廣義變分原理及其應(yīng)用

廣義變分原理及其應(yīng)用2000.31第一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.321.1虛力原理與余能原理1.1.1虛位移原理和勢(shì)能原理（復(fù)習(xí)）1）虛位移原理的虛功方程——矩陣表達(dá)δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV體積力虛功表面力虛功虛變形功δWe=∫VFbiδuidV+∫SσFsiδuidS=δWi=∫VσijδεijdV虛功方程——張量表達(dá)第二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.332）勢(shì)能原理的數(shù)學(xué)表達(dá)Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=min總勢(shì)能應(yīng)變能外力勢(shì)能1.1.2虛力原理1）虛力原理的表述給定位移狀態(tài)協(xié)調(diào)的充分必要條件為：對(duì)一切自平衡的虛應(yīng)力，恒有如下虛功方程成立（矩陣）∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS虛反力功表面給定位移虛余變形功第三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.34虛功方程——張量表達(dá)∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS2)

必要性證明εij=1/2(ui,j+uj,i)=D-1ijklσklV：δσij,j=0Sσ：δσijnj=0已知條件：[ε]=[A]T[u]=[D]-1[σ]V：δ[σ]=[0]Sσ：[L]δ[σ]=[0]需證明的是：∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS或張量表達(dá)形式已知條件：第四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.35∫V(

[A][u])Tδ[σ]dV=∫S([L]δ[σ])T[u]

dS-∫V([A]δ[σ])T[u]

dV1/2∫V(ui,j+uj,i)δσijdV=∫SδσijnjuidS-∫Vδσij,juidV[證明]：利用格林公式或張量形式格林公式考慮到虛應(yīng)力的已知自平衡條件，立即可得∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS必要性證畢。第五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.362)

充分性證明V：δσij,j=0Sσ：δσijnj=0已知條件：[ε]=[D]-1[σ]需證明的是：應(yīng)變?chǔ)舏j是協(xié)調(diào)的。或張量表達(dá)形式εij=D-1ijklσkl∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dSV：[A]δ[σ]=[0]Sσ：[L]δ[σ]=[0][證明]：因?yàn)閂：[A]δ[σ]=[0]，所以對(duì)任意[λ]∫V([A]δ[σ])T

[λ]dV=[0]利用格林公式和已知條件可得第六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.37設(shè)體內(nèi)三個(gè)虛剪應(yīng)力任意、獨(dú)立，另三個(gè)正應(yīng)力滿足[A]δ[σ]=[0]。又因?yàn)閇λ]完全任意，因此可設(shè)∫V(

[D]-1[σ]-[A]T[λ])Tδ[σ]dV+∫Su([L]δ[σ])T(

[λ]-[u]0)dS=0(a)在此條件下，式(a)由于虛應(yīng)力的任意、獨(dú)立性可得V:[D]-1[σ]-[A]T[λ]=[0]Su：

[λ]-[u]0=[0]充分性證畢。第七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.381.1.3余能原理和由虛位移原理導(dǎo)出勢(shì)能原理一樣，由虛力原理∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS可得δ(1/2∫V[ε]T

[σ]dV-∫Su([L]

[σ])T[u]0dS)=0記VC如下所示，并稱為變形體的總余能VC=1/2∫V[ε]T

[σ]dV-∫Su([L]

