2018學數(shù)學二輪復習練酷專題課時跟蹤檢測（十一）直線與圓文

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精11-學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE課時跟蹤檢測（十一）直線與圓1．已知直線l1：x＋2ay－1＝0，l2：（a＋1)x－ay＝0,若l1∥l2，則實數(shù)a的值為()A．－eq\f（3，2) B．0C．－eq\f（3，2）或0 D．2解析：選C若a≠0,則由l1∥l2,得eq\f（a＋1，1)＝eq\f（－a，2a），所以2a＋2＝－1,即a＝－eq\f(3，2）；若a＝0，則l1∥l2。所以a的值為－eq\f(3，2）或0.2．在平面直角坐標系xOy中，若圓x2＋(y－1）2＝4上存在A，B兩點關于點P(1,2)成中心對稱，則直線AB的方程為()A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y＋1＝0解析：選B由題意得圓心(0，1）與點P(1，2)的連線垂直于直線AB，所以kAB·eq\f(2－1，1－0)＝－1,解得kAB＝－1.而直線AB過點P，所以直線AB的方程為y－2＝－（x－1)，即x＋y－3＝0。3．(2017·沈陽一模）已知直線l過圓x2＋(y－3）2＝4的圓心,且與直線x＋y＋1＝0垂直，則直線l的方程為(）A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0解析:選D圓x2＋（y－3)2＝4的圓心為(0，3），又直線l與直線x＋y＋1＝0垂直,則其斜率為1,故直線l的方程為x－y＋3＝0.4．(2017·菏澤一模)已知圓(x－1）2＋y2＝1被直線x－eq\r(3）y＝0分成兩段圓弧,則較短弧長與較長弧長之比為()A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶5解析：選A圓（x－1）2＋y2＝1的圓心為(1，0)，半徑為1。圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(12＋－\r（3）2)）＝eq\f（1，2),所以較短弧所對的圓心角為eq\f(2π,3），較長弧所對的圓心角為eq\f（4π,3)，故兩弧長之比為1∶2。5．(2017·惠州三調)已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個,則a的取值范圍為()A．（－3eq\r（2），3eq\r（2))B．（－∞，－3eq\r(2））∪(3eq\r（2），＋∞)C．(－2eq\r(2），2eq\r(2）)D．（－∞，－2eq\r(2))∪(2eq\r(2），＋∞）解析:選A由圓的方程可知圓心為（0,0），半徑為2.因為圓上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線l的距離d＜r＋1＝3，即d＝eq\f（｜－a|,\r（2)）＜3，解得－3eq\r(2)＜a＜3eq\r(2）.6．(2018屆高三·湖北八校聯(lián)考)已知直線ax＋by－6＝0（a＞0，b＞0)被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為2eq\r(5）,則ab的最大值為()A.eq\f(5,2） B．4C.eq\f(9,2） D．9解析:選C圓x2＋y2－2x－4y＝0化成標準方程為（x－1）2＋（y－2）2＝5，因為直線ax＋by－6＝0(a＞0,b＞0）被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為2eq\r（5），故直線ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0）經過圓心（1，2)，即a＋2b＝6。又6＝a＋2b≥2eq\r(2ab），即ab≤eq\f(9，2），當且僅當a＝2b＝3時取等號，故ab的最大值為eq\f(9,2）.7．（2017·西安模擬）圓:x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2距離的最大值是(）A．1＋eq\r(2） B．2C．1＋eq\f（\r（2），2) D．2＋2eq\r（2）解析：選A將圓的方程化為(x－1)2＋（y－1)2＝1，即圓心坐標為(1,1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝eq\f(｜1－1－2｜，\r（2))＝eq\r(2)，故圓上的點到直線x－y＝2距離的最大值為d＋1＝eq\r(2)＋1.8．在平面直角坐標系xOy中，已知A(－1,0)，B（0，1),則滿足｜PA|2－｜PB｜2＝4且在圓x2＋y2＝4上的點P的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3解析：選C設P（x，y)，則由|PA|2－｜PB|2＝4，得(x＋1）2＋y2－x2－(y－1)2＝4，所以x＋y－2＝0.求滿足條件的點P的個數(shù)即為求直線與圓的交點個數(shù)，圓心到直線的距離d＝eq\f(｜0＋0－2|,\r(2))＝eq\r(2）＜2＝r，所以直線與圓相交，交點個數(shù)為2。故滿足條件的點P有2個．9．（2016·河南焦作一模)著名數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休．"事實上，有很多代數(shù)問題可以轉化為幾何問題加以解決，如：eq\r(x－a2＋y－b2）可以轉化為平面上點M（x，y）與點N(a，b）的距離．結合上述觀點，可得f（x)＝eq\r(x2＋4x＋20)＋eq\r(x2＋2x＋10）的最小值為（）A．2eq\r(5） B．5eq\r(2）C．4 D．8解析：選B∵f(x)＝eq\r（x2＋4x＋20）＋eq\r(x2＋2x＋10）＝eq\r(x＋22＋0－42）＋eq\r（x＋12＋0－32),∴f（x）的幾何意義為點M（x，0)到兩定點A(－2,4）與B（－1,3）的距離之和，設點A（－2,4)關于x軸的對稱點為A′,則A′為（－2，－4）．要求f（x)的最小值，可轉化為｜MA|＋｜MB｜的最小值，利用對稱思想可知｜MA|＋｜MB|≥|A′B｜＝eq\r(－1＋22＋3＋42)＝5eq\r(2)，即f(x)＝eq\r(x2＋4x＋20）＋eq\r（x2＋2x＋10）的最小值為5eq\r（2）。10．