計算材料學概論

計算材料學第一章引言PerformanceCompositionStructureProcessingMicrostructure現(xiàn)代材料研究從某種意義上來說就是對微結(jié)構(gòu)的研究。第一章引言微結(jié)構(gòu)，是指橫跨埃到米的空間尺度上所有熱力學非平衡態(tài)晶格缺陷的集合?？臻g尺度：幾個?！珟酌?。時間尺度:ps～幾年。材料的研究目標之一：確定宏觀性能與微觀結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系。關(guān)鍵：確定和描述材料的晶格缺陷，以及晶格缺陷的靜態(tài)和動態(tài)特性。第一章引言微結(jié)構(gòu)的演變方向由熱力學判斷，而微結(jié)構(gòu)實際的演變路徑則由動力學原理決定。熱力學非平衡機制會給出各種可能的、復(fù)雜的微結(jié)構(gòu)。研究表明，這樣的微結(jié)構(gòu)不是平衡態(tài)，而是處于遠離平衡的狀態(tài)。正是這些非平衡狀態(tài)，使得材料顯示出各種獨特性質(zhì)。圖1.1和圖1.2給出了不同晶格缺陷所確立的微結(jié)構(gòu)體系與其特征尺度之間的對應(yīng)關(guān)系。圖1.1計算材料學中的典型模擬方法所對應(yīng)的空間和時間尺度示意圖圖1.2時間和空間特征尺度示意圖(a)考察單元線度與所含原子數(shù)目的關(guān)系；(b)典型模擬問題對應(yīng)的特征時間尺度第一章引言量化微結(jié)構(gòu)的演化與微結(jié)構(gòu)性質(zhì)之間的關(guān)系？

微結(jié)構(gòu)的演化微結(jié)構(gòu)的性質(zhì)實驗?zāi)Ｐ偷谝徽乱阅Ｐ突湍M方法的典型步驟：定義變量建立數(shù)學模型，并進行公式化處理自變量

因變量狀態(tài)方程

演化方程第一章引言變量選擇建立方程差分方程初始條件

邊界條件由模型到數(shù)值求解的過程問題的解自變量

因變量狀態(tài)方程

演化方程狀態(tài)變量、狀態(tài)方程、演化方程的合理選擇是基于第一性原理的概念或者現(xiàn)象觀測。這是模型化的基礎(chǔ)，反映了研究者對于該問題所采取物理近似方法。第一章引言微結(jié)構(gòu)模擬應(yīng)該能針對技術(shù)應(yīng)用中未曾研究過或未經(jīng)實驗檢驗的情況，給出對材料性質(zhì)及其微結(jié)構(gòu)演化的預(yù)言和理解。從頭分子動力學和蒙特卡羅方法---------原子級別微結(jié)構(gòu)的行為（材料物理）有限元方法----------大尺度結(jié)構(gòu)問題（材料科學機械工程）計算材料學的研究對象跨度巨大。平均本構(gòu)定律第一章引言模型的時間空間跨度大，在集成不同尺度的模型過程中有兩種近似的方法。順序集成法（串聯(lián)）通過對空間和時間的離散化，采用非平均化方法在相對恰當?shù)妮^小尺度模擬推知本構(gòu)定律，應(yīng)用于下一個尺度。隨著模型尺度的增加唯象特征逐漸增加。同步集成法（并聯(lián)）同一模型中不同區(qū)域采用不同的模擬方法，區(qū)域之間用過渡區(qū)進行連接。同時進行不同尺度的模擬。第一章引言許多模擬方法，是被限定在某一特定的空間和時間尺度范圍內(nèi)。這些方法應(yīng)用其特定的場合，可以揭示出內(nèi)稟物理標度參數(shù)，例如分子動力學方法和某些蒙特卡羅方法。與之相反，大多數(shù)在介觀尺度上的模型是連續(xù)體近似方法，也就是它們沒有內(nèi)稟性標度，從而顯示了跨越不同時間及長度標度之間模擬的較大可能性。從這個意義上說，各種晶體塑性有限元法、元胞自動機、位錯動力學、晶界動力學，以及多態(tài)波茨模型都是特別重要的方法。第一章引言有限元方法是通過給定合理邊界條件和初始值，提供一種近似求解耦合偏微分方程組的途徑。