第四講 不定積分、定積分極其應(yīng)用

第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用§1定積分的概念與性質(zhì)一、定積分問(wèn)題舉例1.曲邊梯形的面積在(a,b)內(nèi)插入n–1個(gè)分點(diǎn)梯形曲邊梯形第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用則由x=a,x=b,y=0與y=f(x)所圍成的曲邊梯形的面積A可以近似表示為曲邊梯形的面積為第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用2.變速直線運(yùn)動(dòng)的路程分析：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值．第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例1求由拋物線y=x2與直線x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積解：將區(qū)間[0,1]分成n等份：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用上面我們是以區(qū)間左端點(diǎn)的函數(shù)值作為小曲邊梯形的高，如果以區(qū)間右端點(diǎn)的函數(shù)值作為高也能得到一樣的結(jié)果：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用二、定積分的定義上面兩個(gè)例子都有下面的四個(gè)過(guò)程：分割近似代替求和取極限化整為零以直代曲積零為整刨光磨平第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用定義記為第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用積分上限積分下限被積函數(shù)積分變量被積表達(dá)式注：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用存在定理定理1定理2三、定積分的幾何意義第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例1解：例2解：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用四、定積分的性質(zhì)對(duì)定積分的補(bǔ)充規(guī)定:性質(zhì)1證（此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)函數(shù)作和或差的情況）第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用性質(zhì)2證性質(zhì)3第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用補(bǔ)充：不論的相對(duì)位置如何,上式總成立.例若則注：1.定積分對(duì)于積分區(qū)間具有可加性2.該性質(zhì)多用于分段函數(shù)求定積分，由于在不同的區(qū)間上函數(shù)解析式不一樣，所以要把定積分分成若干個(gè)區(qū)間去求第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用性質(zhì)4證第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用性質(zhì)4的推論：（1）證第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用（2）證第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用性質(zhì)5證注：該性質(zhì)又稱為定積分的估值定理，可以用于估計(jì)積分值的大致范圍，也可用于證明一些積分不等式第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例3證明：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用性質(zhì)6（定積分中值定理）證由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理知使即第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用積分中值公式的幾何解釋：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用補(bǔ)充：介值定理MBCAmab零點(diǎn)定理可以看成是介值定理的推論！第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用§2變上限積分的概念與定理一、變上限定積分的定義考察定積分記積分上限函數(shù)第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用二、變上限定積分的導(dǎo)數(shù)（性質(zhì)）證明：在這里我們用導(dǎo)數(shù)的定義證明第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用由積分中值定理得上述定理又稱為原函數(shù)存在定理，即變上限積分是函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，這也說(shuō)明了連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)！一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，任何兩個(gè)之間相差一個(gè)常數(shù)上式是型的，我們可以先用一次羅比塔法則第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用定理推廣例1解：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用§3牛頓-萊布尼茨公式定理（微積分基本公式）證令令第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用微積分基本公式表明：因此，求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.由此也引出了另一個(gè)非常重要的概念----不定積分例2解：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用§4不定積分及其計(jì)算方法注：定積分是一個(gè)具體的實(shí)數(shù)，而不定積分是一組函數(shù)（即函數(shù)的全體原函數(shù)，也稱為原函數(shù)族）在區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為在區(qū)間內(nèi)的不定積分，記為.II任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)被積表達(dá)式積分變量一、不定積分的概念第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用二、不定積分的性質(zhì)3.微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆運(yùn)算，但要注意最終結(jié)果的不同形式?、傧惹髮?dǎo)再求不定積分②先求不定積分再求導(dǎo)③先求微分再求不定積分④先求不定積分再求微分第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用三、不定積分基本公式表積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.是常數(shù));第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用不定積分公式記得越多對(duì)我們解題的幫助就越大，可以省去很多繁瑣的過(guò)程，以后我們還會(huì)陸續(xù)補(bǔ)充一些公式。待續(xù)第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例1求解：例2求解：例3解：求第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例4求解第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例5求解例6求解第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用四、換元積分法1.第一類換元積分法（湊微分法）定理注：①湊微分法的關(guān)鍵是把化成湊②公式可以就是我們的不定積分基本公示表，也可以是平時(shí)常見(jiàn)的一些不定積分結(jié)果，都可以當(dāng)成公式來(lái)用，總之，記的公式越多，那么“湊”的機(jī)會(huì)就越多！③當(dāng)熟練地掌握了這種換元法后，可以不寫出中間變量記號(hào)（即不引入新的變量記號(hào)）。這樣可以省去還原這一步。第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例7求解：例8求解：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用熟練湊微分法之后，可以直接先“湊”出想要的微分，然后再補(bǔ)上一些“系數(shù)”保持是恒等變形，省去一些繁瑣的過(guò)程。例7例8例9求解：原式＝求例10解：原式=第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用求例11解：原式=求例12解：原式=注:(14),(15)嚴(yán)格的來(lái)說(shuō)不能算是什么公式，但是在我們解不定積分的題目里發(fā)現(xiàn)經(jīng)常會(huì)遇到這類題目，所以不如將它們當(dāng)成公式來(lái)記憶，不僅節(jié)省了時(shí)間，也保證了正確率，又如：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用2.第二類換元積分法（變量代換法）注：上述定理看似很難懂，其實(shí)想要說(shuō)明的問(wèn)題很簡(jiǎn)單，就是通過(guò)變量代換的方法，把被積函數(shù)中的自變量用其它的變量（比如）來(lái)代換，使得原被積函數(shù)的表達(dá)式發(fā)生適當(dāng)?shù)淖兓?，從而變得易于求解不定積分。具體用何種形式的來(lái)代換自變量，一般來(lái)說(shuō)先把中的某一部分或者整體用來(lái)代換，然后再解出即可，需要注意的是，經(jīng)過(guò)變量代換解出不定積分后，不要忘了回代！第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用①根式代換法（根號(hào)下為一次式）當(dāng)被積函數(shù)中含有形如的式子時(shí)，一般是令

