高中數(shù)學(xué) 余弦定理 蘇教必修5

1.1.2余弦定理.（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3，求B;（2）b＝20，A＝60°，a＝15，求B.60°ABCb在ABC中，已知b＝20，A＝60°，

思考：當(dāng)b＝20，A＝60°，a＝？時，有1解、2解、無解..（1）b＝20，A＝60°，a＝20√3sinB＝＝，bsinA

a12B＝30°或150°，∵150°＋60°>180°，∴B＝150°應(yīng)舍去..（2）b＝20，A＝60°，a＝15.2√33

∵

>1，∴無解.sinB＝＝，bsinA

a2√33.

思考：當(dāng)b＝20，A＝60°，a＝？時，求角B

有1解、2解、無解.600ABC20BBB..解:過A作BC邊上的高AD,則

AD=4sin600,CD=4cos600,BD=3－4cos600,∴AB2=AD2+BD2=(4sin600)2+(3－4cos600)2

=42+32－2×3×4cos600∴AB=已知∠C=600,AC=4,BC=3,求AB.ABCD猜想：AB2=AC2+BC2－2AC×BC×cosC對任意三角形是否成立？.證明：在三角形ABC中，AB、BC、CA的長分別為c,a,b.ABC.C點(diǎn)的坐標(biāo)為()xyB(c,0)Cbc如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系A(chǔ)a(0,0).a2=b2+c2－2bccosAb2=a2+c2－2accosBc2=a2+b2－2abcosC余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。.cosA=

cosB=

cosC=

余弦定理推論：.（1）若A為直角，則a2=b2+c2（2）若A為銳角，則a2<b2+c2（3）若A為鈍角，則a2>b2+c2由a2=b2+c2－2bccosA可得AaBCbcAcbAbc.利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題：（1）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（2）已知三邊，求三個角。.例.已知b=8,c=3,A=600求a.

∵a2=b2+c2－2bccosA=64+9－2×8×3cos600=494.定理的應(yīng)用解：a=7.變式練習(xí)：1.已知:a=7,b=8,c=3,求A.2.已知:a=7,b=8,c=3,試判斷此三角形的形狀..例3：在⊿ABC中，已知b=60cm,c=34cm,A=41°,解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1cm）.解：根據(jù)余弦定理，a2=b2+c2－2bccosA=602+342－2×60×34×cos41°≈1676.82所以a≈41(cm)由正弦定理得，因?yàn)閏不是三角形中最大的邊，所以C是銳角，利用計算器得C≈33°B=180°－（A+C）=180°－（41°＋33°）＝106°.例4，在⊿ABC中，已知a=134.6cm,b=87.8cm,c=161.7cm,解三角形（角度精確到1′）。解：由余弦定理的推論得：A≈56°20′;B≈32°53′C=180°－（A+B）≈180°－（56°20′＋32°53′）＝90°47′.四類解三角形問題：（1）已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角。（3）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（4）已知三邊，求三個角。.選做題：已知一鈍角三角形的邊長是三個連續(xù)自然數(shù)，求該三角形的三邊長。必做題：等腰三角形的底邊長為a，腰長為2a,求腰上的中線長。.（2）若A,B,C是⊿ABC的三個內(nèi)角，則sinA+sinB____sinC.A.b/aB.a/bC.a/cD.c/a（1）若三角形的三個角的比是1：2：3，最大的邊是20，則最小的邊是_____..二.三種證明方法的比較：幾何法：通過作高，把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三