傳統(tǒng)上講，這種方法局限于在宏觀層次借助平均性質(zhì)定律和平衡條件及相容性條件，求解彈性和簡單塑性的一些問題。然而，通過引入改進的性質(zhì)(本構(gòu))定律(亦即晶體塑性要素)，使有限元法可以用于在介觀層次處理有關(guān)材料的不均勻性。這種趨勢表明，有限元法可以用來模擬處理從宏觀尺度到介現(xiàn)尺度的相關(guān)問題。波茨模型，是一種根植于隨機性Metropolis蒙特卡羅方法。利用廣義自旋數(shù)來描述由等自旋元胞所構(gòu)成的各個離散化區(qū)域，可以把蒙持卡羅算法推廣應(yīng)用于處理界面問題。這種方法可以用于從微觀尺度到介觀尺度的處理。第二章材料中的模型化與模擬2.1模型化的基本思想Rosenblueth和wiener在1945年曾指出，科學研究的根本目的在于認識世界、改造世界?？茖W抽象意味著借助模型來研究現(xiàn)實世界某一方面的規(guī)律。設(shè)計和建立模型的過程被認為是模型化中的基本步驟和最重要的環(huán)節(jié)。模型是將真實情況簡單化處理，建立一個反映真實情況本質(zhì)特征的模型，并進行公式化描述。2.1模型化的基本思想如何建立模型？下面將討論關(guān)于模型化概念的一些基本思路，并重點介紹廣義態(tài)變量的概念。廣義態(tài)變量方法是Argon和Kocks等人在1975年處理塑性本構(gòu)模型的過程中引入的。從態(tài)變量的意義上講，建立模型就是建立相應(yīng)的狀態(tài)及其演化方程。作為一個工具，狀態(tài)方程的概念可用于在不同尺度范圍內(nèi)設(shè)計模型的基本結(jié)構(gòu)。第二章材料中的模型化與模擬2.2廣義態(tài)變量2.2.1大于原子尺度的模型化概念就建立微結(jié)構(gòu)演化模型來說，最好的方法可能就是分別求解我們所研究材料的所有原子的運動方程；這一方法能給出所有原子在任一時刻的位置坐標和速度，也就是說，由此可預(yù)測微結(jié)構(gòu)的時間演化。在這種模擬方法中，構(gòu)造模型所需要的附加經(jīng)驗性條件越少，其對原子之間相互作用力的描述就越詳盡。2.2.1大于原子尺度的模型化概念為了獲得關(guān)于微結(jié)構(gòu)的合理而簡單的模型，首先要對所研究的真實系統(tǒng)進行實驗觀察，由此推導(dǎo)出合乎邏輯的、富有啟發(fā)性的假說，或者據(jù)此推出理論上進行從頭計算的依據(jù)。根據(jù)已獲得的物理圖像，通過包括主要物理機制在內(nèi)的唯象本構(gòu)性質(zhì)，就可以在大于原子尺度的層次上對系統(tǒng)特性進行描述。唯象構(gòu)想只有轉(zhuǎn)換成數(shù)學模型才有實用價值。采用基于所謂“廣義態(tài)變量概念”的方法，這一轉(zhuǎn)換過程要求定義或恰當選擇相應(yīng)的自變量(獨立變量)、態(tài)變量(因變量)。并進而確立運動方程、狀態(tài)方程、演化方程、物理參數(shù)、邊界條件和初值條件，以及對應(yīng)的恰當算法。關(guān)于變量和方程的這樣一個唯象理論的基本框架，就構(gòu)成了眾多微結(jié)構(gòu)模型的基礎(chǔ)。步驟內(nèi)容1定義自變量，例如空間和時間。2定義因變量，亦即強度和廣延因變量或隱含和顯含因變量，例如溫度、位錯密度、位移及濃度等。3建立運動學方程，亦即在不考慮實際作用力時，確定描述質(zhì)點坐標變化的函數(shù)關(guān)系。例如，在一定約束條件下，建立根據(jù)位移梯度計算應(yīng)變和轉(zhuǎn)動的方程。4確立狀態(tài)方程，亦即從因變量的取值出發(fā)，確定描述材料實際狀態(tài)且與路徑無關(guān)的函數(shù)。5演化方程，亦即根據(jù)因變量值的變化，給出描述微結(jié)構(gòu)演化的且與路徑有關(guān)的函數(shù)關(guān)系。