[σ])T[u]0dS則由δVC=0可得在一切可能的靜力平衡狀態(tài)中，某應(yīng)力狀態(tài)為真實(shí)應(yīng)力的充要條件是，變形體的總余能取駐值。對(duì)線彈性體，此駐值為最小值。余能原理第八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.39余能原理等價(jià)于協(xié)調(diào)，表達(dá)為VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS=min利用格林公式，立即可證明Ve+VC=01.2泛函的變換格式（龍馭球提出）簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，勢(shì)能原理等價(jià)平衡，表達(dá)為Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=min1.2.1一些預(yù)備知識(shí)1)變量的分類第九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.310除泛函變量外，泛函中的其他變量稱為泛函的增廣變量。在余能泛函VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS中σij是泛函變量，其他是增廣變量。泛函中所顯含的自變函數(shù)稱為泛函的泛函變量。在勢(shì)能泛函Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS中ui是泛函變量，其他是增廣變量。第十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.311泛函中泛函變量事先所需滿足的條件，稱為泛函的強(qiáng)制條件。在余能泛函中σij所需滿足的平衡條件（內(nèi)部和邊界）即為強(qiáng)制條件。VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS2)泛函所滿足的條件在勢(shì)能泛函中ui所滿足的協(xié)調(diào)條件即為強(qiáng)制條件。Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS第十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.312在余能泛函中σij所對(duì)應(yīng)的應(yīng)變應(yīng)滿足的協(xié)調(diào)條件為自然條件。由返函的變分等于零所導(dǎo)出的條件，稱為泛函的自然條件。在勢(shì)能泛函中ui所滿足的平衡條件即為自然條件。在泛函中，泛函變量與增廣變量間，或增廣變量之間所應(yīng)滿足的條件稱為增廣條件。在勢(shì)能泛函中幾何方程和物理方程即為增廣條件。3)泛函間關(guān)系的分類第十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.313如果廣義等價(jià)的兩泛函，其變量和條件均對(duì)應(yīng)相同，稱此兩泛函為等價(jià)的。兩泛函所包含的全部變量、全部條件均相同，但是變量的區(qū)分不同，或變量的條件不同等，稱此兩泛函為廣義等價(jià)。如果兩泛函等價(jià)，且只相差一比例系數(shù)，則稱這兩泛函互等。1.2.2泛函的三種變換格式1)泛函的放松格式——拉氏乘子法（傳統(tǒng)）基本思路是，將強(qiáng)制條件用拉氏乘子引入泛函，從泛函變分判斷拉氏乘子含義，并得到放松了強(qiáng)制條件的多自變量泛函的變換格式。第十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.3142)增廣格式——高階拉氏乘子法（錢偉長(zhǎng)）教材上介紹了從余能原理得到海林格-賴斯納二變量廣義余能原理的基本步驟，請(qǐng)大家按思路自行推證。只有自己動(dòng)手，才能真真掌握?；舅悸肥?，對(duì)無(wú)條件泛函，將增廣條件構(gòu)造一正定二次型，再乘一待定乘子，從而得到新的增廣變量變?yōu)榉汉兞康臒o(wú)條件泛函。請(qǐng)大家自行證明教材給出的，錢偉長(zhǎng)教授建立的泛函是三變量的無(wú)條件泛函。3)等價(jià)格式——龍馭球格式基本思路是，用自然條件構(gòu)造正定二次型，按增廣格式建立與原泛函等價(jià)的新泛函。第十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.315請(qǐng)大家自行證明教材給出的，錢偉長(zhǎng)教授建立的另一泛函也是三變量的無(wú)條件泛函。并證明當(dāng)參數(shù)等于1時(shí)，將“退化”成兩變量的海林格-賴斯納泛函（差一符號(hào)）。學(xué)習(xí)的關(guān)鍵在真真掌握原理、方法等的基本思路，從而以便能靈活運(yùn)用它。上述各種格式的思路就是如此簡(jiǎn)單，但不親自做一做，經(jīng)驗(yàn)證明真真掌握它是不可能的。4)換元乘子法（龍馭球）將增廣變量通過(guò)增廣條件引入泛函，從而增廣條件成為強(qiáng)制條件，再用拉氏乘子法放松強(qiáng)制條件，將增廣變量引入無(wú)條件泛函的方法。第十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.3161.3含可選參數(shù)的廣義變分原理1.3.1含可選參數(shù)的廣義變分原理1）變分泛函的建立從三變量無(wú)條件胡海昌-鷲津久一郎廣義泛函出發(fā)，用等價(jià)格式龍馭球建立了教材上前12個(gè)正定二次型，我補(bǔ)充了后兩個(gè)二次型，乘14個(gè)參數(shù)構(gòu)成和胡-鷲廣義泛函等價(jià)的新泛函。龍馭球認(rèn)為參數(shù)是可以任意選取的，因此稱為含任意參數(shù)的廣義變分原理。我提出并得到龍先生認(rèn)同，參數(shù)不能完全任意選取，必須滿足教材圖示的通路關(guān)系。2)參數(shù)選取問(wèn)題第十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.317從而建立了含可選參數(shù)的廣義變分原理。最基本的是結(jié)構(gòu)力學(xué)中介紹的虛功原理，它是一個(gè)必要性命題，要求力狀態(tài)平衡，要求位移狀態(tài)協(xié)調(diào)，滿足此條件恒有虛功方程成立。