乘的式子．【解答】解：n=k時(shí)，左邊=（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k），當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2），∴需要增乘的式子為=2（2k+1）．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，屬于基礎(chǔ)題．5.函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.在四邊形ABCD中，若，且|，則這個(gè)四邊形是（）A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．等腰梯形參考答案：D【考點(diǎn)】96：平行向量與共線向量．【分析】利用向量的共線、等腰梯形的定義即可判斷出結(jié)論．【解答】解：∵，且||=，∴DC∥AB，DC≠AB，AD=BC．則這個(gè)四邊形是等腰梯形．故選：D．7.在△中，若，則等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D

解析：或8.已知集合A={x∈N|0≤x≤5}，?AB={1，3，5}，則集合B=（）A．{2，4} B．{0，2，4} C．{0，1，3} D．{2，3，4}參考答案：B【考點(diǎn)】補(bǔ)集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)題意，先用列舉法表示集合A，進(jìn)而由補(bǔ)集的性質(zhì)，可得B=?A（?AB），計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，集合A={x∈N|0≤x≤5}={0，1，2，3，4，5}，若CAB={1，3，5}，則B=?A（?AB）={0，2，4}，故選B．【點(diǎn)評】本題考查補(bǔ)集的定義與運(yùn)算，關(guān)鍵是理解補(bǔ)集的定義．9.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是(

)A．， B．，g（x）=x+1C．f（x）=|x|， D．，g（x）=參考答案：A【考點(diǎn)】判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)．【專題】閱讀型．【分析】若兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域以及函數(shù)的對以關(guān)系都得相同，所以只要逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)中定義域和對應(yīng)關(guān)系是否都相同即可．【解答】解；對于A選項(xiàng)，f（x）的定義域?yàn)镽，g（x）的定義域?yàn)閇0，+∞），∴不是同一函數(shù)．對于B選項(xiàng)，f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠1}，g（x）的定義域?yàn)镽，∴不是同一函數(shù)對于C選項(xiàng)，f（x）的定義域?yàn)镽，g（x）的定義域?yàn)镽，且兩函數(shù)解析式化簡后為同一解析式，∴是同一函數(shù)對于D選項(xiàng)，f（x）的定義域?yàn)閇1，+∞），g（x）的定義域?yàn)椋ī仭?，?]∪[1，+∞），∴不是同一函數(shù)故選A【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)三要素的判斷，只有三要素都相同，兩函數(shù)才為同一函數(shù)．10.已知函數(shù)f（x）=x2?sin（x﹣π），則其在區(qū)間[﹣π，π]上的大致圖象是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性和，再令x=時(shí)，f（）=﹣＜0，問題得以解決．【解答】解：f（x）=x2?sin（x﹣π）=﹣x2?sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2?sin（﹣x）=x2?sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函數(shù)，∵當(dāng)x=時(shí)，f（）=﹣＜0，故選：D【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，關(guān)鍵掌握函數(shù)的奇偶性和函數(shù)值得特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)y=3+ax﹣1（a＞0且a≠1）的圖象必過定點(diǎn)P，P點(diǎn)的坐標(biāo)為．參考答案：（1，4）【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．【分析】通過圖象的平移變換得到y(tǒng)=3+ax﹣1與y=ax的關(guān)系，據(jù)y=ax的圖象恒過（0，1）得到f（x）恒過（1，4）【解答】解：y=3+ax﹣1的圖象可以看作把y=ax的圖象向右平移一個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位而得到，且y=ax一定過點(diǎn)（0，1），則y=ax﹣1+3應(yīng)過點(diǎn)（1，4）故答案為：（1，4）12.函數(shù)的定義域是 .參考答案：13.函數(shù)的定義域?yàn)開___▲_______.參考答案：14.若a=log43，則4a﹣4﹣a=．參考答案：【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；有理數(shù)指數(shù)冪的化簡求值．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由a=log43，可得4a==3，4﹣a=．即可得出．【解答】解：∵a=log43，∴4a==3，4﹣a=．則4a﹣4﹣a=3﹣=．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15.△ABC的三邊之長a，b，c滿足等式+=b，則長為b的邊所對應(yīng)的角B的大小是

。參考答案：60°16.一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為3，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為

．參考答案：∵圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為120°，半徑為3的扇形，∴圓錐的母線長為，底面周長即扇形的弧長為底面圓的面積為，又圓錐的高，故圓錐的體積為，故答案為.

