剛體轉(zhuǎn)動(黑白)

第5章剛體運(yùn)動學(xué)與動力學(xué)教學(xué)基本要求：一、理解描寫剛體定軸轉(zhuǎn)動角速度和角加速度的物理意義，并掌握角量與線量的關(guān)系。

二、理解力矩和轉(zhuǎn)動慣量概念，掌握剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定理。三、理解角動量概念，掌握角動量定律，并能處理一般質(zhì)點(diǎn)在平面內(nèi)運(yùn)動以及剛體繞定軸轉(zhuǎn)動情況下的角動量守恒問題。四、理解剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能概念，能在有剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的問題中正確地應(yīng)用機(jī)械能守恒定律。§5.1

剛體的概念一.剛體特殊的質(zhì)點(diǎn)系，——理想化模型形狀和體積不變化在力作用下，組成物體的所有質(zhì)點(diǎn)間的距離始終保持不變剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體。(任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組。)剛體的運(yùn)動形式：平動、轉(zhuǎn)動。⑴剛體是理想模型；⑵剛體模型是為簡化問題引進(jìn)的。說明：§5.2

剛體的平動剛體運(yùn)動時(shí)，若在剛體內(nèi)所作的任一條直線都始終保持和自身平行—剛體平動平動的特點(diǎn)(1)剛體中各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動情況相同(2)剛體的平動可歸結(jié)為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動平動：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動軌跡都保持完全相同．特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)一樣，如：等都相同．剛體平動質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動一大型回轉(zhuǎn)類“觀覽圓盤”如圖所示。圓盤的半徑R=25m，供人乘坐的吊箱高度L=2m。若大圓盤繞水平軸均速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速n(轉(zhuǎn)速：物體單位時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù))為0.1r/min。例解求吊箱底部A點(diǎn)的速度和加速度的大小。吊箱平動§5.3剛體繞定軸轉(zhuǎn)動角坐標(biāo)角速度角加速度一.描述

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量剛體的平動和繞定軸轉(zhuǎn)動是剛體的兩種最簡單最基本運(yùn)動剛體內(nèi)各點(diǎn)都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運(yùn)動___剛體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸固定不動—定軸轉(zhuǎn)動zMIIIP二.定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點(diǎn)的速度和加速度當(dāng)與質(zhì)點(diǎn)的勻加速直線運(yùn)動公式相象定軸P×ω,剛體參考方向θzOr'基點(diǎn)O瞬時(shí)軸任意點(diǎn)都繞同一軸作圓周運(yùn)動,且，都相同

速度與角速度的矢量關(guān)系式加速度與角加速度的矢量關(guān)系式定軸P×ω,剛體參考方向θzOr'基點(diǎn)O瞬時(shí)軸(1)每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動，圓面為轉(zhuǎn)動平面；(2)任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動均相同，但

不同；定軸轉(zhuǎn)動的特點(diǎn)(3)運(yùn)動描述僅需一個(gè)角坐標(biāo)．利用皮帶傳動，用電動機(jī)拖動一個(gè)真空泵．電動機(jī)上裝一半徑為0.1m的輪子，真空泵上裝一半徑為0.29m的輪子，如圖所示．如果電動機(jī)的轉(zhuǎn)速為1450rev/min，則真空泵上的輪子的邊緣上一點(diǎn)的線速度為__________________，真空泵的轉(zhuǎn)速為____________________．0.1m0.29m5.4力矩剛體繞定軸轉(zhuǎn)動微分方程一.力矩力改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài)剛體獲得角加速度力F對z軸的力矩力矩取決于力的大小、方向和作用點(diǎn)???質(zhì)點(diǎn)獲得加速度改變質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)？hA(1)

力對點(diǎn)的力矩O.(2)