6相關(guān)物理參數(shù)的確定。7邊界條件和初值條件。8確定用于求解由步驟1～7建立的聯(lián)立方程組的數(shù)值算法或解析方法。表2.1材料科學中對數(shù)學模型進行公式化的基本步驟2.2.2自變量一般把時間和空間坐標x＝(x1,x2,x3)作為自變量。分子動力學演變軌跡原子離散位錯動力學材料的行為和特性位錯(2D)位錯結(jié)(3D)晶體塑性有限元各部分的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)單元2.2.3態(tài)變量和因變量態(tài)變量是自變量的函數(shù)。因變量的取值決定了系統(tǒng)在任一時刻所處的狀態(tài)。在經(jīng)典熱力學中，態(tài)變量分為廣延變量(與質(zhì)量成正比)和強度變量(與質(zhì)量無關(guān))。在微結(jié)構(gòu)力學中，還經(jīng)常作進一步的區(qū)分：顯含態(tài)變量：表示占有空間的微結(jié)構(gòu)性質(zhì)的一類量，諸如粒子或晶粒大小。隱含態(tài)變量：表示了介觀平均值或宏觀平均值。在用有限元方法計算微結(jié)構(gòu)的性質(zhì)時，后一類態(tài)變量具有特別的實用性。材料模型中的態(tài)變量常被看作是依賴于時間和空間的張量變量。2.2.4運動學方程對固體來說，運動學方程常用于計算一些相關(guān)參數(shù)。例如，應(yīng)變、應(yīng)變率、剛體自轉(zhuǎn)，以及在考慮到外部與內(nèi)部約束條件時晶體重新取向率。運動學約束條件常常是由樣品制造過程和研究時的實驗過程所施加的。例如，在旋轉(zhuǎn)的時候，材料中任何近表面的部分不容許有垂直于旋轉(zhuǎn)平面的位移。2.2.5狀態(tài)方程狀態(tài)方程是與路徑無關(guān)的函數(shù)。把物性與態(tài)變量的實際取值聯(lián)系起來(參見表2.2)，諸如電阻、屈服應(yīng)力、自由焓等。狀態(tài)方程提供了如何根據(jù)恰當?shù)膽B(tài)變量值來計算材料性質(zhì)的基本方法。通常，微結(jié)構(gòu)狀態(tài)方程可以把材料關(guān)于態(tài)變量取值引起的內(nèi)部和外部變化的響應(yīng)定量化。不同的狀態(tài)方程表示了材料的不同特性。對于液體、彈塑性剛體、粘塑性材料和蠕變固體來講，其屈服應(yīng)力對位移的依賴關(guān)系是完全不同的。狀態(tài)方程的典型例子有：分子動力學中互作原子間的勢函數(shù)，位錯動力學中的彈性胡克定律，聚合物力學中的非線性彈性定律，本征塑件定律中的屈服應(yīng)力與位錯密度之間的關(guān)系。以及Ginzburg-Landau模型和與其相關(guān)的微結(jié)構(gòu)相場模型中的自由能函數(shù)。狀態(tài)參數(shù)狀態(tài)變量狀態(tài)方程應(yīng)力屈服應(yīng)力屈服應(yīng)力互作用原子勢互作用原子勢自由能應(yīng)變或位移均勻位錯密度，Taylor因子在元胞壁和元胞內(nèi)的位錯密度互作用原子間距原子間距和角位置原子或波色子濃度胡克定律Kocks-Mecking模型中的Taylor方程高級雙參數(shù)和叁參數(shù)塑性統(tǒng)計模型球?qū)ΨQ互作用原子對勢函數(shù)緊束縛勢Ginzburg-Landau模型中的Landau形式自由能表2.2計算材料學中狀態(tài)方程的例子2.2.6結(jié)構(gòu)演化方程自變量----------態(tài)變量值(測量)

自變量----------態(tài)變量值（建立模型方程）

