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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.2.如圖所示,矩形的對角線相交于點,為的中點,若,則等于().A. B. C. D.3.將函數(shù)向左平移個單位,得到的圖象,則滿足()A.圖象關(guān)于點對稱,在區(qū)間上為增函數(shù)B.函數(shù)最大值為2,圖象關(guān)于點對稱C.圖象關(guān)于直線對稱,在上的最小值為1D.最小正周期為,在有兩個根4.設(shè)全集,集合,,則()A. B. C. D.5.若的展開式中的系數(shù)為150,則()A.20 B.15 C.10 D.256.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為3,則該幾何體表面積為()A. B. C. D.7.我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題:在下雨時,用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸,則平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積;②一尺等于十寸;③臺體的體積公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸8.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》有一問題:“今有鱉臑(biēnaò),下廣五尺,無袤;上袤四尺,無廣;高七尺.問積幾何?”該幾何體的三視圖如圖所示,則此幾何體外接球的表面積為()A.平方尺 B.平方尺C.平方尺 D.平方尺9.已知分別為雙曲線的左、右焦點,過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點,若,則雙曲線的離心率為()A. B.4 C.2 D.10.若將函數(shù)的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數(shù)的圖象,則下列說法正確的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)的周期是C.函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱 D.函數(shù)在上最大值是111.已知整數(shù)滿足,記點的坐標為,則點滿足的概率為()A. B. C. D.12.若數(shù)列為等差數(shù)列,且滿足,為數(shù)列的前項和,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,則__________.14.如圖所示,點,B均在拋物線上,等腰直角的斜邊為BC,點C在x軸的正半軸上,則點B的坐標是________.15.秦九韶算法是南宋時期數(shù)學家秦九韶提出的一種多項式簡化算法,如圖所示的框圖給出了利用秦九韶算法求多項式值的一個實例,若輸入,的值分別為4,5,則輸出的值為______.16.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)橢圓的左、右焦點分別為,橢圓上兩動點使得四邊形為平行四邊形,且平行四邊形的周長和最大面積分別為8和.(1)求橢圓的標準方程;(2)設(shè)直線與橢圓的另一交點為,當點在以線段為直徑的圓上時,求直線的方程.18.(12分)在,角、、所對的邊分別為、、,已知.(1)求的值;(2)若,邊上的中線,求的面積.19.(12分)已知,.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)的三個內(nèi)角、、所對邊分別為、、,若且,求面積的取值范圍.20.(12分)已知數(shù)列滿足(),數(shù)列的前項和,(),且,.(1)求數(shù)列的通項公式:(2)求數(shù)列的通項公式.(3)設(shè),記是數(shù)列的前項和,求正整數(shù),使得對于任意的均有.21.(12分)一酒企為擴大生產(chǎn)規(guī)模,決定新建一個底面為長方形的室內(nèi)發(fā)酵館,發(fā)酵館內(nèi)有一個無蓋長方體發(fā)酵池,其底面為長方形(如圖所示),其中.結(jié)合現(xiàn)有的生產(chǎn)規(guī)模,設(shè)定修建的發(fā)酵池容積為450米,深2米.若池底和池壁每平方米的造價分別為200元和150元,發(fā)酵池造價總費用不超過65400元(1)求發(fā)酵池邊長的范圍;(2)在建發(fā)酵館時,發(fā)酵池的四周要分別留出兩條寬為4米和米的走道(為常數(shù)).問:發(fā)酵池的邊長如何設(shè)計,可使得發(fā)酵館占地面積最小.22.(10分)已知函數(shù),,使得對任意兩個不等的正實數(shù),都有恒成立.(1)求的解析式;(2)若方程有兩個實根,且,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.A【解析】
用偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因為,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關(guān)于軸對稱,故可以排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.2.A【解析】
由平面向量基本定理,化簡得,所以,即可求解,得到答案.【詳解】由平面向量基本定理,化簡,所以,即,故選A.【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,其中解答熟記平面向量的基本定理,化簡得到是解答的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,數(shù)基礎(chǔ)題.3.C【解析】
由輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結(jié)合三角函數(shù)圖象平移變換即可求得的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項.【詳解】函數(shù),則,將向左平移個單位,可得,由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知,的對稱中心滿足,解得,所以A、B選項中的對稱中心錯誤;對于C,的對稱軸滿足,解得,所以圖象關(guān)于直線對稱;當時,,由正弦函數(shù)性質(zhì)可知,所以在上的最小值為1,所以C正確;對于D,最小正周期為,當,,由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知,時僅有一個解為,所以D錯誤;綜上可知,正確的為C,故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)式的化簡,三角函數(shù)圖象平移變換,正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.4.D【解析】
求解不等式,得到集合A,B,利用交集、補集運算即得解【詳解】由于故集合或故集合故選:D【點睛】本題考查了集合的交集和補集混合運算,考查了學生概念理解,數(shù)學運算的能力,屬于中檔題.5.C【解析】
通過二項式展開式的通項分析得到,即得解.【詳解】由已知得,故當時,,于是有,則.故選:C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數(shù)問題,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.6.C【解析】
幾何體是由一個圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為.故選:.【點睛】本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.7.B【解析】試題分析:根據(jù)題意可得平地降雨量,故選B.考點:1.實際應(yīng)用問題;2.圓臺的體積.8.A【解析】
根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個三棱錐,將三棱錐補充成一個長方體,此長方體的外接球就是該三棱錐的外接球,由球的表面積公式計算可得選項.【詳解】由三視圖可得,該幾何體是一個如圖所示的三棱錐,為三棱錐外接球的球心,此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長方體的外接球,所以為的中點,設(shè)球半徑為,則,所以外接球的表面積,故選:A.【點睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積,關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖,找出外接球的球心位置和半徑,屬于中檔題.9.A【解析】
由已知得,,由已知比值得,再利用雙曲線的定義可用表示出,,用勾股定理得出的等式,從而得離心率.【詳解】.又,可令,則.設(shè),得,即,解得,∴,,由得,,,該雙曲線的離心率.故選:A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是由向量數(shù)量積為0得出垂直關(guān)系,利用雙曲線的定義把雙曲線上的點到焦點的距離都用表示出來,從而再由勾股定理建立的關(guān)系.10.A【解析】
根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點可得到解析式;利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增,正確;關(guān)于點對稱,錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯誤;根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得,錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得:當時,在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增,正確;的最小正周期為:不是的周期,錯誤;當時,,關(guān)于點對稱,錯誤;當時,此時沒有最大值,錯誤.本題正確選項:【點睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解;關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式,通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).11.D【解析】
列出所有圓內(nèi)的整數(shù)點共有37個,滿足條件的有7個,相除得到概率.【詳解】因為是整數(shù),所以所有滿足條件的點是位于圓(含邊界)內(nèi)的整數(shù)點,滿足條件的整數(shù)點有共37個,滿足的整數(shù)點有7個,則所求概率為.故選:.【點睛】本題考查了古典概率的計算,意在考查學生的應(yīng)用能力.12.B【解析】
利用等差數(shù)列性質(zhì),若,則求出,再利用等差數(shù)列前項和公式得【詳解】解:因為,由等差數(shù)列性質(zhì),若,則得,.為數(shù)列的前項和,則.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列前項和.(1)如果為等差數(shù)列,若,則.(2)要注意等差數(shù)列前項和公式的靈活應(yīng)用,如.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
