固體物理閻守勝第二章晶體的結(jié)構(gòu)

第二章晶體的結(jié)構(gòu)晶體最主要的特點是具有周期性重復(fù)的規(guī)則結(jié)構(gòu)，可以看成是一個或一組p個原子（或離子實）以某種方式在空間周期性重復(fù)平移的結(jié)果。2.1晶格晶體結(jié)構(gòu)包括兩個方面：一是重復(fù)排列的具體單元，稱為基元（basis）。基元是晶體結(jié)構(gòu)中最小的重復(fù)單元（結(jié)構(gòu)單元）。二是基元重復(fù)排列的形式，一般抽象成空間點陣，稱為晶體格子（crystallattice），或簡稱為晶格，由布拉維格子（Bravaislattice）的形式來概括，基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。晶體結(jié)構(gòu)＝基元＋空間點陣第二章晶體的結(jié)構(gòu)晶體最主要的特點是具有周期性重復(fù)的規(guī)則結(jié)構(gòu)，可以看成是一個或一組p個原子（或離子實）以某種方式在空間周期性重復(fù)平移的結(jié)果。2.1晶格晶體結(jié)構(gòu)包括兩個方面：一是重復(fù)排列的具體單元，稱為基元（basis）?；蔷w結(jié)構(gòu)中最小的重復(fù)單元（結(jié)構(gòu)單元）。二是基元重復(fù)排列的形式，一般抽象成空間點陣，稱為晶體格子（crystallattice），或簡稱為晶格，由布拉維格子（Bravaislattice）的形式來概括，基元在空間周期性重復(fù)排列就形成晶體結(jié)構(gòu)。晶體結(jié)構(gòu)＝基元＋空間點陣2.1.1布拉維格子定義：布拉維格子是矢量

全部端點的集合，其中取整數(shù)，是三個不共面的矢量，稱為布拉維格子的基矢，稱為布拉維格子的格矢，其端點稱為格點（一個格點代表一個基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的點子。

）。布拉維格子是一個無限延展的理想點陣。忽略了實際晶體中表面、結(jié)構(gòu)缺陷的存在，以及時原子瞬時位置相對平衡位置的偏離。只考慮晶體中原子周期性的規(guī)則排列，或所具有的平移對稱性，即平移任一格矢，晶體保持不變的特性。(b)(c)(a)基元，格點，晶格（空間點陣）的區(qū)分BA2.1.2原胞原胞（primitivecell）是晶體中體積最小的周期性重復(fù)單元，當(dāng)它平移布拉維格子所有可能的格矢，將精確地填滿整個空間。常取為以基矢為棱邊的平行六面體。體積為原胞的選取不惟一，習(xí)慣上常取三個不共面的最短格矢為基矢。原胞具有相同的體積，每個原胞平均只包含一個格點。原胞的選取不惟一，只包含一個格點原胞的選取維格納-賽茨（Wigner-Seitz）原胞，簡稱WS原胞：以晶格中某一格點為中心，作其與近鄰格點連線的垂直平分面，這些平面所圍成的以該點為中心的最小體積是屬于該點的WS原胞。2.1.3配位數(shù)在布拉維格子中，離某一格點最近的格點，稱為該格點的最近鄰。由于布拉維格子中格點相互等價，每一格點有相同的最近鄰數(shù)，稱為該格點的配位數(shù)（coordinationnumber）。配位數(shù)：晶體中原子排列緊密程度的標(biāo)志。是一個原子周圍最近鄰的原子數(shù)。晶體結(jié)構(gòu)中最大配位數(shù)是12

，以下依次是8

，6

，4

，3

，2

。2.1.4單胞（慣用單胞）

晶體學(xué)中，用晶系基矢構(gòu)成的平行六面體作為周期性重復(fù)排列的最小單元，稱為單胞或慣用單胞。單胞的邊長稱為晶格常數(shù)。單胞與原胞的區(qū)別：原胞只含一個格點，是體積最小的周期性重復(fù)單元。單胞可含一個或數(shù)個格點，體積是原胞的一倍或數(shù)倍。2.1.4幾種常見的布拉維格子1.簡單立方布拉維格子3個基矢等長并相互垂直。

