數(shù)理方程第五章 分離變量法 LWG

第五章分離變量法本章中心內(nèi)容用分離變量法求解各種有界問(wèn)題；本章基本要求掌握有界弦的自由振動(dòng)解及其物理意義著重掌握分離變量法的解題思路、解題步驟及其核心問(wèn)題---本征值問(wèn)題第五章分離變量法問(wèn)題的引入(1)(2)(3)行波法達(dá)朗貝爾公式

前一章所講的行波法，適用范圍會(huì)受到一定限制．本章介紹的分離變量法（又稱為本征函數(shù)展開(kāi)法）是解偏微分方程定解問(wèn)題最常用的重要方法．

其基本思想是把偏微分方程分解為幾個(gè)常微分方程，其中有的常微分方程帶有附加條件從而構(gòu)成本征值問(wèn)題．適用于解大量的各種各樣的定解問(wèn)題，特別在所研究問(wèn)題的區(qū)域是矩形、柱面、球面等情況下，使用更為普遍.5.1分離變量理論

對(duì)于任何二階線性（齊次）偏微分方程5.1.1偏微分方程變量分離及條件

對(duì)于一個(gè)給定的偏微分方程實(shí)施變量分離應(yīng)該具備什么條件？（5.1.1）通過(guò)適當(dāng)?shù)淖宰兞孔儞Q轉(zhuǎn)化為下列標(biāo)準(zhǔn)形式：

(5.1.2)根據(jù)方程(5.1.2)類型直接可知：方程是雙曲型的

它是拋物型的

它是橢圓型的

假設(shè)（5.1.2）的解有下列分離的形式

其中

(5.1.3)分別是單個(gè)變量的二次可微函數(shù)。

代入(5.1.2)即有(5.1.4)1.常系數(shù)偏微分方程討論:若（5.1.4）的系數(shù)均為常數(shù)，并分別用小寫(xiě)的

代表，將方程兩邊同除以XY,則要等式恒成立，只能它們等于一個(gè)既不依賴于x,也不依賴于y的常數(shù)，記為，從而得到兩個(gè)常微分方程2.變系數(shù)偏微分方程對(duì)于變系數(shù)函數(shù)

，假設(shè)存在某一個(gè)函數(shù)

，使得方程除以后變?yōu)榭煞蛛x的形式上式要恒成立，只有它們均等于同一個(gè)常數(shù)，記為

，從而得到兩個(gè)常微分方程由以上討論知道：對(duì)于常系數(shù)二階偏微分齊次方程，總是能實(shí)施變量分離

需要滿足一定的條件，即必須找到討論2中適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)才能實(shí)施變量分離．但對(duì)于變系數(shù)的二階偏微分齊次方程第一類邊界條件第二類邊界條件

5.1.2邊界條件可實(shí)施變量分離的條件一維的情形（設(shè)在邊界點(diǎn)處），常見(jiàn)的

三類邊界條件為假設(shè)具體定解問(wèn)題（以弦的橫振動(dòng)為例）的邊界條件為齊次的：

第三類邊界條件可見(jiàn)，只有當(dāng)邊界條件是齊次的，方可分離出單變量未知函數(shù)的邊界條件．此外，進(jìn)行分離變量時(shí)，還須根據(jù)具體情況確定直角坐標(biāo)系，球坐標(biāo)系以及柱坐標(biāo)系．求定解問(wèn)題的不恒等于零的解須因此得5.2直角坐標(biāo)系中的分離變量法

5.2.1分離變量法介紹例5.2.1：具體考慮長(zhǎng)為，兩端固定的均勻弦的自

由振動(dòng)泛定方程

（5.2.１）（5.2.２）初始條件

（5.2.３）

邊界條件

【解】

物理模型的啟示：樂(lè)器發(fā)出的聲音可以分解為各種不同頻率的單音，每種單音振動(dòng)時(shí)形成正弦曲線，其振幅依賴于時(shí)間t，每個(gè)單音可以表示成由此啟發(fā)，我們?cè)嚽蠓匠蹋?.2.１）的具有如下可以分離變量的形式的非零解用分離變量法求解定解問(wèn)題，具體分如下四個(gè)步驟：第一步：分離變量

