第7章-2 收斂性穩(wěn)定性R-K方法

常微分方程的數(shù)值解法的

收斂性、穩(wěn)定性

第7章--2

以上我們討論了求解問(wèn)題（7-1）,（7-2）的單步法和多步法。應(yīng)關(guān)注三個(gè)問(wèn)題：、數(shù)值方法的局部截?cái)嗾`差和階二、在離散點(diǎn)tn處的數(shù)值解un是否收斂到精確解u(tn)

三、數(shù)值方法的穩(wěn)定性具體說(shuō)，對(duì)于上述兩類(lèi)方法求近似解（數(shù)值解）還誤差估計(jì)、收斂性和穩(wěn)定性。對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題前面我們已經(jīng)討論過(guò)，而關(guān)于數(shù)值方法收斂性問(wèn)題我們?cè)谶@里不詳細(xì)討論，只給出一些基本結(jié)論性的結(jié)果，即：對(duì)單步法，當(dāng)方法的階p≥1時(shí)，有整體誤差故有，因此方法是收斂的。對(duì)于多步法，若方法是k步p階法，那么（7-24）是

一個(gè)k階差分方程，引入多步法（7-24）的第一特征多項(xiàng)式和第二特征多項(xiàng)式：定義7.1

若（7-24）的第一特征多項(xiàng)式ρ(λ)的所有

根在單位圓內(nèi)或圓上（︱λ︱≤1），且位于單位圓周上的根都是單根，稱(chēng)多步法（7-24）滿(mǎn)足根條件。第二特征多項(xiàng)式第一特征多項(xiàng)式定理7.2

若線性多步法(7-24)的階p≥1，且滿(mǎn)足根條件，則方法是收斂的。對(duì)于常用的數(shù)值方法都是滿(mǎn)足收斂性條件的。下面我們著重討論第三個(gè)問(wèn)題，即數(shù)值方法的穩(wěn)是有誤差的，且這些誤差將在計(jì)算中傳遞下去。定性問(wèn)題。誤差積累無(wú)限增長(zhǎng)，則會(huì)歪曲真解，這樣的算法是不如果能用的。用多步法計(jì)算時(shí)，各種因素如初值精確解為考慮二步三階顯式法：例如

初值問(wèn)題取步長(zhǎng)h=0.1，初值u0=1，附加值：

精確解數(shù)值解01.00000001.00000000.11.02010001.02010000.21.08160001.08120000.31.18810001.18923850.41.34560001.33886600.51.56250001.5929935………1.04.0000000-68.6398041.04.8841000+367.26392………2.025.0000000-6.96×108數(shù)值結(jié)果表在開(kāi)始幾步數(shù)值解與精確解符合，但在再往后算，數(shù)值解的誤差則急劇增長(zhǎng)，完全歪曲了真解.通常人們都是通過(guò)模型方程來(lái)討論方法的數(shù)值穩(wěn)定性。(7-32)而一般形式的一階微分方程總能化成（7-32）的形式。。因?yàn)閷?shí)際計(jì)算時(shí)，h是固定的。

當(dāng)某一步un有舍入誤差時(shí)，

若以后的計(jì)算中不會(huì)逐步擴(kuò)大，稱(chēng)這種穩(wěn)定性為絕對(duì)穩(wěn)定性。此后，若不做特殊說(shuō)明，都是指絕對(duì)穩(wěn)定性。模型方程為：本書(shū)中數(shù)值方法的穩(wěn)定性也是如此。前提是求解好條件問(wèn)題，其中Re(μ)＜0。另外，我們也不考慮h→0時(shí)方法的漸近穩(wěn)定性

例如，對(duì)最簡(jiǎn)單的Euler法(7-33)用其求解模型方程（7-32）得到

當(dāng)un有舍入誤差時(shí)，其近似解為，從而有取，得到誤差傳播方程記，只要都不會(huì)惡性發(fā)展，此時(shí)方法絕對(duì)穩(wěn)定。，則顯式Euler方法的解和誤差從可得

