大數(shù)定律與中心極限定理

第五章

大數(shù)定律及中心極限定理§5.1大數(shù)定律一、依概率收斂的定義=1則稱依概率收斂于a,記作對(duì)于r.v.序列{Xn}若存在常數(shù)a,使對(duì)于任何e>0,有1、Chebyshev大數(shù)定律的特殊情況

相互獨(dú)立，1）內(nèi)容：設(shè)

r.v.

序列且具有相同的數(shù)學(xué)期望和方差：則有或二、大數(shù)定律由Chebyshev不等式得：2）Chebyshev大數(shù)定律的意義當(dāng)

n

足夠大時(shí),算術(shù)平均值幾乎是一常數(shù).具有相同數(shù)學(xué)期望和方差的獨(dú)立r.v.序列的算術(shù)平均值依概率收斂于數(shù)學(xué)期望.算術(shù)均值數(shù)學(xué)期望近似代替可被注：Chebyshev大數(shù)定律中要求隨機(jī)變量X1,X2,...的方差存在.但這些隨機(jī)變量服從相同分布的場(chǎng)合,并不需要這一要求,我們有以下的定理.2、辛欽定理：

設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn,...相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望E(Xk)=μ(k=1,2,...),則對(duì)于任意正數(shù)e,有3、Bernoulli大數(shù)定律1）內(nèi)容：設(shè)

nA

是n

次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),p

是每次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率,則有或證：引入r.v.序列{Xk}設(shè)則相互獨(dú)立，由Chebyshev大數(shù)定律，得在概率的統(tǒng)計(jì)定義中,事件A

發(fā)生的頻率“穩(wěn)定于”事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是指：頻率與

p

有較大偏差是小概率事件,因而在n

足夠大時(shí),可以用頻率近似代替p.這種穩(wěn)定稱為依概率穩(wěn)定.2）伯努利(Bernoulli)大數(shù)定律的意義§5.2中心極限定理

中心極限定理的客觀背景在實(shí)際問(wèn)題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.

空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對(duì)我們來(lái)說(shuō)重要的是這些隨機(jī)因素的總影響.如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤差等等.觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.自從高斯指出測(cè)量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見(jiàn).

現(xiàn)在我們就來(lái)研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問(wèn)題.當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？在什么條件下極限分布會(huì)是正態(tài)的呢？由于無(wú)窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于∞，故我們不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量的分布的極限.的分布的極限.可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.考慮在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.林德伯格-列維中心極限定理[獨(dú)立同分布的中心極限定理]棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理[二項(xiàng)分布以正態(tài)分布為極限分布](Lindberg-levi)(DeMoivre-Laplace)一、獨(dú)立同分布(i.i.d)的n個(gè)隨機(jī)變量之和

的標(biāo)準(zhǔn)化變量設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望和方差E(Xk)=m,D(Xk)=s2,(k=1,2,...).設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn,...相互獨(dú)立,服從同一分布,且具有數(shù)學(xué)期望和方差E(Xk)=m,D(Xk)=s2>0,(k=1,2,...),

二、定理一(獨(dú)立同分布的中心極限定理)此定理說(shuō)明,均值為m,方差為s2的獨(dú)立同分布的n個(gè)隨機(jī)變量當(dāng)n充分大時(shí)(n超過(guò)10或者20以上)X1,X2,...,Xn之和X1+X2+...+Xn近似服從正態(tài)分布N(nm,ns2).這樣就可以用正態(tài)分布對(duì)X1+X2+...+Xn作理論分析或作概率計(jì)算,好處是明顯的.或者將其標(biāo)準(zhǔn)化有定理二(李雅普諾夫定理)——（略）定理三(棣莫弗-拉普拉斯定理)——定理一的特例

設(shè)隨機(jī)變量hn(n=1,2,...)服從參數(shù)為n,p(0<p<1)的二項(xiàng)分布,有證：

hn可看作由n個(gè)服從同一(0-1)分布的隨機(jī)變量X1,X2,...,Xn的和hn=X1+X2+...+Xn,其中E(Xk)=p,D(Xk)=p(1-p)(k=1,2,...,n),由定理一例1

一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓Vk(k=1,2,...,20),設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布,記V=V1+V2+...+V20,求P(V>105)的近似值.

E(V)=E(V1+...+V20)=E(V1)+...+E(V20)=100,解：易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,...,20).則根據(jù)中心極限定理,近似有

V~N(100,1000/6).D(V)=D(V1+...+V20)=D(V1)+...+D(V20)=1000/6,∵V~N(100,1000/6)

某市保險(xiǎn)公司開(kāi)辦一年人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù).被保險(xiǎn)人每年需交付保險(xiǎn)費(fèi)160元.若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故,其本人或家屬可獲2萬(wàn)元賠金.己知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005.現(xiàn)有5000人參加此項(xiàng)保險(xiǎn).解:例2

求:保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬(wàn)元到40萬(wàn)元之間的概率.∴

Xi～b(1,p).P=0.005X1,X2,,X200相互獨(dú)立.則:

P{20萬(wàn)元≤總收益≤40萬(wàn)元}=P{20萬(wàn)元≤0.016萬(wàn)元保險(xiǎn)費(fèi)參保人數(shù)-2萬(wàn)元賠金一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的人數(shù)≤40萬(wàn)元}=P{20≤0.0165000-2(X1+X2++X5000)≤40}∵

np=25np(1-p)=250.995

∴總收益在20萬(wàn)元到40萬(wàn)元之間的概率為0.6826.例3

設(shè)有一批種子，其中良種占1/6.試估計(jì)在任選的6000粒種子中，良種比例與1/6比較上下不超過(guò)1%的概率.解：

設(shè)

X

表示6000粒種子中的良種數(shù),X~b(6000,1/6)近似由德莫佛—拉普拉斯中心極限定理,

則有比較幾個(gè)近似計(jì)算的結(jié)果中心極限定理二項(xiàng)分布(精確結(jié)果)Poisson分布Chebyshev不等式中心極限定理的意義

在第二章曾講過(guò)有許多隨機(jī)現(xiàn)象服從正態(tài)分布若聯(lián)系于此隨機(jī)現(xiàn)象的隨機(jī)變量為X

，是由于許多彼次沒(méi)有什么相依關(guān)系、對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象誰(shuí)也不能起突出影響，而均勻地起到微小作用的隨機(jī)因素共同作用則它可被看成為許多相互獨(dú)立的起微小作用的因素Xk的總和，而這個(gè)總和服從或近似服從正態(tài)分布.(即這些因素的疊加)的結(jié)果