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鹽城高級職業(yè)學(xué)校:陸軍第2課時函數(shù)的定義域與值域的求法1.函數(shù)的自然定義域和限定定義域:用解析法表示的函數(shù),其定義域有時需要根據(jù)解析式何時有意義來求出,有時在給出函數(shù)的同時一起給出.函數(shù)的自然定義域:使函數(shù)的表達(dá)式有意義的自變量的取值集合叫做函數(shù)的自然定義域.如:函數(shù)y=的定義域為{x|x≠0}.函數(shù)的限定定義域:有特殊限制規(guī)定的自變量的取值集合叫做函數(shù)的限定定義域.限定定義域是自然定義域的子集如:函數(shù)y=+x+3,x∈[-2,3],它的自然定義域為R,[-2,3]是該函數(shù)的限定定義域.
2.函數(shù)自然定義域的求法求函數(shù)的自然定義域,就是使函數(shù)的解析式達(dá)到如下要求:(1)分式的分母不為0,如:函數(shù)f(x)=-的定義域為{x|x≠-3};(2)偶次根下的式子不能小于0,如:函數(shù)f(x)=
的定義域為{x|x≥-2}(3)如果函數(shù)由幾個式子構(gòu)成,那么函數(shù)的定義域就是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合的交集,如:f(x)=的定義域為{x|x≥2且x≠-1}.3.函數(shù)的值域的定義:在函數(shù)y=f(x)中,與自變量x的值對應(yīng)的y的值叫做函數(shù)值.函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.如:函數(shù)y=+2x+3的值域為[2,+∞).
4.確定函數(shù)值域的原則(1)當(dāng)函數(shù)y=f(x)用表格給出時,函數(shù)的值域是指表格中實數(shù)y的集合;(2)當(dāng)函數(shù)y=f(x)用圖象給出時,函數(shù)的值域是指圖象在y軸上的投影所覆蓋的實數(shù)y的集合;(3)當(dāng)函數(shù)y=f(x)用解析式給出時,函數(shù)的值域由函數(shù)的定義域及其對應(yīng)法則唯一確定;(4)當(dāng)函數(shù)由實際問題給出時,函數(shù)的值域由問題的實際意義確定.5.求函數(shù)值域的方法常用的方法有:①配方法;②分離常數(shù)法;③換元法;④判別式法;⑤圖像法.求定義域2、如果函數(shù)y=f(x)是用解析式給出的,則可用下列法則求函數(shù)定義域:1、使函數(shù)的表達(dá)式有意義的自變量的取值集合叫做函數(shù)的定義域.(1)函數(shù)解析式是整數(shù)時,它的定義域是一切實數(shù),即R;(2)函數(shù)的解析式是分式時,它的定義域是所有使分母不等于零的實數(shù)的集合(3)函數(shù)的解析式是偶次根式時,它的定義域是所有滿足偶次根號下的被開方式大于或等于零的實數(shù)的集合(4)函數(shù)解析式是
時,(5)函數(shù)解析式是對數(shù)式時,真數(shù)>0,底數(shù)>0且底數(shù)(6)函數(shù)解析式是正切函數(shù)時,定義域是(7)如果函數(shù)由幾個式子構(gòu)成,那么函數(shù)的定義域就是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合的交集,【例1】求下列函數(shù)的定義域:(1)(2)(3)(4)(5).【舉一反三】求下列函數(shù)的定義域:(1)(2).【例2】
若的定義域為[0,1],求函數(shù)的定義域.【舉一反三】設(shè)的定義域為[-2,2],則的定義域為__
_.【例3】
如圖,用長為的鐵絲彎成下部為矩形,上部為半圓形的框架,若矩形底邊長為,求此框架圍成的面積與的函數(shù)關(guān)系式,并指出其定義域.
求值域【例4】
求下列函數(shù)的值域:.【舉一反三】求函數(shù)的值域.
求函數(shù)的值域的方法:(1)觀察法;【例4】
求下列函數(shù)的值域:(2)配方法,圖像法求二次函數(shù)的值域二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)定義域二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)R判別式a>0a<0圖象對稱性單調(diào)性最值△>0△<0△=0oxyoxyoxyoxyoxyoxy關(guān)于x=-
對稱b2ax∈(-∞,]單調(diào)遞減b2ax∈(-∞,]單調(diào)遞增b2ax∈[,+∞)單調(diào)遞增b2ax∈[,+∞)單調(diào)遞減b2a最小值為4ac-b24a最大值為4ac-b24a例1.已知函數(shù)y=x2-2x-3,求x在下列范圍內(nèi)函數(shù)的值域.(1)x∈R(2)0≤x≤3(3)-2≤x≤0(4)3≤x≤4解:配方得:y=(x-1)2-4(1)∵x∈R∴y≥-4∴值域為[-4,+∞)(2)∵0≤x≤3∴值域為[-4,0](3)∵-2≤x≤0∴值域為[-3,5](4)∵3≤x≤4∴值域為[0,5]Oxy-113-4-3二、典型題探究:注:解決二次函數(shù)值域問題的一般步驟:(1).配方;(2).畫圖象;(3).看區(qū)間;(4).確定值域。練習(xí):1.求下列函數(shù)值域:(1).y=x2-2x-3(-5≤x≤0);(2).f(x)=-x2+4x+5(x∈[1,4]);([-3,32])([5,9])2、求函數(shù)
y=x2+2x+3
在下面給定閉區(qū)間上的值域:①[-4,-3];②[-4,1];③[-2,1];④[0,1].[6,11];[2,11];[2,6];[3,6].(3)分式分離常數(shù)法;例1、求下列函數(shù)的值域:(4)、換元法
通過代數(shù)換元法或者三角函數(shù)換元法,把無理函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為代數(shù)函數(shù)來求函數(shù)值域的方法(關(guān)注新元范圍).例2
求下列函數(shù)的值域:(1)
y=x-
x-1;(2)
y=x+
2-x
;34[
,
+∞)(5)判別式法例5
求函數(shù)y
=
的值域.
x2+x+1x2-x
主要適用于形如
y
=(a,d不同時為零)的函數(shù)(最好是滿足分母恒不為零).ax2+bx+c
dx2+ex+f
(1)y=
;
x2+12x例6
求下列函數(shù)的值域:
(2)y=(x>1).
x-1x2-2x+5[-1,1]
[4,
+∞)
能轉(zhuǎn)化為
A(y)x2+B(y)x+C(y)=0
的函數(shù)常用判別式法求函數(shù)的值域.
[1-,
1+
]2332331.求下列函數(shù)的值域:練習(xí)題(1)y=;x-23x+1(2)y=2x+4
1-x;(3)y=x+1-x;(1)(-∞,3)∪(3,+∞)(2)(-
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