在平面直角坐標系xOy中,設直線y＝－x＋2與圓x2＋y2＝r2（r＞0)交于A,B兩點,O為坐標原點，若圓上一點C滿足eq\o（OC,\s\up7（→）)＝eq\f（5，4）eq\o(OA，\s\up7(→）)＋eq\f(3,4)eq\o(OB,\s\up7（→))，則r＝(）A．2eq\r（10） B。eq\r（10）C．2eq\r(5) D.eq\a\vs4\al(5)解析：選B已知eq\o（OC,\s\up7（→))＝eq\f(5,4）eq\o（OA,\s\up7(→））＋eq\f(3,4）eq\o(OB，\s\up7(→)），兩邊平方化簡得eq\o（OA，\s\up7（→））·eq\o(OB,\s\up7（→))＝－eq\f(3,5）r2，所以cos∠AOB＝－eq\f（3,5)，所以coseq\f(∠AOB，2）＝eq\f(\r（5），5），又圓心O（0,0）到直線的距離為eq\f（|2｜，\r(2))＝eq\r（2),所以eq\f(\r(2）,r)＝eq\f（\r(5)，5)，解得r＝eq\r(10）。11．已知圓O:x2＋y2＝4，若不過原點O的直線l與圓O交于P,Q兩點，且滿足直線OP，PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列，則直線l的斜率為（）A．－1或1 B．0或－eq\f（4，3）C．1 D．－1解析:選A設直線l：y＝kx＋b(b≠0),代入圓的方程,化簡得（1＋k2）x2＋2kbx＋b2－4＝0，設P(x1,y1)，Q（x2,y2)，則x1＋x2＝－eq\f（2kb，1＋k2),x1x2＝eq\f(b2－4,1＋k2），kOP·kOQ＝eq\f(y1，x1）·eq\f(y2,x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k＋\f(b,x1)）)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(k＋\f（b,x2)))＝k2＋kbeq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,x1x2）)）＋eq\f(b2，x1x2)＝k2＋kbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2kb,b2－4）))＋eq\f(b21＋k2,b2－4)＝eq\f(b2－4k2，b2－4），由kOP·kOQ＝k2，得eq\f(b2－4k2，b2－4）＝k2,解得k＝±1。12．已知AC，BD為圓O:x2＋y2＝4的兩條互相垂直的弦，且垂足為M（1，eq\r（2))，則四邊形ABCD面積的最大值為()A．5 B．10C．15 D．20解析:選A如圖,作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，則｜OP|2＋｜OQ｜2＝｜OM|2＝3，∴|AC|2＋｜BD｜2＝4（4－|OP|2）＋4（4－|OQ｜2）＝20.又|AC|2＋｜BD｜2≥2｜AC|·|BD|，則|AC｜·|BD｜≤10，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)|AC|·｜BD｜≤eq\f(1,2)×10＝5，當且僅當|AC|＝|BD｜＝eq\r(10）時等號成立，∴四邊形ABCD面積的最大值為5.故選A。13．已知點A(4，－3)與B（2,－1）關于直線l對稱，在l上有一點P，使點P到直線4x＋3y－2＝0的距離等于2，則點P的坐標是________．解析：由題意知線段AB的中點C(3，－2）,kAB＝－1，故直線l的方程為y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.設P（x,x－5)，則2＝eq\f（|4x＋3x－17｜,\r(42＋32)),解得x＝1或x＝eq\f（27,7）。即點P的坐標是（1，－4）或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27，7)，－\f(8，7)))。答案：(1，－4)或eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(27，7),－\f(8,7））)14．（2017·南京學情調研）在平面直角坐標系xOy中,若直線ax＋y－2＝0與圓C：（x－1)2＋（y－a)2＝16相交于A，B兩點，且△ABC為直角三角形，則實數(shù)a的值是________．解析:由題意得圓的半徑為4，因為△ABC是直角三角形，所以圓心C到直線AB的距離為2eq\r（2)，即eq\f(|a＋a－2｜，\r(a2＋1))＝2eq\r（2),解得a＝－1。答案：－115．在平面直角坐標系xOy中，已知過原點O的動直線l與圓C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點A,B，若點A恰為線段OB的中點，則圓心C到直線l的距離為________．解析：圓C的標準方程為（x－3)2＋y2＝4，圓心C(3，0），半徑r＝2，設過原點O的動直線l的方程為y＝kx，由題意，設A（a，ka)，B（2a，2ka)，將A點坐標代入圓C的方程得（1＋k2)a2－6a＋5＝0.①記AB中點為D，則Deq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3，2）a，\f（3，2）ka)),所以CD⊥AB，所以eq\f（\f（3，2)ka,\f(3,2）a－3)＝－eq\f（1，k）。②聯(lián)立①②，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝\f（5，4)，，k＝±\f（\r（15），5)，）)可得點D坐標為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(15,8），±\f（3\r(15）,8）)），所以圓心C到直線l的距離為|CD|＝eq\r（\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（15,8)－3)）2＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(3\r(15),8）)）2)＝eq\f（3\r(6），4）。答案：eq\f(3\r（6)，4）16．（2017·云南模擬)已知動圓C過A(4，0)，B(0,－2）兩點,圓心C關于直線x＋y＝0的對稱點為M，過點M的直線交圓C于E，F(xiàn)兩點，當圓C的面積最小時，｜EF|的最小值為________．解析：依題意知，動圓C的半徑不小于eq\f(1,2）｜AB|＝eq\r（5），即當圓C的面積最小時，AB是圓C的一條直徑,此時點C是線段AB