【解】

第一步：分離變量用分離變量法求解定解問(wèn)題，具體分如下四個(gè)步驟：變量分離形式的試探解代入（5.2.１）和（5.2.２）泛定方程

（5.2.１）邊界條件

（5.2.２）定解問(wèn)題的泛定方程變?yōu)槠⒎址匠谭蛛x成兩個(gè)常微分方程:(5.2.4)(5.2.5)也不依賴于x的常數(shù)，不妨設(shè)常數(shù)為

要使等式恒成立，只能是它們等于一個(gè)既不依賴于t,(5.2.6)

否則得零解，對(duì)于齊次微分方程是無(wú)意義．我們所謂的求解是指的求出非零解

由齊次邊界條件有（5.2.7）故得邊界條件是齊次的，才得出（5.2.７）這樣簡(jiǎn)單的結(jié)論，而非齊次邊界條件需要轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件．第二步：求解本征值（或稱為固有值）問(wèn)題上面推導(dǎo)的方程

（5.2.5）（5.2.7）注意：為了求解原來(lái)定解問(wèn)題分離變量形式的解，我們就必須首先求解以下常微分方程的邊值問(wèn)題：本征值不能任意取，只能根據(jù)邊界條件（5.2.7）取某些特定值。本征函數(shù)不同（5.2.5）所對(duì)應(yīng)的解本征值問(wèn)題求齊次方程帶有齊次邊界條件的本征值和本征函數(shù)問(wèn)題

定義：二階常系數(shù)微分方程：特征方程：根的三種情況：得常系數(shù)微分方程的通解：這三種不同的取值情況具有不同解的形式附錄:（5.2.5）的解為

（１）和由（5.2.７）確定，即有三種可能逐一加以分析求解（5.2.5），將由此解出被排除

（２）、方程（5.2.5）的解是與X是非零解的要求不符解出和由（5.2.7）確定，即

也被排除．

這也與X

是非零解的要求不符，因此根據(jù)常微分方程的知識(shí)（5.2.5）的解如

，則仍然解出

（３）和由（5.2.7）確定，即只剩下一種可能性：

（5.2.8）常數(shù)的這種特定數(shù)值叫作本征值，相應(yīng)的解叫作本征函數(shù)．方程（5.2.5）和條件（5.2.7）則構(gòu)成本征值問(wèn)題或固有值問(wèn)題．

與對(duì)應(yīng)的函數(shù)為

（5.2.9）（5.2.9）正是傅里葉正弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族．第三步：先求特解，再疊加求出通解

（5.2.10）再得此常微分方程的通解為：（5.2.11）其中和是待定常數(shù)．，由方程（5.2.4）求出相應(yīng)的

對(duì)于每一個(gè)本征值(5.2.4)（5.2.12）（5.2.9）和（5.2.11）代入到解于是得到原來(lái)定解問(wèn)題的變量分離形式的一組特解如下：這是一組已經(jīng)分離了變量的特解。

（5.2.9）（5.2.11）就是滿足(5.2.1)和條件（5.2.2）的通解（5.2.13）由線性方程解的疊加原理，這組解構(gòu)成的無(wú)窮級(jí)數(shù)（5.2.１）（5.2.２）初始條件(5.2.3)確定疊加系數(shù)（5.2.14）第四步:利用本征函數(shù)的正交歸一性確定待定系數(shù)（5.2.３）

（5.2.13）使上述解再同時(shí)滿足原來(lái)定解問(wèn)題的初始條件：(5.2.3)至此，定解問(wèn)題（5.2.1）-(5.2.3)的解已經(jīng)求出

(5.2.15)可確定待定系數(shù):第四步:確定待定系數(shù)（5.2.13）就是滿足下面方程和邊界條件的解（只要上述級(jí)數(shù)收斂并且可以逐項(xiàng)微分兩次）：第四步:確定待定系數(shù)第四步:確定待定系數(shù)(2)第二個(gè)限制：二階線性偏微分方程的解，不一定是分離變量的乘積形式分離變量法是有條件的，會(huì)受到一定的限制注意：(1)第一個(gè)限制：變系數(shù)的二階線性偏微分方程并非總能實(shí)施變量分離5.2.2.解的物理意義特解(5.2.5)改寫(xiě)為

