材料力學(xué)2拉伸、壓縮與剪切

三、變形特點(Characterofdeformation)

沿軸向伸長或縮短。二、受力特點(Characterofexternalforce)

外力的合力作用線與桿的軸線重合。四、計算簡圖(Simplediagramforcalculating)

FFFF軸向壓縮(axialcompression)軸向拉伸(axialtension)思考：下列桿件哪些是軸向拉壓？FFFFFq偏心拉伸偏心拉伸拉彎組合軸向拉伸mmFF一、求內(nèi)力

(Calculatinginternalforce)設(shè)一等直桿在兩端軸向拉力

F

的作用下處于平衡,欲求桿件橫截面

m-m

上的內(nèi)力.

§2–2

內(nèi)力計算

(Calculationofinternalforce)在求內(nèi)力的截面m-m

處，假想地將桿截為兩部分.取左側(cè)部分作為研究對象.棄去部分對研究對象的作用以截開面上的內(nèi)力代替，合力為FN.mmFFN1.截面法(Methodofsections)（1）截開mmFF（2）代替對研究對象列平衡方程FN

=F式中：FN

為桿件任一橫截面

m-m上的內(nèi)力.與桿的軸線重合，即垂直于橫截面并通過其形心,稱為軸力(axialforce).（3）平衡mmFFmmFFNFN若取右側(cè)為研究對象，則在截開面上的軸力與左側(cè)部分上的軸力數(shù)值相等而指向相反.mmFFmmFFNmFm

同一位置左、右側(cè)截面內(nèi)力分量必須具有相同的正負號！二、軸力圖(Axialforcediagram)用平行于桿軸線的坐標表示橫截面的位置,用垂直于桿軸線的坐標表示橫截面上的軸力數(shù)值,從而繪出表示軸力與橫截面位置關(guān)系的圖線,稱為軸力圖.將正的軸力畫在x軸上側(cè),負的畫在x軸下側(cè).xFNO[例]圖示桿的A、B、C、D點分別作用著大小為5P、8P、4P、

P

的力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。ABCD5P8P4PPOFNx2P3P5PP++–

§2-3

應(yīng)力及強度條件(Stressandstrengthcondition)一、橫截面上的正應(yīng)力(Normalstressoncrosssection)FFabcd1.變形現(xiàn)象(Deformationphenomenon)（1）

橫向線ab和cd仍為直線,且仍然垂直于軸線;

（2）

ab和cd分別平行移至a'b'和c'd',且伸長量相等.

結(jié)論：各纖維的伸長相同,所以它們所受的力也相同.FFabcd

2.平面假設(shè)

(Planeassumption)

變形前原為平面的橫截面,在變形后仍保持為平面,且仍垂直于軸線.3.內(nèi)力的分布(Thedistributionofinternalforce)FFN

均勻分布(uniformdistribution)式中,FN

為軸力,A

為桿的橫截面面積,

的符號與軸力FN

的符號相同.當軸力為正號時（拉伸）,正應(yīng)力也為正號,稱為拉應(yīng)力;當軸力為負號時（壓縮）,正應(yīng)力也為負號,稱為壓應(yīng)力.4.正應(yīng)力公式(Formulafornormalstress)應(yīng)力注意點1它是集中到一點上2應(yīng)力有方位3應(yīng)力有狀態(tài)4它是內(nèi)力作用的適用條件:1、只適用于軸向拉伸與壓縮桿件，2、只適用于離桿件受力區(qū)域稍遠處的橫截面。即外力的合力作用線與桿件的軸線重合。3、橫截面沿軸線變化，但變化緩慢，外力作用線與軸線重合；P/2FkkF

二、斜截面上的應(yīng)力（Stressonaninclinedplane)

1.斜截面上的應(yīng)力（Stressonaninclinedplane）FkkFαpα以pα表示斜截面k-k上的應(yīng)力，于是有沿截面法線方向的正應(yīng)力沿截面切線方向的切應(yīng)力將應(yīng)力pα分解為兩個分量：pαFkkFFkkxnpα（1）α角2.符號的規(guī)定(Signconvention)（2）正應(yīng)力拉伸為正壓縮為負（3）切應(yīng)力：對研究對象任一點取矩pαFkkFFkkxnpα順時針為正逆時針為負逆時針時

為正號順時針時

為負號自x

轉(zhuǎn)向n（1）當

=0°

時，（2）當

=45°時，

（3）當=-45°

時，（4）當=90°時，討論xnFkk例題1桿OD左端固定，受力如圖，OC段的橫截面面積是CD段橫截面面積A的2倍。求桿內(nèi)最大軸力，最大正應(yīng)力，最大切應(yīng)力及其所在位置。O3F4F2FBCD1、作軸力圖3F2FF（在OB段）O3F4F2FBCDFN+-+2、分段求（在CD段）3、求CD段與桿軸成+/-45°的斜面上；3F2FFFN+-+三、強度條件(Strengthcondition)