“演化方程”或“結(jié)構(gòu)演化方程”。對這些方程，可以不斷地更新其態(tài)變量作為自變量函數(shù)的值，實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)演化的模擬。微結(jié)構(gòu)有的基本特征在于其處于熱力學非平衡態(tài)，也就是說演化控制方程是與路徑有關(guān)的，不是狀態(tài)方程。因此，演化方程通常不能寫成全微分形式。典型的結(jié)構(gòu)演化方程有：分子動力學和位錯動力學中的牛頓運動定律，以及經(jīng)典速率方程諸如熱方程和擴散方程。2.2.7各種參數(shù)狀態(tài)方程的態(tài)變量具有以各種參數(shù)為基礎(chǔ)的加權(quán)平均性質(zhì)．并要求具有一定的物理意義和經(jīng)得起實驗或理論的檢驗。要確定各種恰當?shù)膮?shù)并具體給出它們的正確取值都是非常艱難的事情。尤其是對于介觀尺度上的材料模擬。在介觀尺度上，各參數(shù)的取值還將依賴于其他參量，并且與態(tài)變量本身有關(guān)。這就意味著，在構(gòu)成態(tài)方程的要素中包含有非線性因素，并與其他態(tài)方程組成耦合方程組。此外，許多材料參數(shù)對狀態(tài)方程都具有較強的直接影響，比如在熱激活的情況下，其參數(shù)與變量之間是指數(shù)函數(shù)。例如，晶(粒邊)界運動的活化能出現(xiàn)于指數(shù)項中，并強烈地依賴于近鄰晶粒之間的取向偏差、晶界平面的傾角和晶界處雜質(zhì)原子的濃度。廣義態(tài)變量方法給出的模型化與模擬過程方框圖2.2.8解析模型與數(shù)值模型上面討論模型化概念的時候并沒涉及關(guān)于求解各類控制方程組的技術(shù)細節(jié)。在不使用數(shù)值方法的情況下，可以采用大量較為簡單的統(tǒng)計模型進行處理。然而，對于微結(jié)構(gòu)動力學離散化模型，大多都含有大量的耦合微分方程組，以至于我們在實際應(yīng)用中必須應(yīng)用數(shù)值方法這一工具。從這個意義上說：初始的幾乎全部為解析式的數(shù)學模型并不嚴格地等同于其數(shù)值模型。根據(jù)構(gòu)成解析表達式的基礎(chǔ)問題可以推知，與之對應(yīng)的數(shù)值解法的精確性依賴于一系列參數(shù)，例如：截斷誤差、級數(shù)展開誤差、離散化(積分，微分)與統(tǒng)計處理、各態(tài)歷經(jīng)假說以及程序設(shè)計等引入的誤差。2.3數(shù)值模型化與模擬前面討論的一些想法部屬于模型構(gòu)造(或模型設(shè)計)的范疇。模型化的第二層意思，就是與模型相聯(lián)系的有關(guān)控制方程的數(shù)值解法。這一過程常被定義為“數(shù)值模型化”，或稱之為“模擬”。其含義都是指“關(guān)于一系列數(shù)學表達式的求解”；亦即通過一系列路徑相關(guān)函數(shù)和路徑無關(guān)函數(shù)，以及恰當?shù)倪吔鐥l件和初值條件，可以把構(gòu)造模型的基礎(chǔ)要素定量化。盡管數(shù)值模型化和模擬兩者從根本上說的是同一件事情，但是在使用中二者常常會以有區(qū)別的方式出現(xiàn)。2.3數(shù)值模型化與模擬一般而言，我們把“數(shù)值模型化”的概念理解為建立模型和構(gòu)造程序編碼的全過程，而“模擬”一詞則常用于描述“數(shù)值化實驗”。根據(jù)這樣的理解，模型化是由唯象理論及程序設(shè)計的所有上作步驟構(gòu)成；而模擬所描述的則僅僅是在一定條件下的程序應(yīng)用，這里的“條件”是指包括全部實際過程中所需參數(shù)的條件，也可以指不同的邊界條件和初始條件。2.3數(shù)值模型化與模擬微結(jié)構(gòu)模擬，是通過求解在空間和時間高度離散化條件下反映所考慮的基本晶格缺陷(真實的物理缺陷)或準缺陷(人工微觀系統(tǒng)組元)行為特性的代數(shù)型、微分型或積分型方程式，給出關(guān)于微觀或介觀尺度上多體問題公式化模型的數(shù)值解。