每個原胞包含1個格點，每個單胞包含1個格點。原胞和單胞的體積都是簡單立方布拉維格子的配位數(shù)為6。2.體心立方布拉維格子原胞的體積每個原胞包含1個格點，每個單胞包含2個格點。簡單立方布拉維格子的配位數(shù)為8。單胞的體積為3.面心立方布拉維格子每個原胞包含1個格點，每個單胞包含4個格點。簡單立方布拉維格子的配位數(shù)為12。原胞的體積單胞的體積為4.簡單六角布拉維格子每個原胞包含1個格點，每個單胞包含3個格點。簡單立方布拉維格子的配位數(shù)為6。原胞的體積單胞的體積為二、復(fù)式格子結(jié)構(gòu)基元中原子數(shù)的稱為復(fù)式晶格。復(fù)式晶格可看成2套或多套簡單晶格（通常稱為子格子）的相互嵌套。一、簡單晶格基元中原子數(shù)p=1的晶格稱為簡單晶格。簡單晶格必須由同種原子組成；反之，由同種原子組成的晶格卻不一定是簡單晶格。1、氯化鈉結(jié)構(gòu)

由兩個面心立方格子套構(gòu)而成。

具有氯化鈉結(jié)構(gòu)的化合物：LiF、LiCl、NaF等。（1~3為晶胞中的立方晶系）2.3幾種常見的晶體結(jié)構(gòu)Cl-和Na+分別組成面心立方子晶格。其布拉維晶格為面心立方。氯化鈉結(jié)構(gòu)屬面心立方。氯化鈉的固體物理學(xué)原胞選取方法與面心立方簡單格子的選取方法相同。基元由一個Cl-和一個Na+組成。2、氯化銫結(jié)構(gòu)由兩個簡單立方格子套構(gòu)而成。具有氯化銫結(jié)構(gòu)的化合物有：

CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。氯化銫結(jié)構(gòu)是由兩個簡立方子晶格沿體對角線位移1/2的長度套構(gòu)而成。Cl-和Cs+分別組成簡立方格子，其布拉維晶格為簡單立方，氯化銫結(jié)構(gòu)屬簡單立方。

基元由一個Cl-和一個Cs+組成。3、金剛石結(jié)構(gòu)金剛石由碳原子組成。每個晶胞含有8個碳原子。由碳原子共價鍵的取向分析可知，在面心和頂角處的碳原子與體內(nèi)的4個碳原子是不等價的。金剛石結(jié)構(gòu)屬面心立方，每個單胞包含4個格點。金剛石結(jié)構(gòu)是由兩個面心立方子晶格沿體對角線位移1/4的長度套構(gòu)而成,其布拉維晶格為面心立方。cc金剛石基元由兩個碳原子組成。具有這種結(jié)構(gòu)的晶體有：鍺、硅等。閃鋅礦結(jié)構(gòu)：（與金剛石類似結(jié)構(gòu)的化合物）在晶胞頂角和面心處的原子與體內(nèi)原子分別屬于不同的元素。許多重要的半導(dǎo)體化合物都是閃鋅礦結(jié)構(gòu)。六角密積：復(fù)式格子（∵A層原子與B層原子所處的環(huán)境不同），其布拉菲格子是菱形柱體，六角密積由兩個菱形柱體套構(gòu)而成。立方密積：簡單格子（∵每一個原子所處的環(huán)境都是一樣的），其布拉維格子是面心立方。密堆積：晶體內(nèi)全同原子小圓球最緊密的堆積。4、密堆積結(jié)構(gòu)密堆積的配位數(shù)為12。其堆積方式有兩種方式：立方密積、六角密積。一維二維（二維密排堆積）（二維正方堆積）三維