當(dāng)含有若干個(gè)形如時(shí)，則令根

指數(shù)最大的那個(gè)式子等于例13解：回代第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例14解：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例15解：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用解：例16第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用②三角代換法（根號(hào)下為二次式）當(dāng)被積函數(shù)中含有形如、、可以分別做以下代換：注：右邊的三角形可以幫助我們?cè)诨卮臅r(shí)候很方便的求出其他的三角函數(shù)值；并不是所有的含有上述形式的不定積分都必須用三角代換的，有的不定積分用普通的方法就可以求出，要加以注意。第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例17解：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例18解：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用前面說(shuō)了并不是所有的形如上面的根式都必須用三角代換，像上面的例18也可以用湊微分的方法來(lái)求解，具體如下：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用五、不定積分的分部積分法設(shè)函數(shù)和具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，兩邊同時(shí)求不定積分，得也可以寫成分部積分公式注：分部積分法同樣是改變被積函數(shù)的形式，已到達(dá)方便求解的目的，這里是把被積函數(shù)改變?yōu)?；但是如果選擇不當(dāng)，反而會(huì)使得問(wèn)題變得更加復(fù)雜！第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用一般地，選擇的原則是：2，不定積分比原不定積分容易求出。當(dāng)被積函數(shù)是兩種不同類型函數(shù)的乘積時(shí)，我們可以按照“反、對(duì)、冪、指、三”（即反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的順序，選擇排列次序在前的函數(shù)作為u，而將排在后的另一個(gè)函數(shù)選作v′。例19解把lnx看作u，dx看作dv，用公式得第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用解

求例20注：我們會(huì)經(jīng)常遇到連續(xù)兩次或兩次以上使用分部積分法的題目。例21求解令則于是注：從本題看出，在求解不定積分的時(shí)候，每一種方法都不是單獨(dú)使用的，更多的時(shí)候是聯(lián)用。第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用六、不定積分公式補(bǔ)充第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用*下面六個(gè)反三角函數(shù)的不定積分不要求記憶，但要知道如果求解（分部積分法）第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用*下面九個(gè)公式要求記憶，在解題的時(shí)候會(huì)大大減少計(jì)算量