虛功原理中力狀態(tài)是給定的一個(gè)，虛位移是任意的，條件的改變導(dǎo)致結(jié)論的改變，由此得到虛位移原理。在無(wú)限分割情況下，等價(jià)于平衡條件。它是一個(gè)充分必要性命題。1.3.2變分原理間的相互關(guān)系第十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.318虛力原理也是虛功原理?xiàng)l件改變的結(jié)果，位移給定虛應(yīng)力任意，無(wú)限分割時(shí)等價(jià)于協(xié)調(diào)條件。它也是充要條件。由虛位移原理可導(dǎo)得勢(shì)能原理，由虛力原理可導(dǎo)得余能原理（當(dāng)然它們也可由定義來(lái)推導(dǎo)）。它們是一對(duì)對(duì)偶的原理。從勢(shì)能原理出發(fā)，用放松格式可得到無(wú)條件的勢(shì)能原理，用換元乘子法可得到二變量廣義余能原理、三變量的廣義勢(shì)能原理。從余能原理出發(fā)，用放松格式可得無(wú)條件的廣義余能原理，用換元乘子法可得到三變量的廣義勢(shì)能原理。第十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.319從二變量的廣義余能原理和三變量的廣義勢(shì)能原理出發(fā)，用格林公式可分別得到二變量的廣義勢(shì)能原理和三變量廣義余能原理。從二變量的廣義余能原理或二變量的廣義勢(shì)能原理出發(fā)，用等價(jià)格式可得到二變量含可選參數(shù)的廣義變分原理，當(dāng)滿足特定退化條件時(shí)，將退化為無(wú)條件的勢(shì)能原理。參數(shù)為零時(shí)恢復(fù)成二變量廣義變分原理。第十九頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.320從三量的廣義余能原理或三變量的廣義勢(shì)能原理出發(fā)，用等價(jià)格式可得到三變量含可選參數(shù)的廣義變分原理，當(dāng)滿足特定退化條件時(shí)，將退化為二變量的含可選參數(shù)廣義變分原理。參數(shù)為零時(shí)恢復(fù)成三變量廣義變分原理。上述原理間的關(guān)系，可用教材上P.196圖6-2來(lái)表示。如果真的掌握了《有限元Ⅰ》所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，象從勢(shì)能原理出發(fā)通過(guò)構(gòu)造位移場(chǎng)那樣，合適地建立變分原理對(duì)應(yīng)的場(chǎng)變量，即可用變分原理得到對(duì)應(yīng)的有限元列式。下面簡(jiǎn)單介紹基于賴斯納原理的混合元分析。第二十頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.3211.4基于Reissner原理的混合元1.4.1原理的使用選擇前面介紹了從余能原理獲得了二變量廣義余能原理如下：用于單元時(shí)，考慮結(jié)點(diǎn)力作用后改為第二十一頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.322由此原理出發(fā)，如《有限元Ⅰ》所述，進(jìn)行有限元分析時(shí)要求構(gòu)造的應(yīng)力場(chǎng)跨單元協(xié)調(diào)、在單元應(yīng)力邊界上要求平衡，構(gòu)造這樣的變量場(chǎng)是困難的。為此，用格林公式作變換，得到二變量廣義勢(shì)能泛函如下：用于單元時(shí)，考慮結(jié)點(diǎn)力作用可同樣修改。當(dāng)用此泛函作有限元分析時(shí)，要求位移場(chǎng)跨單元(C0級(jí))協(xié)調(diào)，由《有限元Ⅰ》可知，這是不難做到的。因此，一般用它分析。第二十二頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.3231.4.2單元列式及說(shuō)明用上述原理作單元列式時(shí)，要建立兩類變量場(chǎng)：位移場(chǎng)(u)和應(yīng)力場(chǎng)(σ)，位移場(chǎng)只要滿足跨單元協(xié)調(diào)，并不要像位移元組裝后需作約束條件處理，使?jié)M足位移邊界條件。設(shè)(u)=(N)(δ)e(σ)=(β)(P)e代入賴斯納原理并經(jīng)數(shù)學(xué)推導(dǎo)后，可得教材上(6.4-7)所示混合元性質(zhì)方程。第二十三頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.324式(6.4-7)中的一些矩陣分別為有了(6.4-7)混合元性質(zhì)方程，作整體組裝即可獲得整體性質(zhì)方程。但必須注意，整體性質(zhì)矩陣是奇異的，求解時(shí)必須作必要的處理。只和(σ)有關(guān)和(σ)、(u)有關(guān)只和(u)有關(guān)只和(σ)有關(guān)混合元分析可直接求得應(yīng)力，因此一般來(lái)說(shuō)應(yīng)力的精度比位移元要高。第二十四頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.325混合元依據(jù)的是駐值原理，因此結(jié)果沒(méi)有一致的趨向性。賴斯納原理包含兩類場(chǎng)變量，這就存在必須解決它們之間合理地配合的問(wèn)題。當(dāng)應(yīng)力參數(shù)矩陣(P)相鄰單元無(wú)關(guān)時(shí)，可對(duì)單元性質(zhì)方程進(jìn)行縮聚處理，最終可得到單元“剛度方程”，只要修改“剛度矩陣”和“等效結(jié)點(diǎn)荷載矩陣”，就可用位移元的計(jì)算程序來(lái)解算。對(duì)平面和空間問(wèn)題來(lái)說(shuō)，位移元建立位移場(chǎng)并無(wú)多大困難，混合元對(duì)板殼計(jì)算更有用。第二十五頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.3261.4.3薄板彎曲的混合元薄板彎曲理論中的廣義勢(shì)能泛函為式中有關(guān)符號(hào)的說(shuō)明見(jiàn)教材P.200。從κ的表達(dá)式可見(jiàn)，用它進(jìn)行混合元分析需要w