根據(jù)等比數(shù)列通項公式,首先求得,然后求得.【詳解】設(shè)的公比為,由,得,故.故答案為:【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項公式的基本量計算,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
設(shè)出兩點的坐標,結(jié)合拋物線方程、兩條直線垂直的條件以及兩點間的距離公式列方程,解方程求得的坐標.【詳解】設(shè),由于在拋物線上,所以.由于三角形是等腰直角三角形,,所以.由得,化為,可得,所以,解得,則.所以.故答案為:【點睛】本題考查拋物線的方程和運用,考查方程思想和運算能力,屬于中檔題.15.1055【解析】
模擬執(zhí)行程序框圖中的程序,即可求得結(jié)果.【詳解】模擬執(zhí)行程序如下:,滿足,,滿足,,滿足,,滿足,,不滿足,輸出.故答案為:1055.【點睛】本題考查程序框圖的模擬執(zhí)行,屬基礎(chǔ)題.16.【解析】
先求出導數(shù),再在定義域上考慮導數(shù)的符號為正時對應(yīng)的的集合,從而可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.【詳解】函數(shù)的定義域為.,令,則,故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為:.故答案為:.【點睛】本題考查導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,注意先考慮函數(shù)的定義域,再考慮導數(shù)在定義域上的符號,本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)或【解析】
(1)根據(jù)題意計算得到,,得到橢圓方程.(2)設(shè),聯(lián)立方程得到,根據(jù),計算得到答案.【詳解】(1)由平行四邊形的周長為8,可知,即.由平行四邊形的最大面積為,可知,又,解得.所以橢圓方程為.(2)注意到直線的斜率不為0,且過定點.設(shè),由消得,所以,因為,所以.因為點在以線段為直徑的圓上,所以,即,所以直線的方程或.【點睛】本題考查了橢圓方程,根據(jù)直線和橢圓的位置關(guān)系求直線,將題目轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵.18.(1)(2)答案不唯一,見解析【解析】
(1)由題意根據(jù)和差角的三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分別由三角形面積公式可得答案.【詳解】解:(1)在中,因為,又已知,所以,因為,所以,于是.所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,當時,的面積,當時,的面積.【點睛】本題考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面積公式和分類討論思想,屬于中檔題.19.(1);(2).【解析】
(1)利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)的解析式為,然后解不等式,可求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由求得,利用余弦定理結(jié)合基本不等式求出的取值范圍,再結(jié)合三角形的面積公式可求得面積的取值范圍.【詳解】(1),解不等式,解得.因此,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)由題意,則,,,,解得.由余弦定理得,又,,當且僅當時取等號,所以,的面積.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解,同時也考查了三角形面積取值范圍的計算,涉及余弦定理和基本不等式的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.20.(1)().(2),.(3)【解析】
(1)依題意先求出,然后根據(jù),求出的通項公式為,再檢驗的情況即可;(2)由遞推公式,得,結(jié)合數(shù)列性質(zhì)可得數(shù)列相鄰項之間的關(guān)系,從而可求出結(jié)果;(3)通過(1)、(2)可得,所以,,,,.記,利用函數(shù)單調(diào)性可求的范圍,從而列不等式可解.【詳解】解:(1)因為數(shù)列滿足()①;②當時,.檢驗當時,成立.所以,數(shù)列的通項公式為().(2)由,得,①所以,.②由①②,得,,即,,③所以,,.④由③④,得,,因為,所以,上式同除以,得,,即,所以,數(shù)列時首項為1,公差為1的等差數(shù)列,故,.(3)因為.所以,,,,.記,當時,.所以,當時,數(shù)列為單調(diào)遞減,當時,.從而,當時,.因此,.所以,對任意的,.綜上,.【點睛】本題考在數(shù)列通項公式的求法、等差數(shù)列的定義及通項公式、數(shù)列的單調(diào)性,考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想.21.(1)(2)當時,,米時,發(fā)酵館的占地面積最??;當時,時,發(fā)酵館的占地面積最小;當時,米時,發(fā)酵館的占地面積最小.【解析】
(1)設(shè)米,總費用為,解即可得解;(2)結(jié)合(1)可得占地面積結(jié)合導函數(shù)分類討論即可求得最值.【詳解】(1)由題意知:矩
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