因此，微結(jié)構(gòu)模擬可以解釋為是關(guān)于在晶格缺陷或準晶格缺陷層次上對微結(jié)構(gòu)演化進行數(shù)值預(yù)測的工具。微結(jié)構(gòu)數(shù)值(或解析)模型化，是指通過在時間高度離散化而空間離散化程度低的情況下關(guān)于整個晶格缺陷系綜的代數(shù)型、微分型和積分型控制方程式的求解，給出宏觀模型的數(shù)值(或解析)解。2.3數(shù)值模型化與模擬當在同一尺度層次上應(yīng)用于處理同一物理問題時，數(shù)值模型化一般要比模擬速度快，這就是說，數(shù)值模型化可以包括更大的空間尺度和時間尺度。數(shù)值模型化的這一優(yōu)勢是非常重要的，尤其在工業(yè)應(yīng)用方面這一優(yōu)勢更為突出。然而，由于數(shù)值模型化通常在空間上離散化程度較低，所以在定域尺度上其預(yù)測能力差。2.4模型的基本范疇2.4.1空間尺度根據(jù)不同的近似精度，可以對微結(jié)構(gòu)模型進行分類(見表2.3)。通常，把模型簡單地按照其所使用的特征尺度來劃分。若按照比較粗的空間分法，可把模型分為四類，即宏觀模型、介觀模型、微觀模型和納觀模型。宏觀一詞與材料樣品的幾何形狀及尺寸相聯(lián)系，介觀對應(yīng)于晶粒尺度上的晶格缺陷系綜，微觀則相當于晶粒尺度以下的晶格缺陷系綜，而納觀是指原子層次。當然，這種關(guān)于空間的劃分及其定義具有相當?shù)碾S意性。分類的依據(jù)模型種類空間尺度空間維度空間離散性預(yù)測性特征描述性特征路徑相關(guān)性宏觀，介觀，微觀，納觀一維，二維，三維連續(xù)體，原子論確定性的，隨機性/概率性的，統(tǒng)計學的第一性原理，唯象的，經(jīng)驗性的動態(tài)的，靜態(tài)的表2.3模擬的特征性質(zhì)2.4.2空間維度關(guān)于模型分類的第二個可行的方法，就是根據(jù)模型的空間維度(即一維、二維和三維)來劃分。在計算材料學中，二維和三維模型較為流行。它們之間的差異對其結(jié)果的合理解釋是至關(guān)重要的。例如，對于包含滑移且具有一定幾何形狀的系統(tǒng)，以及位錯相互作用系統(tǒng)，我們不能用二維模擬方法進行處理，而只能采用三維模擬方法。對于有限元模擬方法，分別由二維和三維模型獲得的預(yù)測結(jié)果之間的差別也是不可忽略的。例如，在對軋制過程的二維有限元法模擬中，板材的橫向增寬一般可以忽略不計。當把位錯動力學從二維推廣到三維時，我們能夠正確描述位錯增殖效應(yīng)、亦即Frank-Read(位錯)源或極的激活機制，而這在二維模擬中是不可能的。2.4.3空間離散化與空間的離散化程度有關(guān)系的情況，可以分成兩類以示區(qū)別，即連續(xù)體模型和原子論模型(見表2.3)。連續(xù)體模型是在考慮了唯象和經(jīng)驗本構(gòu)方程及平衡性、相容性和守恒定律所附加的約束條件下，建立起通常宏觀情況下描述材料響應(yīng)特性的微分方程，并由此微分方程求出單個原子的平均性質(zhì)。連續(xù)體模型的典型例子有：經(jīng)典有限元模型，多晶體模型，自洽方法，確定性元胞自動機。位錯動力學方法，拓撲頂點模型，以及相場模型。如果要獲得微結(jié)構(gòu)性質(zhì)更為詳細的預(yù)測信息，則連續(xù)體模型將代之為原子論模型。原子論模型可給出更好的空間分辨率，與連續(xù)體模型相比，原子論模型包含有較少的唯象假說。2.4.3空間離散化原子論模型的典型例子有經(jīng)典分子動力學和蒙特卡羅方法。與經(jīng)典分子動力學方法相比，現(xiàn)代原子論方法由于更多地采用真實勢函數(shù)，以及計算機能力的顯著提高，其發(fā)展勢頭非常強勁。