桿內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過材料的許用應(yīng)力1.數(shù)學(xué)表達式(Mathematicalformula)2.強度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthcondition)（2）設(shè)計截面（1）

強度校核（3）確定許可荷載例題4剛性桿ACB有圓桿CD懸掛在C點,B端作用集中力F=25kN,已知CD桿的直徑d=20mm,許用應(yīng)力[]=160MPa，試校核CD桿的強度,并求：（1）結(jié)構(gòu)的許可荷載[F];（2）若F=50kN,設(shè)計CD桿的直徑.2aaFABDC解：（1）求CD桿的內(nèi)力2aaFABDCFNCDFACBFRAyFRAx（2）結(jié)構(gòu)的許可荷載[F]由[F]=33.5kN2aaFABDCFNCDFACBFRAy得（3）

若F=50kN，設(shè)計CD桿的直徑由得d=24.4mm取d=25mmFRAx

§2-4

材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能材料的力學(xué)性能——材料在外力作用下表現(xiàn)出來的變形、破壞

等方面的特性。1.試驗條件(Testconditions）

一、實驗方法(Testmethod)（1）

常溫:室內(nèi)溫度（2）

靜載:

以緩慢平穩(wěn)的方式加載（3）標準試件：采用國家標準統(tǒng)一規(guī)定的試件國家標準《金屬拉力試驗法》(GB228—87)；實驗試件：(a)圓截面標準試件：或(b)矩形截面標準試件(截面積為A）：或金屬材料非金屬材料二、拉伸試驗(Tensiletests)先在試樣中間等直部分上劃兩條橫線這一段長度稱為標距

l(originalgagelength).l=10d

或l=5d

1.低碳鋼拉伸時的力學(xué)性質(zhì)——含炭量在0.25%以下的碳素鋼。(Mechanicalpropertiesforalow-carbonsteelintension)（1）拉伸試樣dl標距（2）

拉伸圖(F-l

曲線)拉伸圖與試樣的尺寸有關(guān).為了消除試樣尺寸的影響，把拉力F除以試樣的原始面積A，得正應(yīng)力；同時把

l除以標距的原始長度l

，得到應(yīng)變.表示F和

l關(guān)系的曲線，稱為拉伸圖(tensiondiagram)FOΔlefhabcdd′gf′Δl0p（3）應(yīng)力應(yīng)變圖表示應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的曲線，稱為應(yīng)力-應(yīng)變圖(stress-straindiagram)

（a）

彈性階段試樣的變形完全彈性的.此階段內(nèi)的直線段材料滿足胡克定律(Hooke’slaw)

比例極限(proportionallimit)fOf′hab點是彈性階段的最高點.彈性極限(elasticlimit)（b）

屈服階段當應(yīng)力超過b點后，試樣的載荷基本不變而變形卻急劇增加，這種現(xiàn)象稱為屈服(yielding).

pfOf′habec點為屈服下限屈服極限(yieldingstrength)c45

sb（c）強化階段過屈服階段后，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，

要使它繼續(xù)變形必須增加拉力.這種現(xiàn)象稱為材料的強化(hardening)

e點是強化階段的最高點

強度極限(ultimateStrength)epfOf′habce（d）

局部變形階段過e點后，試樣在某一段內(nèi)的橫截面面積顯箸地收縮，出現(xiàn)頸縮

(necking)現(xiàn)象，一直到試樣被拉斷.

sbepfOf′habce

試樣拉斷后，彈性變形消失，塑性變形保留，試樣的長度由l變?yōu)閘1，橫截面面積原為A

，斷口處的最小橫截面面積為A1.斷面收縮率

(percentreductioninarea)伸長率(percentelongation)≧5%的材料，稱作塑性材料，如低碳鋼和青銅等；<5%的材料，稱作脆性材料，如鑄鐵、混凝土等。（4）伸長率和斷面收縮率（5）卸載定律及冷作硬化卸載定律(unloading

law)若加載到強化階段的某一點d停止加載,并逐漸卸載,在卸載過程中,載荷與試樣伸長量之間遵循直線關(guān)系的規(guī)律稱為材料的卸載定律(unloading