17.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，若+=2c，則∠A的大小為．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理．【分析】由+=2c，利用正弦定理可得：=2sinC，再利用基本不等式的性質(zhì)可得sinC=1，即可得出．【解答】解：由正弦定理可得：，又+=2c，∴=2sinC≥2，當(dāng)且僅當(dāng)sinA=sinB時(shí)取等號(hào)．而sinC≤1，∴sinC=1，又C∈（0，π）．∴C=．又sinA=sinB，∴A=B=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（9分）“你低碳了嗎？”這是某市為倡導(dǎo)建設(shè)節(jié)約型社會(huì)而發(fā)布的公益廣告里的一句話．活動(dòng)組織者為了了解這則廣告的宣傳效果，隨機(jī)抽取了120名年齡在[10，20)，[20，30)，…，[50，60)的市民進(jìn)行問卷調(diào)查，由此得到的樣本的頻率分布直方圖如圖所示．(1)根據(jù)直方圖填寫右面頻率分布統(tǒng)計(jì)表；(2)按分層抽樣的方法在受訪市民中抽取名市民作為本次活動(dòng)的獲獎(jiǎng)?wù)?，若在[10，20)的年齡組中隨機(jī)抽取了6人，則的值為多少？(3)根據(jù)直方圖，試估計(jì)受訪市民年齡的中位數(shù)（保留整數(shù)）；參考答案：（3+3+3=9分）(2)

由，解得．（3）由已知得受訪市民年齡的中位數(shù)為（歲）略19.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，記。（1）判斷的奇偶性，并證明.（2）對任意，都存在，使得，.若，求實(shí)數(shù)的值；（3）若對于一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）函數(shù)為奇函數(shù)?，F(xiàn)證明如下：∵函數(shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱。由∴函數(shù)為奇函數(shù)…………………4分（Ⅱ）據(jù)題意知，當(dāng)時(shí)，，…………6分∵在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，即又∵∴函數(shù)的對稱軸為∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減∴，即由，得，∴………………8分（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，即，，令，下面求函數(shù)的最大值。，∴故的取值范圍是………12分20.已知函數(shù)f（x）＝cosx（acosx﹣sinx）（a∈R），且f（）.（1）求a的值；（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）求f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值及對應(yīng)的x的值.參考答案：（1）；（2）；（3）時(shí)，取得最小值【分析】（1）代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.（2）化簡得到，計(jì)算得到答案.（3）計(jì)算2x∈[，]，再計(jì)算最值得到答案.【詳解】（1）∵f（x）＝cosx（acosx﹣sinx）（a∈R），且f（）.∴f（）（）.解得a.（2）由（1）可得f（x）＝cosx（cosx﹣sinx）cos2x﹣sinxcosxsin2xcos（2x），令2kπ+π≤2x2kπ+2π，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，可得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ，kπ]，k∈Z，（3）∵x∈[0，]，可得：2x∈[，]，∴當(dāng)2xπ，即x時(shí)，f（x）＝cos（2x）取得最小值為﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的求值，單調(diào)性和值域，意在考查學(xué)生對于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.21.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，其中向量a＝(2cosx,1)，b＝(cosx，sin2x＋m)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．(2)當(dāng)x∈時(shí)，－4<f(x)<4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：解:(1)f(x)＝2cos2x＋sin2x＋m＝2sin＋m＋1.∴函數(shù)f(x)最小正周期T＝π，在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為、.……….（6分）(2)∵當(dāng)x∈時(shí)，