實際上，基于第一性原理的從頭計算模型，其主要目的在于對有限數(shù)目的原子的薛定鄂方程給出近似解。通過分子動力學與緊束縛近似或者局域密度泛函理論相結(jié)合，以及通過變分量子蒙特卡羅方法，可以演繹出各種不同的從頭計算方法。就微結(jié)構(gòu)演化的計算來講，大多數(shù)基于第一性原理的模型在數(shù)值處理方面，仍然是非常慢的。然而，它們在關(guān)于材料的基本物性、基本結(jié)構(gòu)及簡單晶格缺陷行為特性的預(yù)測方面，其重要性在逐漸增加。2.4.4預(yù)測性特征關(guān)于模型的另一種可行的分類方法就是基于其預(yù)測性特征。確定性模型，就是基于把一些代數(shù)方程或微分方程作為靜態(tài)方程和演化方程，以明確嚴格的模擬方式描述微結(jié)構(gòu)的演化。隨機性模型，就是使用概率方法對微結(jié)構(gòu)的演化進行模擬描述。建立隨機性模型的最初目的在于采用一系列隨機數(shù)去完成大量的計算機實驗，從而實現(xiàn)對正則系綜的模擬。隨著把對磁疇計算的伊辛模型擴展為可以采用等自旋磁疇來模擬界面的多態(tài)波茨模型。隨機性模型在微結(jié)構(gòu)空間離散化模擬方面的推廣應(yīng)用有了很大發(fā)展。波獲(Potts，1952年)模型，Metropolis(1953年)蒙特卡羅方法和概率性元胞自動機(Grassberger等人，1984；Kinzel，1985)都是常規(guī)隨機性模型的典型例子。2.4.4預(yù)測性特征統(tǒng)計模型最典型的特征之一就是空間非離散化。最有名的塑性統(tǒng)計運動學模型是由Argon、Kocks和Ashby等人在1975年建立的。高級微結(jié)構(gòu)本征模型的典型例子有屬于運動學理論范疇的現(xiàn)代方法，它包括了更為復(fù)雜的演化機理和帶有各相關(guān)微結(jié)構(gòu)參數(shù)的狀態(tài)動力學方程。此外，人們還提出了一些關(guān)于非線性和隨機性結(jié)構(gòu)演化的新理論，賦予原來的模型以更多的物理意義，同時也顯示了與塑性不穩(wěn)定性的實驗結(jié)果有更好的一致性。2.4.5描述性特征通過區(qū)分第一性原理、唯象和經(jīng)驗等幾個概念，我們可以給出關(guān)于模型分類的另一種方案。第一性原理模型，其目的在于通過最少的假說與唯象定律，獲得構(gòu)成所研究系統(tǒng)的根本特性和機理。其典型例子就是基于局域密度泛函理論的模擬方法。顯然，即使是第一性原埋模型，也一定含有一些既無法說清其根源也無法證明其正確性的假說。例如在通常原子尺度上，基于局域密度泛函理論的模擬方法，其中暗含著使用了絕熱波恩-奧本海默近似。2.4.5描述性特征計算材料學中的大多數(shù)模擬方法部是唯象的，亦即它們使用了必須與某些物理現(xiàn)象相符合的狀態(tài)方程及其演化方程。在這些方法中，大多數(shù)原子的詳細信息諸如電子結(jié)構(gòu)，通常是在考慮了晶格缺陷的情況下平均給出的。經(jīng)驗性方法可以在要求的精度范圍內(nèi)，從數(shù)學角度給出與實驗結(jié)果相吻合的結(jié)論。因此，它們一般不含有晶格缺陷的行為特性。然而，唯象模型公式化的過程可以看作是一個基本的步驟，在其中必須確定哪些態(tài)變量對系統(tǒng)性能有較強的影響，哪些態(tài)變量對系統(tǒng)的影響較弱，但在經(jīng)驗性模型中不區(qū)分重要的和不重要的貢獻。因此，唯象模型具備一定的預(yù)測能力，而經(jīng)驗性方法在實際的預(yù)測中沒有什么實用價值。引入模糊集合理論和人上神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，使經(jīng)驗性方法的應(yīng)用情況得到了改善。2.4.6路徑相關(guān)性模型可以集中于考慮靜態(tài)方面，也可