即時(shí)，(-1,0)為圓心，1為半徑的單位圓。又由于實(shí)數(shù)μ＜0，（7-33）絕對(duì)穩(wěn)定，若μ為復(fù)數(shù)，在的復(fù)平面上，則表示為以絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間

定義7.2

一個(gè)數(shù)值方法用于求解模型問(wèn)題（7-32），若在

平面中的某一區(qū)域D中方法都是絕對(duì)穩(wěn)定的，而在區(qū)域D外，方法是不穩(wěn)定的，則稱(chēng)D是方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域；絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間。它與實(shí)軸的交稱(chēng)為例如，顯式Euler方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域、區(qū)間。如圖現(xiàn)在考察多步法(7-24)，將它用于解模型方程(7-32)得到k階線性差分方程(7-34)

若取，則記（7-34）的特征方程為(7-35)

其中由k階線性差分方程的性質(zhì)我們可以得到如下結(jié)論，區(qū)域：

例如，對(duì)于k=1時(shí)，考慮隱式方法中最簡(jiǎn)單的后退Euler法方程（7-35）的根都在單位圓內(nèi)（︱λ︱＜1)，則線性多步法（7-4）關(guān)于

絕對(duì)穩(wěn)定,其絕對(duì)穩(wěn)定域是復(fù)平面

上的其特征方程為：若特征得當(dāng)時(shí)，故就是隱式Euler法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域。當(dāng)μ＜0為實(shí)數(shù)時(shí)，絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為

(-∞,0)。平面上以（1.0）為圓心的單位圓外區(qū)域。它是當(dāng)Reμ＜0時(shí)，它位于平面上y軸左側(cè)區(qū)域。又如，梯形法其特征方程為：其根當(dāng)Reμ＜0時(shí)，故梯形公式平面的左半平面。絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間為(-∞，0)。的絕對(duì)穩(wěn)定域是這樣檢驗(yàn)絕對(duì)穩(wěn)定性歸結(jié)為檢驗(yàn)特征方程(7-35)的根是否在單位圓內(nèi)（︱λ︱＜1)。對(duì)此有很多判別法，如Schur準(zhǔn)則、軌跡法。k=1～4的隱式Adams類(lèi)方法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間（μ＜0為實(shí)數(shù)）。步階絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間12（-∞，0）23（-6.0，0）34（-3.0，0）45（-1.8，0）實(shí)系數(shù)二次方程λ2-bλ-c=0的根在單位圓內(nèi)的充要條件為:

這里我們給出一種簡(jiǎn)單的、常用的判別法：例證明求解一階常微分方程初值問(wèn)題：的差分格式收斂并求其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)、絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間。解：由差分格式可知，則其特征值滿(mǎn)足根條件。令得λ1=0,λ2=1。故此為隱式二步三階法，其局部截?cái)嗾`差主項(xiàng)為：注意，從而由定理7.2

可知，此方法收斂。而自然成立。得即有可得其絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)間：又其特征方程為而使得

︱λ︱＜1的充要條件為：現(xiàn)在再由進(jìn)一步而自然成立。顯式Runge-Kutta法

第7章--37.1.4

四階顯式Runge-Kutta法

通過(guò)觀察我們發(fā)現(xiàn)顯式Euler法和隱Euler法各用到了u(t)在[t,t+h]上的一個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值，它們都是一階方法。改進(jìn)的Euler法用到了u(t)在[t,t+h]上的兩個(gè)一階導(dǎo)數(shù)值，它

梯形法和們都是二階方法。我們要研究的Runge-Kutta方法是一種高階單步法，它使用u(t)在[t,t+h]上的斜率f在一些點(diǎn)的值非線性表示使得其局部截?cái)嗾`差的階和Taylor展開(kāi)法相等。

Euler是最簡(jiǎn)單的單步法。單步法不需要附加初值，所需的存儲(chǔ)量小，改變步長(zhǎng)靈活，但線性單步法的階最高為2，Taylor展開(kāi)法，用在同一點(diǎn)(tn,un)的高階導(dǎo)數(shù)表示，這不便于計(jì)算。先引進(jìn)若干記號(hào)，首先[t,t+h]取上的m個(gè)點(diǎn):令

