川大自動控制原理第九章

第九章線性離散控制系統(tǒng)自動控制原理1本章主要內(nèi)容離散控制系統(tǒng)的基本概念信號的采樣與保持

采樣過程與采樣定理，零階保持器離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述

z變換，差分方程，脈沖傳遞函數(shù)（開環(huán)、閉環(huán)）離散系統(tǒng)的z域分析法

穩(wěn)定性，極點(diǎn)分布與暫態(tài)性能，穩(wěn)態(tài)誤差，

根軌跡法（自學(xué)）離散系統(tǒng)的頻域分析法（自學(xué)）離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析法（自學(xué)）離散系統(tǒng)的綜合（自學(xué)）2典型的離散控制系統(tǒng)如圖：脈沖控制器保持器?y-reT受控對象u9.1離散控制系統(tǒng)的基本概念

是連續(xù)的誤差信號，經(jīng)采樣開關(guān)后，變成一組脈沖序列，脈沖控制器對進(jìn)行某種運(yùn)算，產(chǎn)生控制信號脈沖序列，保持器將采樣信號變成連續(xù)信號

，作用于受控對象ue3最常見的離散控制系統(tǒng)：計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)A/D：模擬信號→數(shù)字信號，圖中還包括連續(xù)信號→離散信號的采樣過程D/A：數(shù)字信號→模擬信號，圖中還包括離散信號→連續(xù)信號的保持過程A/DD/A數(shù)字控制器受控

對象測量計(jì)算機(jī)reu(t)

y(t)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)原理圖執(zhí)行

機(jī)構(gòu)4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的主要特點(diǎn)修改控制器結(jié)構(gòu)及參數(shù)很方便（改變控制程序）；便于實(shí)現(xiàn)各種先進(jìn)控制，能完成復(fù)雜的控制任務(wù)；控制精度高，抗干擾能力強(qiáng)，能有效抑制噪聲；有顯示、報(bào)警等多種功能。有利于實(shí)現(xiàn)“智能化”、“網(wǎng)絡(luò)化”、“管控一體化”、多級分布式控制等；分析離散系統(tǒng)的常用方法：Z域法，狀態(tài)空間法。5連續(xù)信號0tτT離散化信號（采樣）0t復(fù)現(xiàn)信號（保持）t9.2信號的采樣與保持T：采樣周期，一般是等周期采樣，也可變周期或隨機(jī)采樣。（τ<<T，近似認(rèn)為τ→0）信號恢復(fù)一般采用零階保持，也可采用一階或其他保持方式。6采樣信號可看作是經(jīng)脈沖序列

調(diào)制后的結(jié)果：一、采樣過程t0f(t)t0t0f*(t)1T2T2TT采樣器是否產(chǎn)生誤差？7t0T2Tt01T2T單位幅值脈沖與理想脈沖的區(qū)別8采樣信號的拉氏變換理想單位脈沖序列采樣信號為二、采樣信號的數(shù)學(xué)表達(dá)式Z變換是離散信號拉氏變換的有理式表達(dá)形式9仿真實(shí)驗(yàn)：采樣周期與采樣效果零階保持器取采樣周期為T=0.1，0.4，0.810仿真結(jié)果連續(xù)信號T=0.1T=0.4T=0.811采樣周期的選取：信號變化越快，采樣周期應(yīng)越小，

反之則可以適當(dāng)大一些。選取采樣周期的理論依據(jù)是采樣定理。三、香農(nóng)（Shannon）采樣定理（基于頻譜分析）則經(jīng)采樣得到的離散信號可以無失真地恢復(fù)為原連續(xù)信號的條件是012采樣定理的依據(jù)：信號的頻譜分析000130說明：采樣定理只提供了選擇采樣周期的理論依據(jù)，對于實(shí)際的反饋控制系統(tǒng)，連續(xù)反饋信號的上限頻率（帶寬）通常難以準(zhǔn)確地確定，因此選擇采樣周期一般依靠估計(jì)。14零階保持器是一種按恒值規(guī)律外推的保持器，它將當(dāng)前采樣時刻的值，保持到下一個采樣時刻，即零階

保持器t0T2T3T4Tt0T2T3T4T四、零階保持器15零階保持器的單位脈沖響應(yīng)可表示為二個單位階躍信號的疊加。單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換就是零階保持器的傳遞函數(shù)。01T01-101零階保持器的傳遞函數(shù)：注意：這里的輸入為1×δ(t)，是單位幅值脈沖經(jīng)理想脈沖調(diào)制后的信號，即單位理想脈沖，其拉氏變換為1。零階