力對定軸力矩的矢量形式力矩的方向由右螺旋法則確定(3)力對任意點(diǎn)的力矩，在通過該點(diǎn)的任一軸上的投影，等于該力對該軸的力矩討論hAxLOMy例已知棒長L,質(zhì)量M，在摩擦系數(shù)為的桌面轉(zhuǎn)動(如圖)解根據(jù)力矩xdx求摩擦力對y軸的力矩如圖所示，x軸沿水平方向，y軸豎直向下，在t＝0時(shí)刻將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)由a處靜止釋放，讓它自由下落，則在任意時(shí)刻t，質(zhì)點(diǎn)所受的對原點(diǎn)O的力矩＝________________；Oyaxb剛體的轉(zhuǎn)動定律作用在剛體上所有的外力對定軸z軸的力矩的代數(shù)和剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量(1)M正比于，力矩越大，剛體的

越大(2)力矩相同，若轉(zhuǎn)動慣量不同，產(chǎn)生的角加速度不同二.剛體對定軸的轉(zhuǎn)動定律實(shí)驗(yàn)證明當(dāng)M為零時(shí)，則剛體保持靜止或勻速轉(zhuǎn)動當(dāng)存在M時(shí)，與M成正比，而與J成反比(3)與牛頓定律比較：討論在國際單位中k=1轉(zhuǎn)動慣量O理論推證取一質(zhì)量元切線方向?qū)λ匈|(zhì)元合內(nèi)力矩=0合外力矩M剛體的轉(zhuǎn)動慣量

J?轉(zhuǎn)動慣量

J

的意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度.

轉(zhuǎn)動慣量的單位：kg·m2三.轉(zhuǎn)動慣量定義式質(zhì)量不連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的三個(gè)要素:(1)總質(zhì)量(2)質(zhì)量分布(3)轉(zhuǎn)軸的位置(1)J與剛體的總質(zhì)量有關(guān)例如兩根等長的細(xì)木棒和細(xì)鐵棒繞端點(diǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量LzOxdxM?x(2)J與質(zhì)量分布有關(guān)例如圓環(huán)繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量例如圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量dlOmROmrdrROLxdxMzLOxdxM四.平行軸定理及垂直軸定理zLCMz'z(3)J與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)1.平行軸定理:剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動慣量:剛體繞通過質(zhì)心的軸:兩軸間垂直距離例均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動慣量2.(薄板)垂直軸定理ML

例如求對圓盤的一條直徑的轉(zhuǎn)動慣量已知yxz

圓盤

R

Cmx,y軸在薄板內(nèi)；z軸垂直薄板。zxy(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計(jì)算飛輪的角加速解(1)(2)兩者區(qū)別五.轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用舉例例求一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計(jì)，(見圖)圓盤以

0在桌面上轉(zhuǎn)動,受摩擦力而靜止解例求到圓盤靜止所需時(shí)間取一質(zhì)元由轉(zhuǎn)動定律摩擦力矩R§5.5

繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能動能定理一.轉(zhuǎn)動動能zO設(shè)系統(tǒng)包括有N個(gè)質(zhì)量元,其動能為剛體的總動能P?繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能等于剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量與其角速度平方乘積的一半結(jié)論取二.力矩的功O功的定義力矩作功的微分形式對一有限過程若

M=C(積分形式）力的累積過程——力矩的空間累積效應(yīng)??.P三.轉(zhuǎn)動動能定理——力矩功的效果對于一有限過程繞定軸轉(zhuǎn)動剛體在任一過程中動能的增量，等于在該過程中作用在剛體上所有外力所作功的總和。這就是繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的——動能定理(2)力矩的功就是力的功。(3)內(nèi)力矩作功之和為零。討論(1)合力矩的功例一根長為l，質(zhì)量為m的均勻細(xì)直棒，可繞軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時(shí)它在水平位置解由動能定理求它由此下擺

角時(shí)的OlmCx一.質(zhì)點(diǎn)動量矩(角動量)定理和動量矩守恒定律1.質(zhì)點(diǎn)的動量矩(對O點(diǎn))其大小(1)質(zhì)點(diǎn)的動量矩與質(zhì)點(diǎn)的動量及位矢(取決于固定點(diǎn)的選擇)有關(guān)特例：質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動§5.6