law).abcefOgf′hεd′d在常溫下把材料預(yù)拉到強化階段然后卸載,當再次加載時,試樣在線彈性范圍內(nèi)所能承受的最大荷載將增大.這種現(xiàn)象稱為冷作硬化。冷作硬化abcdefOd′gf′hepde-彈性應(yīng)變p-塑性應(yīng)變利：提高了材料在彈性階段內(nèi)的承載能力。利之用：用冷加工的方法來提高材料的強度。弊之屏：進行退火處理。弊：降低了材料的塑性。實驗表象參考值四個階段屈服階段1、同時存在塑性和彈性變形；2、應(yīng)力小幅波動，應(yīng)變快速增加；3、試樣表面出現(xiàn)與軸線成45度角滑移線4屈服現(xiàn)象與最大切應(yīng)力有關(guān)屈服極限：σs1、只有彈性變形；2、有符合胡克定律σ=Eε的線性階段；3、試樣無明顯表象。比例極限：σp彈性極限：σe彈性階段（段）（段）1、同時存在塑性和彈性變形；2、應(yīng)力隨應(yīng)變非線性減少；3、變形多集中在橫截面積迅速收縮的某一小段范圍內(nèi)，直至試樣最后斷裂。強化階段頸縮階段強度極限：σb1、同時存在塑性和彈性變形；2、應(yīng)力隨應(yīng)變非線性增長；3、試樣被明顯強化。4強度極限衡量材料強度的重要的指標（段）（段）滑移線頸縮s0.20.2%e

s無明顯屈服極限的塑性材料對于沒有明顯屈服極限的塑性材料，規(guī)定產(chǎn)生0.2％的塑性應(yīng)變時的應(yīng)力為名義屈服極限3.鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能O

eｂα破壞特點：（1）應(yīng)力－應(yīng)變曲線為一段微彎曲線;無明顯的直線部分，無屈服、無頸縮現(xiàn)象;在較小的應(yīng)力下被拉斷；（2）由于沒有明顯的直線階段，彈性模量E的數(shù)值隨應(yīng)力的大小而變。（3）割線彈性模量：通常取曲線的割線代替曲線的開始部分，以割線的斜率作為彈性模量E，(4)強度極限脆性材料只有唯一的強度指標割線斜率三、材料壓縮時的力學(xué)性能(Mechanicalpropertiesofmaterialsinaxialcompression)

1.實驗試樣

(Testspecimen)2.低碳鋼壓縮時的s-e曲線(Stress-straincurveforalow-carbonsteelincompression)dhFF

sOe

壓縮的實驗結(jié)果表明低碳鋼壓縮時的彈性模量E屈服極限s都與拉伸時大致相同.

屈服階段后,試樣越壓越扁,橫截面面積不斷增大,試樣不可能被壓斷,因此得不到壓縮時的強度極限.3.鑄鐵壓縮時的s-e曲線(Stress-straincurveforcastironincompression)O

eｂ鑄鐵壓縮時破壞斷面與橫截面大致成45°～55°傾角,表明這類試樣主要因剪切而破壞,鑄鐵的抗壓強度極限是抗拉強度極限的4～5倍.以大于1的因數(shù)除極限應(yīng)力,并將所得結(jié)果稱為許用應(yīng)力,用[]表示.2.許用應(yīng)力(Allowablestress)1.極限應(yīng)力(Ultimatestress)四、安全因數(shù)和許用應(yīng)力

n—安全因數(shù)(factorofsafety)

塑性材料(ductilematerials)脆性材料

(brittlematerials)材料的兩個強度指標s和b

稱作極限應(yīng)力或危險應(yīng)力,并用u

表示.五、應(yīng)力集中(Stressconcentrations)開有圓孔的板條

因桿件外形突然變化而引起局部應(yīng)力急劇增大的現(xiàn)象，稱為應(yīng)力集中

(stressconcentrations).FFF帶有切口的板條FFF幾點說明：（3）可以利用應(yīng)力集中達到構(gòu)件較易斷裂的目的。（4）不同材料與受力情況對于應(yīng)力集中的敏感程度不同。（1）截面尺寸改變越急劇，角越尖，孔越小，應(yīng)力集中的程度越嚴重。（2）在構(gòu)件上開孔、開槽時采用圓形、橢圓或帶圓角的，避免或禁開方形及帶尖角的孔槽，在截面改變處盡量采用光滑連接等。

§2-5

拉壓桿的變形計算

(Calculationofaxialdeformation)FFbh

一、縱向變形(Axialdeformation)b1ll12.縱向應(yīng)變(Axialstrain)1.縱向變形(Axialdeformation)二、橫向變形(Lateraldeformation)三、泊松比

(Poisson’sratio)稱為泊松比

(Poisson’sratio)2.橫向應(yīng)變(Lateralstrain)FFbhb1ll11.橫向變形(Lateraldeformation)四、胡克定律

(Hooke’slaw)式中E

稱為彈性模量(modulusofelasticity)，EA稱為抗拉（壓）剛度(rigidity).