(5.2.16)駐波疊加駐波(standingwave)為兩個(gè)振幅、波長(zhǎng)、周期皆相同的正弦波相向行進(jìn)干涉而成的合成波。此種波的波形無(wú)法前進(jìn)，因此無(wú)法傳播能量，故名之。

5.2.2.解的物理意義駐波(standingwave)為兩個(gè)振幅、波長(zhǎng)、周期皆相同的正弦波相向行進(jìn)干涉而成的合成波。此種波的波形無(wú)法前進(jìn)，因此無(wú)法傳播能量，故名之。

振幅:頻率:初位相:波節(jié):波腹:點(diǎn)數(shù)為2，3，4的駐波形狀

圖5.1（成倍增長(zhǎng)）、位相不同、振幅不同的駐波疊加而成的．所以分離變量法又稱駐波法．各駐波振幅的大小和位相于是我們也可以說(shuō)解是由一系列頻率不同的差異，由初始條件決定，而圓頻率與初始條件無(wú)關(guān)，所以也稱為弦的本征頻率．中最小的一個(gè)

稱為基頻，相應(yīng)的稱為基波．稱為諧頻，相應(yīng)的稱為諧波．

基波的作用往往最顯著．

具體以直角坐標(biāo)系中的三維齊次熱傳導(dǎo)方程為例來(lái)說(shuō)明三維形式中方程的分離．在直角坐標(biāo)系中熱傳導(dǎo)方程為坐標(biāo)變量和時(shí)間變量分離2.三維形式的直角坐標(biāo)分離變量從前面討論的例子容易看出，分離變量的本征值通常是正數(shù)，

所以在上式中我們采用實(shí)數(shù)的平方形式來(lái)表示．得

上式即為亥姆霍茲方程．

又可以表成如下分離形式：

由于上式中函數(shù)的每一項(xiàng)都是單一自變量的函數(shù)．而且彼此獨(dú)立，因此只有當(dāng)每一項(xiàng)分別等于某一任意的分離常數(shù)時(shí)，上述等式才成立，于是，得到其中

上面三個(gè)方程，就是的分離方程，這些分離方程的通解是正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的組合．若是有限區(qū)域的情形，這些分離方程還應(yīng)配有相應(yīng)的齊次邊界條件，即構(gòu)成本征值問(wèn)題．在這種情況下，這些分離的常數(shù)應(yīng)是一系列離散值（例如它們分別與一系列整數(shù)關(guān)），這些離散值即本征值；與此相應(yīng)的解即本征函數(shù)，而時(shí)間部分的解為因此，三維形式中熱傳導(dǎo)問(wèn)題的完整解為5.2.3直角坐標(biāo)系分離變量例題分析

上面我們已經(jīng)研究的例題5.2.1討論的是兩個(gè)邊界點(diǎn)均為第一類齊次邊界條件的定解問(wèn)題．下面討論的例題5.2.2是既有第一類，也有第二類齊次邊界條件的定解問(wèn)題；而例題5.2.3討論的是均為第二類齊次邊界條件的定解問(wèn)題，注意到本征值和本征函數(shù)的區(qū)別．例5.2.2研究定解問(wèn)題：

【解】用分離變量法求解.令代入（5.2.17），(5.2.18)，得本征值問(wèn)題及對(duì)本征值問(wèn)題（5.2.22）-~（5.2.23）討論：（1）若，則方程（5.2.22）的解為

待定常數(shù)和由邊界條件（5.2.23）確定，即有只能得到無(wú)意義的解，應(yīng)該排出．

(2)若

由（5.2.23）得

，則（5.2.22）的解為

，

只能得到無(wú)意義的解，應(yīng)該排出

（3）若，則方程的解是由（5.2.23）則注意到

可以是任意常數(shù)．條件

且要得到非零解，只有．在條件下，

，即故得到本征值為相應(yīng)的本征函數(shù)是系數(shù)B可以在求通解時(shí)考慮進(jìn)去，故此將系數(shù)認(rèn)為是

歸一化的

.