具有C1級(jí)連續(xù)。這將與位移元一樣產(chǎn)生困難。為此，需對(duì)上述泛函進(jìn)行改造。第二十六頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.327

Herrmann提出用分部積分和奧-高公式對(duì)上述泛函進(jìn)行改造，獲得如下的Herrmann泛函（教材上有這種純數(shù)學(xué)的具體推導(dǎo)）有了廣義變分泛函，和平面問(wèn)題一樣，設(shè)出撓度場(chǎng)w

和彎矩場(chǎng)M后，代入泛函即可建立薄板彎曲的混合元性質(zhì)方程。教材上結(jié)合常彎矩三角形、線性彎矩三角形混合元介紹了一些具體列式，可供大家應(yīng)用時(shí)參考。第二十七頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.3281.5放松約束的變分原理及雜交元1.5.1修正余能原理前面已得到余能原理，作有限元分析時(shí)VC=Σ[1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS]e=min該泛函的強(qiáng)制條件為

Ve:σij,j+Fbi=0

Sσe上:FSi-σijnj=0

SBL上:(σijnj)+-(σijnj)-=0相鄰界面前面已經(jīng)提到，要事先滿足上述條件是困難的。為此，可利用放松格式來(lái)得到放松了邊界處約束條件的修正余能原理（具體推導(dǎo)見(jiàn)教材）。第二十八頁(yè)，共三十二頁(yè)，2022年，8月28日2000.329V*C=Σ[1/2∫VσijεijdV+∫SσFsiuidS-∫SσijnjuidS]e=min該泛函的強(qiáng)制條件改為了

Ve:σij,j