動量矩和動量矩守恒定律說明OS慣性參照系(2)當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對運(yùn)動平面內(nèi)某參考點(diǎn)O的動量矩也稱為質(zhì)點(diǎn)對過O垂直于運(yùn)動平面的軸的動量矩例一質(zhì)點(diǎn)m，速度為v，如圖所示，A、B、C分別為三個(gè)參考點(diǎn),此時(shí)m相對三個(gè)點(diǎn)的距離分別為d1、d2、d3求此時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)對三個(gè)參考點(diǎn)的動量矩md1d2

d3ABC解OS(質(zhì)點(diǎn)動量矩定理的積分形式)(質(zhì)點(diǎn)動量矩定理的微分形式)質(zhì)點(diǎn)所受合力矩的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)的動量矩的增量2.質(zhì)點(diǎn)的動量矩定理說明(1)沖量矩是質(zhì)點(diǎn)動量矩變化的原因(2)質(zhì)點(diǎn)動量矩的變化是力矩對時(shí)間的積累結(jié)果3.質(zhì)點(diǎn)動量矩守恒定律──質(zhì)點(diǎn)動量矩守恒定律(2)

通常對有心力：(1)動量矩守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系，也適用于微觀體系，且在高速低速范圍均適用討論過O點(diǎn),M=0,動量矩守恒當(dāng)飛船靜止于空間距行星中心4R時(shí)，以速度v

0發(fā)射一求θ角及著陸滑行的初速度多大？解引力場（有心力）質(zhì)點(diǎn)的動量矩守恒系統(tǒng)的機(jī)械能守恒例發(fā)射一宇宙飛船去考察一質(zhì)量為M、半徑為R的行星，質(zhì)量為m的儀器。要使該儀器恰好掠過行星表面二.質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理和動量矩守恒定律質(zhì)點(diǎn)系對參考點(diǎn)O的動量矩就是質(zhì)點(diǎn)系所有質(zhì)點(diǎn)對同一參考點(diǎn)的動量矩的矢量和記質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心C的位置矢量為，速度為。對第i個(gè)質(zhì)，則點(diǎn)，設(shè)其相對于質(zhì)心的位置矢量為，速度為1.質(zhì)點(diǎn)系的動量矩(1)

質(zhì)點(diǎn)系的動量矩(角動量)可分為兩項(xiàng)第一項(xiàng)：只包含系統(tǒng)的總質(zhì)量、質(zhì)心的位矢和質(zhì)心的速度

——軌道角動量第二項(xiàng)：是質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心的角動量的矢量和——自旋角動量說明(2)質(zhì)點(diǎn)系的軌道角動量等于質(zhì)點(diǎn)系的全部質(zhì)量集中于質(zhì)心處的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)對于參考點(diǎn)的角動量。它反映了整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系繞參考點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動

(3)質(zhì)點(diǎn)系的自旋角動量是以質(zhì)心為參考點(diǎn)的角動量。與質(zhì)心運(yùn)動無關(guān)。它只代表系統(tǒng)的內(nèi)稟性質(zhì)

2.質(zhì)點(diǎn)系的動量矩定理微分形式積分形式質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩的沖量矩等于質(zhì)點(diǎn)系動量矩的增量質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力矩不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動量矩說明3.質(zhì)點(diǎn)系動量矩守恒定律對質(zhì)點(diǎn)系三.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理和動量矩守恒定律1.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩剛體上任一質(zhì)點(diǎn)對Z軸的動量矩都具有相同的方向O(所有質(zhì)元的動量矩之和)如果作用在質(zhì)點(diǎn)系合外力矩沿某軸的投影為零,則沿此軸動量矩守恒,如2.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理由轉(zhuǎn)動定律（動量矩定理積分形式）定軸轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動量矩的增量(1)變形體繞某軸轉(zhuǎn)動時(shí)，若其上各點(diǎn)(質(zhì)元)轉(zhuǎn)動的角速度相同，則變形體對該軸的動量矩說明3.剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律