由

將代入（5.2.24）解得疊加得系數(shù)由定解條件確定傅里葉展開(kāi)式系數(shù)可確定為例5.2.3解下列兩端自由棒的自由縱振動(dòng)定解問(wèn)題：

魚(yú)群探測(cè)換能器件或磁致伸縮換能器的核心是兩端自

由的均勻桿，它作縱振動(dòng)．即下列定解問(wèn)題【解】按照分離變量法的步驟，先以變量分離形式的試探解代入（5.2.28），(5.2.29)得求解（5.2.34）～（5.2.35）本征值問(wèn)題，對(duì)

(1)若

進(jìn)行討論,類同于前面的討論，只能得到無(wú)意義的解；(2)若，則方程（5.2.34）的解為

代入（7）得到

故可取歸一化的本征函數(shù)

，于是得到，否則得到無(wú)意義的零解．由于通解中還另有待定系數(shù)，（3）若，方程(5.2.34)的解為

常數(shù)由（5.2.35）確定，即由于

，所以如果則得無(wú)意義的解

；因此于是

相應(yīng)的（歸一化的）本征函數(shù)是這是情況下的本征值．

從上面的討論我們可以將本征值

和對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)統(tǒng)一為當(dāng)將本征函數(shù)值代入到T的方程得到其對(duì)應(yīng)的解為其中

均為獨(dú)立的任意常數(shù)．所以，原定解問(wèn)題的形式解為注意到上式正是傅里葉余弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族．所有本征振動(dòng)的疊加得到通解

系數(shù)由初始條件確定．有把右邊的函數(shù)

后比較兩邊的系數(shù)，得到

展開(kāi)為傅里葉余弦級(jí)數(shù)，然例5.2．4求邊長(zhǎng)分別為的長(zhǎng)方體中的溫度分布，

設(shè)物體表面溫度保持零度，初始溫度分布為【解】定解問(wèn)題為：(5.2.36)(5.2.37)(5.2.38)(5.2.39)(5.2.40)(1)時(shí)空變量的分離：

(2)空間變量的分離：

代入方程式，可得：

代入（5.2.41）式及（5.2.37）．關(guān)于的常微分方程及邊界條件，構(gòu)成本征值問(wèn)題：同時(shí)，

滿足（5.2.42）再令代入（5.2.42）式及（5.2.38）式可得另外兩個(gè)本征值問(wèn)題

和(3)求本征值問(wèn)題

這三個(gè)本征值問(wèn)題的本征值與本征函數(shù)分別為：把（5.2.43）、（5.2.44）、（5.2.45）式的本征值相加，

（5.2.46）得到關(guān)于的本征值問(wèn)題的本征值：

再將上述三式寫(xiě)成的本征函數(shù)：(4)求解關(guān)于

(5)將所有的常微分方程的解疊加起來(lái)，代入初值有的常微分方程：將（5.2.46）式代入中，可得通解：14．3二維極坐標(biāo)系下拉普拉斯方程分離變量

其中，例5.3.1物理模型：

帶電的云與大地之間的靜電場(chǎng)近似是勻強(qiáng)靜電場(chǎng),其電場(chǎng)強(qiáng)度

是豎直的，方向向下．水平架設(shè)的輸電線處于這個(gè)靜電場(chǎng)之中，輸電線是導(dǎo)體圓柱，柱面由于靜電感應(yīng)出現(xiàn)感應(yīng)電荷，圓柱鄰近的靜電場(chǎng)也就不再是勻強(qiáng)的了，如圖5.2所示．不過(guò)離圓柱“無(wú)遠(yuǎn)限遠(yuǎn)”處的靜電場(chǎng)仍保持為勻強(qiáng)的．現(xiàn)在研究導(dǎo)體圓柱怎樣改變了勻強(qiáng)靜電場(chǎng),求出柱外的電勢(shì)分布．解題分析：