保持器16零階保持器實(shí)際的傳遞函數(shù)為說明：零階保持器實(shí)際的傳遞函數(shù)01T01-101式中的τ與U*(s)的τ抵消后等價于理想脈沖通過沒有τ的零階保持器，所以在分析中可以不考慮τ。零階

保持器179.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述一、Z變換與Z反變換18關(guān)于Z變換的幾點(diǎn)說明：Z變換只表達(dá)了連續(xù)函數(shù)在采樣時刻的特性，不包含采樣時刻之間的信息。對f(t)采樣后的f

(t)是唯一的，但f(t)

所對應(yīng)的f(t)不唯一；f

(t)與

F(z)之間的變換是唯一的。

Z變換的無窮級數(shù)表達(dá)式與信號在采樣時刻的取值一一對應(yīng)。19S平面與Z平面的對應(yīng)關(guān)系：根據(jù)Z變換定義，有

Z平面ImRe01-1

S平面0因此，根據(jù)F(z)極點(diǎn)的分布，可以判斷其對應(yīng)的時間函數(shù)f

(t)

收斂與否、收斂的快速性與平穩(wěn)性等。20例1：求f(t)=1(t)的Z變換１.級數(shù)求和法Z變換的求法例2：求f(t)=e-αt

，t≥0的Z變換極點(diǎn)幅值=1信號不發(fā)散也不收斂α>0時,極點(diǎn)幅值<1信號收斂α<0時,極點(diǎn)幅值>1信號發(fā)散|a|>1時,信號發(fā)散；|a|<1時,信號收斂；|a|=1時,信號恒值或等幅振蕩（不發(fā)散也不收斂）21例3：求f(t)=sin(ωt)的Z變換相異極點(diǎn)的幅值=1信號不發(fā)散也不收斂0j極點(diǎn)在Z平面的位置122例4：求f(t)=e-αt

sin(ωt)的Z變換α>0時,極點(diǎn)幅值<1信號收斂α<0時,極點(diǎn)幅值>1信號發(fā)散α=0時,相異極點(diǎn)的幅值=1等幅振蕩0j極點(diǎn)在Z平面的位置10j極點(diǎn)在Z平面的位置123a<1時,極點(diǎn)幅值<1信號收斂a>1時,極點(diǎn)幅值>1信號發(fā)散a=1時,互異極點(diǎn)幅值=1等幅振蕩0j極點(diǎn)在Z平面的位置1××242.部分分式法例5：已知連續(xù)函數(shù)的拉氏變換為解：求Z變換注意極點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系25解：26Ｚ變換的基本性質(zhì)１.線性定理2.延遲定理式中k、T均為常量.證：27注：連續(xù)系統(tǒng)的遲后環(huán)節(jié)e-kTs

在離散系統(tǒng)中只是z-k，屬于有理式，便于分析。因此，對于有遲后環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，按離散時間系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)通常較連續(xù)時間系統(tǒng)更方便。tkT0f(t)f(t-kT)延遲定理的直觀表示283.超前定理如果，則有第一個表達(dá)式對應(yīng)藍(lán)色實(shí)線的Z變換；zkF(z)對應(yīng)全部藍(lán)色線的Z變換，所以只有當(dāng)虛線部分=0時才有第二個表達(dá)式tkT0f(t)f(t+kT)超前定理的直觀解釋-kT294.終值定理設(shè)f(t)的Z變換為F(z)，且F(z)

在z平面不含有單位圓上及圓外的的極點(diǎn)（除z＝１外），則f(t)的終值為0jZ平面1F(z)允許的極點(diǎn)分布區(qū)域注：終值定理主要用于F(z)有極點(diǎn)1這種情況，其他情況直接就可判斷。30極點(diǎn)在Z平面單位圓上0j1不求也可判斷!314.初值定理設(shè)f(t)的Z變換為F(z)，則f(t)的初值為32５.位移定理例：用位移定理求f(t)=e-at

sin(ωt)的Z變換設(shè)f(t)的Z變換為F(z)，則有336.Z域微分定理設(shè)f(t)的Z變換為F(z)，則有證：34例：用微分定理求f(t)=t，t≥0的Z變換例：用微分定理求f(t)=t2，t≥0的Z變換單位幅值的重極點(diǎn)發(fā)散35極點(diǎn)位置與收斂性的關(guān)系：a>0時,極點(diǎn)幅值<1信號收斂a<0時,極點(diǎn)幅值>1信號發(fā)散（即重極點(diǎn)與前面單極點(diǎn)的結(jié)論相同）例：用微分定理求f(t)=te-at，t≥0的Z變換36Z反變換1.長除法例1：求的反變換長除法主要用于求出信號的前面有限個采樣時刻值，一般難以找到f(nT)的一般規(guī)律，即閉式表達(dá)形式。37例1的長除法過程：（z的多項(xiàng)式除法）38例1的長除法過程：（z-1的多項(xiàng)式除法）392.部分分式法步驟:把F(z)/z