實驗表明工程上大多數(shù)材料都有一個彈性階段，在此彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正比.上式改寫為由例題5圖示為一變截面圓桿ABCD.已知F1=20kN，F(xiàn)2=35kNF3=35kN.l1=l3=300mm，l2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm.試求：（1）

Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的軸力并作軸力圖（2）

桿的最大正應(yīng)力max（3）

B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCD解：求支座反力FRD=-50kNF1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（1）Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ、III-III截面的軸力并作軸力圖F1FN1F2F1FN2F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDFRDFN3FN2=-15kN（-）FN1=20kN（+）FN3=-50kN（-）15+-2050F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD（2）

桿的最大正應(yīng)力maxAB段DC段BC段FN2=-15kN(-)FN1=20kN（+）FN3=-50kN(-)F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRDmax=176.8MPa

發(fā)生在AB段.（3）

B截面的位移及AD桿的變形F1F2F3ⅠⅠⅡⅡⅢⅢl1l2l3ABCDFRD例題6如圖所示桿系由兩根鋼桿1和2組成.已知桿端鉸接，兩桿與鉛垂線均成=30°的角度,長度均為

l=2m,直徑均為d=25mm,鋼的彈性模量為E=210GPa.設(shè)在A點處懸掛一重物F=100kN,試求A點的位移A.ABC12ABC12解：（1）

列平衡方程,求桿的軸力FyFN1FN2A12xA''（2）兩桿的變形為變形的幾何相容條件是變形后，兩桿仍應(yīng)鉸結(jié)在一起.ABC12ABC12（伸長）以兩桿伸長后的長度BA1和CA2

為半徑作圓弧相交于A,即為A點的新位置.AA

就是A點的位移.A''ABC12A2A1A12因變形很小,故可過A1，A2

分別做兩桿的垂線，相交于AA可認為A'FAFN1FN2x30°yA1例題7圖示三角形架AB和AC桿的彈性模量

E=200GPaA1=2172mm2，A2=2548mm2.求當F=130kN時節(jié)點的位移.2mABCF30°12解：(1)由平衡方程得兩桿的軸力1桿受拉,2桿受壓A2（2）兩桿的變形30°AA1A2A'30°AA3

為所求A點的位移A12mABCF30°12A2A3一、靜定與超靜定問題

§2-6

拉壓超靜定問題

1.靜定問題桿件的軸力可以用靜力平衡條件求出,這種情況稱作靜定問題.2.超靜定問題

只憑靜力平衡方程已不能解出全部未知力，這種情況稱做超靜定問題.1.超靜定的次數(shù)

未知力數(shù)超過獨立平衡方程數(shù)的數(shù)目,稱作超靜定的次數(shù).二、超靜定問題求解方法2.求解超靜定問題的步驟（1）確定靜不定次數(shù)；列靜力平衡方程（2）根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件列變形幾何方程（3）將變形與力之間的關(guān)系（胡克定律）代入變形幾何方程得補充方程（4）聯(lián)立補充方程與靜力平衡方程求解n=未知力的個數(shù)－獨立平衡方程的數(shù)目

例題8設(shè)1，2，3三桿用絞鏈連結(jié)如圖所示，l1=l2=l，A1

=A2=A，E1=E2=E，3桿的長度l3

,橫截面面積A3

,彈性模量E3

。試求在沿鉛垂方向的外力F作用下各桿的軸力.CABDF123三、一般超靜定問題舉例(Examplesforgeneralstaticallyindeterminateproblem)

xyFAFN2FN3FN1解：（1）列平衡方程這是一次超靜定問題﹗（2）變形幾何方程由于問題在幾何,物理及受力方面都對稱,所以變形后A點將沿鉛垂方向下移.變形協(xié)調(diào)條件是變形后三桿仍絞結(jié)在一起﹗CABDF123xyFAFN2FN3FN1CABD123A'

變形幾何方程為A123┕┕CABDF123CABD123A'A'（3）補充方程物理方程為（4）聯(lián)立平衡方程與補充方程求解CABDF123A123┕┕A'例題9圖示平行桿系1、2、3

懸吊著剛性橫梁AB，在橫梁上作用著荷載F。各桿的截面積、長度、彈性模量均相同，分別為A，l，E.試求三桿的軸力FN1,FN2,FN3.ABCF3aal21ABCF3aal21FABC3aa21FN1FN2FN3Fx解：（1）平衡方程這是一次超靜定問題,且假設(shè)均為拉桿.（2）