它們分別是由三個(gè)二次式變化而來(lái)的，看似繁瑣，仔細(xì)觀察還是有規(guī)律的！第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用這題的解法有些獨(dú)特，在求解的過(guò)程中循環(huán)出現(xiàn)了被求解的不定積分，用此方法還可以求解形如的題目第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用§5定積分的計(jì)算方法、廣義積分、定積分應(yīng)用一、定積分的計(jì)算方法由牛頓-萊布尼茨公式可知，求定積分的問(wèn)題關(guān)鍵在于求其對(duì)應(yīng)的不定積分，這點(diǎn)我們已經(jīng)做了大量的準(zhǔn)備工作了，這里以例題為主，在具體求解定積分的過(guò)程中我們還需要注意以下幾點(diǎn)：1.利用換元法時(shí)，積分上下限也要作相應(yīng)的變化，且要嚴(yán)格按照原來(lái)的次序，即上限對(duì)上限，下限對(duì)下限；由于已經(jīng)改變了積分上下限，所以最后一步不需要再“回代”了。2.利用分部積分法時(shí)計(jì)算量大，要細(xì)心，尤其是多次分部的情況3.能夠利用特殊方法化簡(jiǎn)定積分計(jì)算的要盡量使用，如利用奇偶性、周期性、遞推公式等等。第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例1解：原式=例2設(shè),求

解：注：當(dāng)所求定積分的被積函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)或者含有絕對(duì)值時(shí)，一般都需要分成不同的區(qū)間來(lái)求解定積分。第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例3解：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例4解：原式=例5證明：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用定積分與積分符號(hào)無(wú)關(guān)此題結(jié)論給了我們一種簡(jiǎn)化定積分運(yùn)算的方法第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例6解：原式=例7解：原式=遞推公式第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用二、廣義積分1.無(wú)窮區(qū)間的廣義積分第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例1計(jì)算廣義積分解：第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例2計(jì)算廣義積分解第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用證第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用2.無(wú)界函數(shù)的廣義積分第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用定義中c為瑕點(diǎn)，以上積分稱為瑕積分.第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例4

計(jì)算廣義積分

解

例5

計(jì)算廣義積分

解

第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用例6計(jì)算積分解

例7計(jì)算積分

解

1是瑕點(diǎn)0是瑕點(diǎn)極限不存在，所以原廣義積分發(fā)散注：廣義積分是定積分的推廣，其本質(zhì)就是求定積分的極限，如果是計(jì)算題一定要有嚴(yán)格的極限形式的求解過(guò)程。第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用三、定積分的應(yīng)用這部分知識(shí)是利用“微元法”的思想求解平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體體積及平面曲線的弧長(zhǎng)，所微元法就是我們?cè)诮榻B定積分的概念時(shí)用到的“分割、近似、求和、取極限”的思想。1.平面圖形的面積①直角坐標(biāo)情形a0xybAbocdexyoaA第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用yxoabx—區(qū)域Axyocdy—區(qū)域A注：如果平面區(qū)域既不是x—型區(qū)域，也不是y—型區(qū)域，則用一組平行于坐標(biāo)軸的直線，把平面區(qū)域分成盡可能少的若干個(gè)x—型區(qū)域與y—型區(qū)域，然后計(jì)算每一區(qū)域的面積，則平面區(qū)域總的面積等于各區(qū)域面積之和。第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用②參數(shù)方程情形如果曲邊梯形的曲邊為參數(shù)方程由于一般情形下的曲邊梯形面積為③極坐標(biāo)情形oxAoxA第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用2.旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體．這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸．第四講不定積分、定積分及其應(yīng)用3.平面曲線的弧長(zhǎng)①直角坐標(biāo)情形

設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程