展開為部分分式求各個部分分式項(xiàng)的Z反變換之和例：已知，求解：使分解后的分子都含有z40練習(xí)Ⅰ

B9.1,(6),(7);

B9.4,(2),(3);

B9.5,(1),(3);41三、脈沖傳遞函數(shù)1、

基本概念定義：對于線性離散定常系統(tǒng)，在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號的Z變換與輸入采樣信號Z變換之比，稱為系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。u(t)TG

(s)u*(t)Ty*(t)y(t)U(z)G

(z)Y(z)42單位脈沖響應(yīng)的輸入信號可看作單位幅值脈沖經(jīng)理想脈沖調(diào)制而產(chǎn)生的，對于有保持器的離散時間系統(tǒng)，單位脈沖響應(yīng)的實(shí)際輸入是單位幅值脈沖，即脈沖傳遞函數(shù)的物理意義脈沖傳遞函數(shù)是單位脈沖響應(yīng)g(t)經(jīng)采樣后的離散信號g*(t)的Z變換。gkg2g1……t/T系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列g(shù)*(t)g3012g03k43gkg2g1……t/T系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列g(shù)*(t)g3012g03k任意輸入時的響應(yīng)y(k)與單位脈沖響應(yīng)序列的關(guān)系：uku2u1……t/T系統(tǒng)的的輸入脈沖序列u*(t)u3012u03k44與前面的結(jié)果完全一致！根據(jù)脈沖傳遞函數(shù)的定義求輸出y(k)：該結(jié)論實(shí)際上就是離散系統(tǒng)的“卷積定理”U(z)G

(z)Y(z)452、采樣系統(tǒng)的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)（1）兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)隔開該結(jié)論可推廣到n個環(huán)節(jié)串聯(lián)，各相鄰環(huán)節(jié)之間都有采樣開關(guān)隔開的情況。u(t)TG1(s)u*(t)Tv*(t)G2(s)Ty*(t)46u(t)TG1(s)u*(t)Tv*(t)G2(s)Ty*(t)47（2）兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)隔開該結(jié)論可推廣到n個環(huán)節(jié)直接串聯(lián)的情況。u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)Ty*(t)48u(t)TG1(s)u*(t)G2(s)Ty*(t)49有零階保持器的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零階保持器很有用！50u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零階保持器51有無保持器的區(qū)別（1）沒有保持器的情況u(t)Tu*(t)G(s)Ty*(t)y(t)10t52（2）有零階保持器的情況u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)uh(t)y(t)由于零階保持器實(shí)際的傳遞函數(shù)為其分母中含有的τ與U*(s)的τ抵消后等價于理想脈沖通過沒有τ的零階保持器，所以符合實(shí)際情況，在分析中不必再考慮τ的影響。01T01該結(jié)論可以推廣到采用其他保持器、以及有保持器的反饋控制系統(tǒng)5301T等價于G0的輸入如右圖u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)uh(t)y(t)54與前面實(shí)際情況的結(jié)果一致！u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)uh(t)y(t)55u(t)TGh(s)u*(t)G0(s)Ty*(t)零階保持器脈沖傳遞函數(shù)與差分方程U(z)G

(z)Y(z)56差分方程的計(jì)算：①迭代法計(jì)算機(jī)作為控制器，執(zhí)行時也按差分方程進(jìn)行迭代計(jì)算。57②Z變換法Z變換法只能用于U(z)確定時，迭代法則適用于任意的u(k)58零初始值的含義及差分方程的Z變換：對上述兩個差分方程進(jìn)行Z變換的效果是一樣的（Z變換利用延遲定理）（Z變換利用超前定理）59U(z)G

(z)Y(z)u(k)系統(tǒng)y(k)（利用延遲定理）（利用超前定理）60零初始值的含義及差分方程的Z變換（續(xù)）：（Z變換利用延遲定理）（Z變換利用超前定理）61由輸入輸出差分方程求狀態(tài)空間表達(dá)式：有高階差分