Runge-Kutta矩陣B為嚴(yán)格下三角矩陣：滿(mǎn)足顯式Runge-Kutta

公式假設(shè)三組系數(shù)已給定，則求解（7-1），（7-2）的一般（7-12）其中(7-13)(7-14)顯式Runge-Kutta法的計(jì)算過(guò)程如下：現(xiàn)在推導(dǎo)一些常用的計(jì)算方案，特別地，給出m=3顯式首先將u(t+h)在t處展開(kāi)到h的三次冪,即：(7-15)其中(7-16)

Runge-Kutta法的推導(dǎo)。其次，由二元函數(shù)f(t,u(t))在(t,u)點(diǎn)處的Taylor展開(kāi)式可得：

于是，將k1,k2,k3代入（7-13）中，即(7-17)由(7-16)已得其中合并f(t,u,h)展開(kāi)式中的各階hl(l=0,1,2)的系數(shù)，得比較和的同次冪系數(shù)，可得（一）m=1此時(shí)c2=c3=0,f(t,u,h)=c1f,

比較h的零次冪，知方法（7-21）為一級(jí)一階Runge-Kutta法，實(shí)際上為Euler法。

（二）m=2,此時(shí)

c3=0，則與比較1,h的系數(shù)，則

它有無(wú)窮多組解，從而有無(wú)窮多個(gè)二級(jí)二階方法。（1）稱(chēng)為中點(diǎn)法。此時(shí)(7-18)三個(gè)常見(jiàn)的方法是：（2）稱(chēng)為改進(jìn)的Euler法。此時(shí)(7-19)

（3）此時(shí)（三）m=3比較（7-16）和（7-17），令

f,h,h2的系數(shù)相等，并注意的任意性，得四個(gè)方程不能完全確定六個(gè)系數(shù)，因此這是含兩個(gè)參數(shù)的三級(jí)三階方法類(lèi)。常見(jiàn)方案有：

Heun三階方法。

此時(shí)取(7-20)（2）Kutta三階方法，(7-21)此時(shí)（四）m=4將（7-16）和（7-17）展開(kāi)到h3,比較的系數(shù)，則含13個(gè)待定系數(shù)的11個(gè)方程，由此得到含兩個(gè)參數(shù)的四級(jí)四階Runge-Kutta方法類(lèi)，其中最常用的有以下兩個(gè)方法：經(jīng)典四階Runge-Kutta方法：（7-22）Butcher表分別為：

以上討論的是m級(jí)Runge-Kutta法在m=1,2,3,4時(shí)，可分別得到最高階級(jí)一、二、三、四階，但是，通常m級(jí)Runge-Kutta

方法最高階不一定是m階。若設(shè)p(m)是m級(jí)Runge-Kutta方法可達(dá)到的最高階，可證：改進(jìn)的Euler法計(jì)算公式為：經(jīng)典Runge-Kutta法計(jì)算公式為：例1

分別用Euler法，改進(jìn)的Euler法(7-27)和經(jīng)典Runge-Kutta法(7-30)求解初值問(wèn)題:解：Euler法計(jì)算公式為：

三個(gè)方法計(jì)算結(jié)果比較表n

tn精確解u(tn)Euler法改進(jìn)Euler法經(jīng)典Runge-Kutta法數(shù)值解un誤差數(shù)值解un誤差數(shù)值解un誤差00000000010.50.4333330.5000000.0666670.4000000.0333330.4332180.00011521.00.6666670.8000000.1333330.6350000.0316670.6663120.00035531.50.8076920.9000000.0923080.7875960.0200960.8074230.00026942.00.9333530.9856150.0512820.9210250.0123080.9331560.000171作比較

，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表：取步長(zhǎng)h=0.5,tn=0.5n,n=0,1,2,3。并與精確解：下面考察Runge-Kutta法的絕對(duì)穩(wěn)定性。根據(jù)定義，對(duì)m級(jí)p階Runge-Kutta法（7-12）取f=mu，則（其中