變形幾何方程物理方程ABCF3aal21ABC321（3）

補充方程ABCF3aal21ABC321（4）聯(lián)立平衡方程與補充方程求解圖示桿系,若3桿尺寸有微小誤差,則在桿系裝配好后,各桿將處于圖中位置,因而產(chǎn)生軸力.3桿的軸力為拉力,1.2桿的軸力為壓力.這種附加的內(nèi)力就稱為裝配內(nèi)力.與之相對應(yīng)的應(yīng)力稱為裝配應(yīng)力四、裝配應(yīng)力ABCD213lABCD213l代表桿3的伸長代表桿1或桿2的縮短代表裝配后A點的位移（1）

變形幾何方程（2）

物理方程五、溫度應(yīng)力例題11圖示等直桿AB的兩端分別與剛性支承連結(jié).設(shè)兩支承的距離（即桿長）為l,桿的橫截面面積為A,材料的彈性模量為E,線膨脹系數(shù)為

.試求溫度升高T時桿內(nèi)的溫度應(yīng)力.溫度變化將引起物體的膨脹或收縮.靜定結(jié)構(gòu)可以自由變形,不會引起構(gòu)件的內(nèi)力,但在超靜定結(jié)構(gòu)中變形將受到部分或全部約束,溫度變化時往往就要引起內(nèi)力,與之相對應(yīng)的應(yīng)力稱為熱應(yīng)力或溫度應(yīng)力ABl解:

這是一次超靜定問題變形相容條件是桿的總長度不變.桿的變形分為兩部分,即由溫度升高引起的變形lT

以及與軸向壓力FR相應(yīng)的彈性變形

lFAB'lTABlB'ABlFFRAFRB（1）變形幾何方程（3）補充方程（4）溫度內(nèi)力ABlAB'lT（2）物理方程由此得溫度應(yīng)力B'ABlFFRAFRBnn（合力）（合力）FF2.受力特點(Characterofexternalforce)以鉚釘為例

構(gòu)件受兩組大小相等、方向相反、作用線相距很近的平行力系作用.3.變形特點(Characterofdeformation)

構(gòu)件沿兩組平行力系的交界面發(fā)生相對錯動.4.連接處破壞三種形式:(Threetypesoffailureinconnections)（1）剪切破壞沿鉚釘?shù)募羟忻婕魯?，如沿n-n面剪斷

.（2）擠壓破壞鉚釘與鋼板在相互接觸面上因擠壓而使連接松動，發(fā)生破壞.（3）拉伸破壞鋼板在受鉚釘孔削弱的截面處，應(yīng)力增大，易在連接處拉斷.nn（合力）（合力）FFFFmmF剪切面FS二、剪切的應(yīng)力分析

(Analysisofshearingstress)1.內(nèi)力計算(Calculationofinternalforce)

FS

-

剪力(shearingforce)

FFmm2.切應(yīng)力（Shearingstress）式中，F(xiàn)S-

剪力(shearingforce)

A-剪切面的面積

(areainshear)3.強度條件(Strengthcondition)[]為材料的許用切應(yīng)力(Allowableshearingstressofamaterial)(factorofsafety)mmF剪切面FFmmn-安全因數(shù)-剪切極限應(yīng)力(ultimateshearingstress)螺栓與鋼板相互接觸的側(cè)面上,發(fā)生的彼此間的局部承壓現(xiàn)象,稱為擠壓(bearing).三、擠壓的應(yīng)力分析(Analysisofbearingstress)FFFF在接觸面上的壓力,稱為擠壓力(bearingforce),并記為F

擠壓面剪切面1.擠壓力(Bearingforce)

F=FS（1）螺栓壓扁（2）鋼板在孔緣壓成橢圓2.擠壓破壞的兩種形式

(Twotypesofbearingfailure)FF3.擠壓應(yīng)力(Bearingstress)F

-擠壓力(bearingforce)Abs

-擠壓面的面積(areainbearing)4.強度條件(Strengthcondition)[bs]-許用擠壓應(yīng)力(allowablebearingstress)擠壓現(xiàn)象的實際受力如圖所示.（1）當接觸面為圓柱面時,擠壓面積Abs為實際接觸面在直徑平面上的投影面積

dh實際接觸面直徑投影面擠壓面的面積計算（2）當接觸面為平面時,Abs為實際接觸面面積.四、強度條件的應(yīng)用(Applicationofstrengthconditions)(Checktheintensity)1.校核強度(Determinetheallowabledimension)2.設(shè)計截面(D