典型晶體：Be、Mg、Zn、Cd、Ti密排六角（hexagonalclose-packed,hcp

）堆積排列方式：ABABAB(六角密堆積)（六角視頻）面心立方（face-centeredcubic,fcc）堆積

排列方式：ABCABC(立方密堆積)典型晶體：Ca、Al、Cu、Ag（立方視頻）一、晶向通過晶格中任意兩個格點連一條直線稱為晶列，晶列的取向稱為晶向，描寫晶向的一組數(shù)稱為晶向指數(shù)(或晶列指數(shù))2.1.5晶向、晶面和基元的坐標(biāo)過一格點可以有無數(shù)晶列。(3)晶列族中的每一晶列上，格點分布都是相同的(4)在同一平面內(nèi)，相鄰晶列間的距離相等。(1)平行晶列組成晶列族，晶列族包含所有的格點(2)晶列上格點分布是周期性的晶向的特點：軸方向記為，軸方向記為,習(xí)慣將負(fù)號放在相應(yīng)數(shù)字之上。如沿晶向方向的最短格矢為，該晶向可記為。稱為晶向指數(shù)。在結(jié)晶學(xué)中，以、、為原胞基矢，把、、稱為晶軸，格點的位矢可寫成n’

、m’

、p’

不一定是整數(shù)，但乘上公倍數(shù)后，可得到一組整數(shù)n、m、p，并有稱為晶向指數(shù)。例1：如圖在立方體中，D是BC的中點，求BE,AD的晶向指數(shù)。解：晶列BE的晶向指數(shù)為：[011]OABCDEAD的晶向指數(shù)為:二、晶面晶面：晶體內(nèi)三個非共線結(jié)點組成的平面。面間距：同族晶面中，相鄰兩晶面的距離。（晶面的概念是以格點組成互相平行的平面，再構(gòu)成晶體。）（1）平行的晶面組成晶面族，晶面族包含所有格點；（3）同一晶面族中的每一晶面上，格點分布(情況)相同；（4）同一晶面族中相鄰晶面間距相等。（2）晶面上格點分布具有周期性；與晶列相似，同族晶面中的晶面完全等同。以原胞基矢、、為坐標(biāo)軸，若一族晶面中任一不過原點的晶面在三個軸上的截距、、已知，那么這一晶面的取向就完全確定了。習(xí)慣上用三個截距、

、(以、、為單位）倒數(shù)的互質(zhì)整數(shù)比來表示晶面的取向，三個互質(zhì)整數(shù)、、稱為該晶面族的面指數(shù)，記為。稱為該晶面族的米勒指數(shù)。例2：如圖所示，I和H分別為BC，EF之中點，試求晶面AEG，ABCD，DIHG的米勒指數(shù)。AEG

ABCD

DIHG111121h'k'l'在三個坐標(biāo)軸上的截距OABCDEFGHI1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG

的米勒指數(shù)是(111)；ABCD的米勒指數(shù)是(001)；DIHG的米勒指數(shù)是(120)。ABCDEFG晶面在三個坐標(biāo)軸上的截距分別為：1（210）11米勒指數(shù)是(210)的晶面是ABCD面；（121）米勒指數(shù)是（121）的晶面是EFG面；例3:在立方晶系中畫出(210)、(121)晶面。<>表示一組由于對稱性而相互等價的晶向。如<100>表示6個相互等價的方向，[100]，[100]，[010]，[010]，[001]和[001]。()表示晶面。如(100)，(010)，(001)等。[]表示晶向。如[100]，[010]，[001]等。[100][001][010][100][010][001]簡單立方格子中的(100)，(110)和(111)面{}表示一組由于對稱性而相互等價的晶面。如{100}表示3個等價的晶面(100)，(010)和(001)。原胞中原子的坐標(biāo)通常用其在、、軸上的投影表示。投影通常寫成周長的分?jǐn)?shù)形式。如：原胞中心點記為：沿體對角線到體心的一半處，記為：原胞原點附近3個面心點記為：2.2對稱性和布拉維格子的分類

