復(fù)數(shù)及其運算

第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1.1復(fù)數(shù)及其幾何表示1.2復(fù)變函數(shù)

§1復(fù)數(shù)及其幾何表示一、復(fù)數(shù)的概念1、產(chǎn)生背景的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中稱為虛單位，2、定義：形如為任意實數(shù),且記分別稱為的實部與虛部。二、復(fù)數(shù)的表示法1、(復(fù)平面上的)點表示------用坐標平面上的點rθ此時的坐標面（稱為復(fù)平面）與直角坐標平面的區(qū)別與聯(lián)系。2、(復(fù)平面上的)向量表示-----（1）?！拈L度，記為，則（2）輻角()——與軸正向的夾角(周期性)輻角主值:注3、三角（或極坐標）表示---由得歐拉公式5、代數(shù)表示------復(fù)數(shù)的各種表示可相互轉(zhuǎn)換在不同的運算中可選擇不同表示式進行運算。NSPyzZx6*、復(fù)球面表示------

將擴充復(fù)平面中的所有復(fù)數(shù)唯一表示為一個點，則所有復(fù)數(shù)與復(fù)球面上的點建立一一對應(yīng)關(guān)系。三、復(fù)數(shù)的運算1、相等——兩個復(fù)數(shù)，當且僅當實部與虛部分別相等時才相等。2、和、差、積、商（分母不為0）——代數(shù)式、三角式、指數(shù)式3、共軛復(fù)數(shù)及運算性質(zhì)zzyxo四、復(fù)數(shù)的n次方根的n個值恰為以原點為中心，的內(nèi)接正邊形的頂點，當時，為半徑的圓周稱為主值。答疑解惑

答：不能，實數(shù)能比較大小，是因為實數(shù)是有序的；而復(fù)數(shù)是無序的，所以不能比較大小。假設(shè)復(fù)數(shù)有大小，其大小關(guān)系應(yīng)與實數(shù)中大小關(guān)系保持一致，（因為實數(shù)是復(fù)數(shù)的特例），不妨取0和i加以討論：1、復(fù)數(shù)能否比較大小，為什么？注：復(fù)數(shù)的模、實部和虛部都是實數(shù)，輻角也是實數(shù)，可比較大小。2、復(fù)數(shù)可以用向量表示，則復(fù)數(shù)的運算與向量的運算是否相同？答：有相同之處，但也有不同之處。

加減和數(shù)乘運算相同，乘積運算不同，向量運算有數(shù)量積、向量積和混合積，復(fù)數(shù)則沒有；復(fù)數(shù)運算有乘除及乘冪、方根，但向量沒有；乘積運算的幾何意義不同。典型例題例1、判斷下列命題是否正確？（1）（2）（3）（

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）（

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）（

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）例2、求下列復(fù)數(shù)的模與輻角（1）（2）（3）（4）解（1）（2）（3）(4)例3、求滿足下列條件的復(fù)數(shù)z：（1）（3）（2）