項(xiàng)時如何求？不唯一u(k)系統(tǒng)y(k)62由脈沖傳遞函數(shù)求狀態(tài)空間表達(dá)式：引入中間變量h(k)初值為零不唯一63可控規(guī)范形，可直接由傳遞函數(shù)或差分方程寫出所以狀態(tài)空間模型為64線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式u(k)系統(tǒng)y(k)65由狀態(tài)空間表達(dá)式求脈沖傳遞函數(shù)：唯一u(k)系統(tǒng)y(k)66（1）有一個采樣開關(guān)的閉環(huán)系統(tǒng)TG(s)H(s)－3、閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)67附：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)TG(s)H(s)－68TG(s)H(s)－69（2）有數(shù)字控制裝置的采樣系統(tǒng)D*(s)TG(s)TH(s)－思考：計(jì)算過程有何規(guī)律？70附：閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的推導(dǎo)D*(s)TG(s)TH(s)－71（3）有擾動作用的采樣控制系統(tǒng)D*(s)TG1(s)TH(s)－G2(s)72附：擾動作用部分E1(z)和Y1(z)的推導(dǎo)D*(s)TG1(s)TH(s)－G2(s)73常見情況：反饋環(huán)節(jié)為比例環(huán)節(jié)D*(s)TG1(s)TH(s)－G2(s)74D*(s)TGh(s)TH(s)－G2(s)75解：D*(s)TGh(s)TH(s)－G2(s)76y(k)收斂于0.5極點(diǎn)在單位圓內(nèi)77y(k)收斂于0.2578y(k)發(fā)散與T無關(guān)79K在什么范圍內(nèi)取值時y(k)收斂？y(k)振蕩80練習(xí)Ⅱ

B9.6,(1),(4);

B9.7,(a),(b);

B9.9;819.4離散系統(tǒng)的z域分析法一、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性1、S域到Z域的映射根據(jù)Z變換定義，有

Z平面ImRe01-1

S平面082線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的全部極點(diǎn)均位于Z平面的單位圓內(nèi)。（1）穩(wěn)定條件（開、閉環(huán)）2、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性R(z)Y(z)83（2）閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件TG(s)H(s)－穩(wěn)定的充要條件是：特征方程的根（閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)）全部位于Z平面的單位圓內(nèi)。84穩(wěn)定的充要條件是：特征方程的根（閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)）全部位于Z平面的單位圓內(nèi)。D*(s)TG(s)TH(s)－85（3）低階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別（一、二階）KTGh(s)T－G0(s)T↑K的穩(wěn)定域↓；T→0K的穩(wěn)定域→連續(xù)系統(tǒng)的情況（連續(xù)系統(tǒng)的特征式為s+1+K）86（4）高階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別可以使Z平面映射為類S平面:Z平面的單位圓W平面的虛軸；單位圓內(nèi)W平面的左半復(fù)平面；單位圓外W平面的右半復(fù)平面。采用雙線性變換為何不直接映射為S平面？能否利用勞斯判據(jù)87

W平面0Z平面的單位圓映射為W平面的虛軸；Z平面的單位圓內(nèi)映射為W平面的左半復(fù)平面；Z平面的單位圓外映射為W平面的右半復(fù)平面；在W平面應(yīng)用勞斯判據(jù)與在S平面完全相同。

Z平面x01-1jyZ平面與W平面的映射關(guān)系88G(s)－T=0.25s89為使采樣系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)使所有系數(shù)>0,所以有0<K<17.3比較：對于沒有采樣開關(guān)的二階連續(xù)系統(tǒng)，K的穩(wěn)定域是K>0。（特征式為s2+4s+K）加入采樣開關(guān)通常對系統(tǒng)的穩(wěn)定性不利，而提高采樣頻率，穩(wěn)定性將得到改善，但最多與連續(xù)系統(tǒng)一樣。改變T會有什么結(jié)果？90用根軌跡法可以得出同樣的結(jié)論

Z平面x01-1jy××0.368繪制根軌跡圖無須變換，直接針對G(z)即可；分析穩(wěn)定性是看根軌跡法的哪些部分位于Z平面的單位圓內(nèi)。利用MATLAB繪圖：a=zpk([0],[1,0.368],0.158,'Variable','z')

rlocus(a)極點(diǎn)零點(diǎn)增益91根軌跡圖92G(s)－T=0.2s93要求第一列>0，所以有K的穩(wěn)定域?yàn)?<K<0.4001