對稱性是指在一定的幾何操作下，物體保持不變的特性。布拉維格子是按其對稱性來分類的。對稱操作的集合稱為對稱群（空間群）。將平移操作除外的剩余部分稱為點群。群是一組元素的集合，G={E,A,B,C,D,…}，其性質(zhì)有：1.群G中任意兩元素的“乘積”仍為群G內(nèi)的元素，這個性質(zhì)稱為群的閉合性。2.存在單位元素E，使得對所有元素，有3.對任意元素，存在逆元素，使得4.元素間的乘法運算滿足結(jié)合律2.1.1點群保持空間某一點固定不動的對稱操作稱為點對稱操作。在點對稱操作基礎(chǔ)上組成的操作群稱為點群。

對于點群操作的類型，固體物理中習(xí)慣用熊夫利符號標(biāo)記。晶體學(xué)家慣用國際符號標(biāo)記。點對稱操作：1.繞固定軸的轉(zhuǎn)動，，如晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)以后自身重合，則此軸稱為n重對稱轉(zhuǎn)軸，簡稱n重軸。2.鏡面反映，，相當(dāng)于把所有的點轉(zhuǎn)換到它們的鏡像位置。如xy平面為反演面，則3.中心反演，，如取原點為反演中心，則4.旋轉(zhuǎn)--反演對稱，，若晶體繞某一固定軸轉(zhuǎn)以后，再經(jīng)過中心反演,晶體自身重合，則此軸稱為n重旋轉(zhuǎn)反演對稱軸。（3，4，6重反演軸的視頻。）基本的點對稱操作3、i（中心反演，）1、E（不變）2、Cn（n重轉(zhuǎn)軸）

n：2346（國際符號）C2C3C4C6

（熊夫利符號）最基本的點對稱操作：E、C2、C3、C4、C6、i、σ、S4

5、（n重旋轉(zhuǎn)反演軸，作n重旋轉(zhuǎn)后再作中心反演）（m）S4

4、鏡面反映表示轉(zhuǎn)動軸并非主軸。主軸是晶體中對稱性最高的轉(zhuǎn)動軸。反映面含原點并垂直于主軸。下標(biāo)h表示水平面的意思。反映面含主軸，稱為垂直面。反映面含主軸并平分與主軸垂直的兩2重軸間的夾角。一般點對稱操作的幾何變換：則與的關(guān)系為xyoθ繞z軸旋轉(zhuǎn)θ角度的矩陣?yán)阂皇噶吭趏xy平面旋轉(zhuǎn)θ角度（繞z軸），得到矢量，同理，繞x軸旋轉(zhuǎn)θ角度有：繞y軸旋轉(zhuǎn)θ角度有：幾種簡單操作的變換矩陣：（1）分別繞x，y，z軸轉(zhuǎn)動（3）中心反演（2）鏡像反映（對稱面為oxy平面）晶體的平移對稱性（或稱周期性排列）對許可的轉(zhuǎn)動操作的限制：0假定（長度為）是布拉維格子在該方向的最短格矢，并有通過O點與紙面垂直的n重軸。旋轉(zhuǎn)角度，轉(zhuǎn)到，必為格矢，那么其逆操作轉(zhuǎn)動所得亦為格矢。在方向，按布拉維格子的定義應(yīng)為格矢，那么有（m為整數(shù)）由于

n只能取1，2，3，4，6五個值，不可能有5、7等重軸的存在。正五邊形沿豎直軸每旋轉(zhuǎn)720恢復(fù)原狀，但它不能重復(fù)排列充滿一個平面而不出現(xiàn)空隙。因此晶體的旋轉(zhuǎn)對稱軸中不存在五重軸。晶體中允許的轉(zhuǎn)動對稱軸只能是1，2，3，4和6重軸。根據(jù)對稱性晶體可分成7個晶系；14個布拉維格子；32個晶體學(xué)點群；晶系對稱性特征晶胞參數(shù)所屬點群Bravais格子三斜