（由一、三行條件得）比較：對于無采樣開關(guān)時的連續(xù)系統(tǒng)，K的穩(wěn)定域?yàn)?<K<294根軌跡圖95二、離散系統(tǒng)極點(diǎn)分布與暫態(tài)性能系統(tǒng)響應(yīng)由暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)分量組成，穩(wěn)態(tài)分量主要取決于輸入，而暫態(tài)分量則主要取決于系統(tǒng)傳函；R(z)Y(z)r(k)系統(tǒng)y(k)系統(tǒng)傳函的極點(diǎn)決定了暫態(tài)分量的基本形態(tài)，也就是決定了響應(yīng)的發(fā)散或收斂、以及收斂情況下的快速性和平穩(wěn)性；與連續(xù)系統(tǒng)類似，系統(tǒng)傳函可按極點(diǎn)進(jìn)行部分分式分解，總的響應(yīng)是各部分響應(yīng)的疊加。96S平面與Z平面的對應(yīng)關(guān)系：根據(jù)Z變換定義，有

Z平面ImRe01-1

S平面0S平面極點(diǎn)的實(shí)部決定Z平面極點(diǎn)的幅值，S平面極點(diǎn)的虛部決定Z平面極點(diǎn)的相位。因此，根據(jù)系統(tǒng)極點(diǎn)的分布，可以判斷其對應(yīng)的時間響應(yīng)收斂與否、收斂的快速性與平穩(wěn)性等。97實(shí)數(shù)極點(diǎn)的情況0j極點(diǎn)a在Z平面可能的位置1×××××××-198系統(tǒng)實(shí)數(shù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的暫態(tài)分量響應(yīng)形態(tài)Z平面ImRe0199復(fù)數(shù)極點(diǎn)的情況0jZ平面的復(fù)數(shù)極點(diǎn)1××0j期望的極點(diǎn)分布區(qū)域1期望區(qū)域100ImRe1–1閉環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)分布與相應(yīng)的暫態(tài)分量響應(yīng)形態(tài)Z平面101Simulink仿真例改變K如何影響系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)和階躍響應(yīng)？采樣周期T=0.25s程序：ac9no2積分作用102分析利用MATLAB繪制根軌跡圖，分析K與閉環(huán)極點(diǎn)的關(guān)系D(z)G(z)Y(z)R(z)-E(z)K的穩(wěn)定域?yàn)?<K<17.3

同前面例103根軌跡圖104仿真結(jié)果1極點(diǎn)距單位圓越近，響應(yīng)越慢K增大使振蕩性加劇極點(diǎn)距單位圓距離相同時，調(diào)節(jié)時間基本相同K=0.523K=0.979K=3.59K=8.63105仿真結(jié)果2K=13.9K=16.3K增大使振蕩性加劇但調(diào)節(jié)時間基本相同106仿真結(jié)果3K=16.9振蕩性加劇調(diào)節(jié)時間變長107說明：對暫態(tài)性能的進(jìn)一步分析對離散系統(tǒng)同樣可以應(yīng)用根軌跡法，根軌跡圖的繪制與連續(xù)系統(tǒng)完全相同，但分析基于Z平面；離散系統(tǒng)的頻率分析法有兩種。一種是直接在z域進(jìn)行分析（令z=ejTω），頻率特性為周期性函數(shù)，只須分析一個周期；另一種是先進(jìn)行雙線性變換，然后再運(yùn)用頻率法（方法同連續(xù)系統(tǒng)）108三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差D(z)G(z)-1091.內(nèi)模原理跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差為零的條件為閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定（Δ=a+b

的根在單位圓內(nèi)）開環(huán)傳函Gk(z)包含與參考輸入R(z)相同的不穩(wěn)定極點(diǎn)第二個條件稱為內(nèi)模原理（InternalModelPrinciple）D(z)G(z)Y(z)R(z)-E(z)110說明滿足內(nèi)模原理通常要依靠控制器，而不是受控對象；只要系統(tǒng)滿足內(nèi)模原理和閉環(huán)穩(wěn)定的條件，即使系統(tǒng)存在模型誤差，只要沒有破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性，就能保證穩(wěn)態(tài)誤差為零。D(z)G(z)Y(z)R(z)-E(z)與連續(xù)時間系統(tǒng)的結(jié)論類似1112.內(nèi)模原理的特例：R(z)為典型輸入信號U(z)Y(z)基本概念：離散積分環(huán)節(jié)（離散積分作用）112若Gk(z)包含n個離散積分環(huán)節(jié)，則稱閉環(huán)系統(tǒng)為n型系統(tǒng)Gk(z)-R(z)為典型輸入信號時跟蹤穩(wěn)態(tài)誤差為零的條件：113不滿足內(nèi)模原理時如何求穩(wěn)態(tài)誤差？①根據(jù)終值定理②對誤差函數(shù)進(jìn)行分式分解1143.根據(jù)終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差前提：E(z)

沒有單位圓上及圓外的的極點(diǎn)（除z＝１外）Gk(z)-終值定理主要用于不滿足內(nèi)模原理、且R為