只有1或iabcC1、CiP單斜唯一2或mabc==90oC2、CS、C2hP、C正交三個2或mabc=＝=90oD2、C2V、D2hP、C、I、F三方唯一3或a=b=c=＝90oC3、S6、D3C3V、D3dR四方唯一4或a=bc=＝=90oC4、S4、C4h、D4C4V、D2d、D4hP、I六方唯一6或a=bc=＝90o=120oC6、C3h、C6h、D6、C6V、D3h、D6hH立方四個3a=b=c=＝＝90oT、Th、TdO、OhP、I、F簡單三斜(1)簡單單斜(2)底心單斜(3)1.三斜晶系：2.單斜晶系：3.三角晶系：三角(4)4.正交晶系：簡單正交(5)底心正交(6)體心正交(7)面心正交(8)5.四角系：(正方晶系)體心四角(10)簡單四角(9)6.六角晶系：六角(11)7.立方晶系：簡立方(12)體心立方(13)面心立方(14)2.2.6點對稱對稱性和晶體的物理性質(zhì)晶體的很多物理性質(zhì)是各向異性的，其依賴于測量方向與晶軸的相對取向。表征晶體對稱性和其物理性質(zhì)對稱性之間的關(guān)系是Neumann原理：晶體的任一宏觀物理性質(zhì)一定具有它所屬點群的一切對稱性。如某一對稱操作使坐標(biāo)系從變到有9個分量的二階張量T相應(yīng)的變化為：由于所討論的晶體是對稱操作，故操作前后晶體自身重合，有：故，最終有：證明六角晶體的介電常數(shù)張量為證明：對于六角晶體，有繞x軸轉(zhuǎn)的對稱操作根據(jù)Neumann定理有那么則對于六角晶體，有繞y軸轉(zhuǎn)的對稱操作那么則又對于六角晶體，有繞z軸轉(zhuǎn)的對稱操作。則那么命題得證。2.4倒格子本節(jié)主要內(nèi)容:2.4.1倒格子的定義2.4.3倒格子與傅里葉變換2.4.2倒格子與正格子的關(guān)系§2.4倒格子倒格子正格（點位）矢：倒格基矢倒格（點位）矢：晶體結(jié)構(gòu)=晶格+基元正格基矢正格子一個晶體結(jié)構(gòu)有兩個格子，一個是正格子，另一個為倒格子。2.4.1倒格子定義倒格子基矢定義為：其中是正格基矢，

是固體物理學(xué)原胞體積倒格基矢的方向和長度如何呢？一個倒格基矢是和正格原胞中一組晶面相對應(yīng)的，它的方向是該晶面的法線方向，它的大小則為該晶面族面間距倒數(shù)的2倍。1.2.4.2倒格子與正格子的關(guān)系其中分別為正格子位矢和倒格子位矢。2.(m為整數(shù))hlGR￠￠和3.(其中和*分別為正、倒格原胞體積)4.倒格矢與正格中晶面族(h1h2h3)正交，且其長度為。(1)證明與晶面族(h1h2h3)正交。BCOA

設(shè)ABC為晶面族(h1h2h3)中離原點最近的晶面，

ABC在基矢上的截距分別為。由圖可知：所以與晶面族(h1h2h3)正交。(2)證明的長度等于。由平面方程：得：在晶胞坐標(biāo)系中，2.4.3倒格子與傅里葉變換在任意兩個原胞的相對應(yīng)點上，晶體的物理性質(zhì)相同。上式兩邊分別按傅里葉